سرفصل‌های این مبحث

تابع

نمایش رابطه ریاضی تابع

آخرین ویرایش: 24 دی 1402
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:

مقدمه

می‌توان تابع را هم‌چون ماشینی در نظر گرفت که یک ورودی را دریافت می‌کند و در ازای آن یک خروجی تحویل می‌دهد.

ورودی‌ها از دامنه داده می‌شوند و خروجی به برد تعلق دارند و برای هر ورودی دقیقا یک خروجی وجود دارد (البته ممکن است چند ورودی مختلف خروجی یکسانی داشته باشند).

تابع - پیمان گردلو

اگر x عنصری دل‌خواه از دامنه f و y نمایش خروجی نظیر آن باشد:

  •  x را متغیر مستقل می‌نامند.
  •  y را متغیر وابسته می‌نامند.

در این‌صورت می‌نویسیم:

y=fx

تعریف

در صورتی یک رابطه ریاضی، قانون تابع را مشخص می‌کند که به‌ازای هر x توسط آن قانون، حداکثر یک y تعریف شود. 

در این صورت تابع f:AB را با ضابطه زیر نشان می‌دهند:

y=fx

تمرین

كدام‌يک از روابط زير تابع هست؟

x2+y=1

y=1x2


به مثال های عددی زیر توجه کنید:

if    x=1y=112y=0    ;    1,0


if    x=0y=102y=1    ;    0,1


if    x=1y=112y=0    ;    1,0                                              


برای هر مقدار دل‌خواه x فقط یک مقدار برای y موجوداست.


رابطه فوق، تابع است.  

x+y2=1

y2=1+xy=±1+x


برای هر مقدار دل‌خواه x بیشتر از یک مقدار برای y موجوداست. رابطه فوق، تابع نیست.


به مثال عددی زیر توجه کنید:

if   x=3y=±1+3y=±2

y=x+1

برای هر مقدار دل‌خواه x فقط یک مقدار برای y موجوداست. رابطه فوق، تابع است.

x2+y2=1

y2=1x2y=±1x2


برای هر مقدار دل‌خواه x بیشتر از یک مقدار برای y موجوداست. رابطه فوق، تابع نیست.


به مثال عددی زیر توجه کنید:

if   x=0y=±10y=±1

   y=x±x

if   x=1y=1±1y=2y=0f=1,2,1,0


به‌ازای هر x بیش از يک y ظاهر شد، بنابراين f تابع نیست.

y=x+2

if   x=0y=2y=±2f=0,2,0,2


به‌ازای هر x بیش از يک y ظاهر شد، بنابراين f تابع نیست.

f=x,yR×R+|x2+y2=9

if   x=0    ;    xR02+y2=9y=±3    ;    yR+y=3


به‌ازای هر x فقط يک y ظاهر شد، بنابراين f تابع است.

  x2+y12=0

if   x2+y12=0x=0y1=0y=1


f=0,1


رابطه فوق فقط وقتی برقرار است كه داشته باشیم: 

x=0 , y=1


اين رابطه يک تابع يک عضوی را نشان می‌دهد. 

   y2yx=0

if   x=1y2y=0yy1=0y=0y=1


f=1,0,1,1


به‌ازای هر x بیش از يک y ظاهر شد، بنابراين f تابع نیست.

   f:QZfmn=mn,mZ   ,    n0

Q مجموعه اعداد گويا است.


هر كسر بيشتر از يک نمايش دارد، مثلا:

13=26


f13=1×3    ;    13,3ff26=2×6    ;    26=13,12ff=13,3,13,12


به‌ازای هر x بیش از يک y ظاهر شد، بنابراين f تابع نیست.

y2+x12y2x2=0

y2+x12=0y=0x10x=1


y2x2=0y2x2=0y2=x2y=±x


به‌ازای هر x بیش از يک y ظاهر شد، بنابراين f تابع نیست.

y3x3y5x5=0

y3x3=0y3=x3y=xy5x5=0y5=x5y=x


به‌ازای هر x فقط يک y ظاهر شد، بنابراين f تابع است.

    y3x6x3=0

y3=0y=0


x6x3=0x6x3=0x3x31=0x=0x=1


f=0,0,1,0


به‌ازای هر x فقط يک y ظاهر شد، بنابراين f تابع است.

y3+x31=0

y3+x31=0y3=1x3y=1x33


به‌ازای هر x فقط يک y ظاهر شد، بنابراين f تابع است.

y3xy=0

if   x=1y3y=0yy21=0y=0,1,1


به‌ازای هر x بیش از يک y ظاهر شد، بنابراين f تابع نیست.

yx2x12+y2=0

yx2=0y=x2


x12+y02=0x1=0x=1y=0


if   x=1y=12=1y=0


f=1,0,1,1


به‌ازای هر x بیش از يک y ظاهر شد، بنابراين f تابع نیست.

y3+x12y=0

y3+x12y=0yy2+x12=0


y=0y2+x12=0y=0x=1


if  x=1y=0


f=1,0


اين رابطه يک تابع يک عضوی است.

y22xy+1=0

if  x=3y26y+1=0y=3±22


به‌ازای هر x بیش از يک y ظاهر شد، بنابراين f تابع نیست.

y3+x36xy+8=0

یادآوری) اتحاد اولر


a3+b3+c33abc=12a+b+cab2+ca2+bc2


y3+x3+86xy=0y3+x3+233xy2=0


12y+x+2yx2+2y2+x22=0


x+y+2=0y=x2    ;    2,4fyx=0y=x2y=0y=2x2=0x=22,2f 


به‌ازای هر x بیش از يک y ظاهر شد، بنابراين f تابع نیست.

y3+x2y=0

yy2+x2=0


y=0y2+x2=0y2x2


if    y=0x=0    ;    0,0f


اين رابطه يک تابع يک عضوی است.

y2+x4x2=0

y2=0=y=0x4x2=0x2x21=0x=0,1,1


f=0,0,1,0,1,0


به‌ازای هر x فقط يک y ظاهر شد، بنابراين f تابع است.

y2y2+x3x2=0

y2y=0yy1=0y=0  ,  y=1


x3x=0xx21=0x=0  ,  x=1  ,  x=1


f=0,0,0,1,1,0,1,1,1,0,1,1


به‌ازای هر x بیش از يک y ظاهر شد، بنابراين f تابع نیست.

siny=x

if   x=0siny=0y=kπ    ;    kZ


f=,0,π,0,0,0,π,0,2π,


به‌ازای هر x بیش از يک y ظاهر شد، بنابراين f تابع نیست.

y3x3+yx2xy22y2+2x22y+2x=0

y3x3+xy2+x2y+2x2y2+2xy=0


yxy2+xy+x2xyyx2yxy+x2yx=0


yxy2+xy+x2xy2y2x2=0


yxx12+y124=0


yx=0y=xx12+y124=0x12+y12=4


به‌ازای هر x  در رابطه اخیر، بیش از يک y ظاهر شد، بنابراين f تابع نیست.

y3x3+yx=0

y3x3+yx=0


yxy2+yx+x2+yx=0yxy2+yx+x2+1=0


yx=0y=xy2+yx+x2+10


y2+yx+x2+1=y2+2xy+x2+1xy=y+x2+1xy>0


f=,1,1,2,2,3,3,


به‌ازای هر x فقط يک y ظاهر شد، بنابراين f تابع است.

xy+yx=2

برای آن‌که زیر رادیکال تعریف شده باشد بایستی x و y هم علامت باشند.


if   xy>0    ;    xy+yx=2xy=1xy=1y=x


f=,2,2,1,1,1,1,2,2,


به‌ازای هر x فقط يک y ظاهر شد، بنابراين f تابع است.

تمرین

معادله زیر، تابع است:

yx3+1ya2+x22=0

مقدار a را بیابید.

yx3+1=0y=x31ya2+x22=0ya=0y=ax2=0x=2


y=x31a=231a=7

تمرین

معادله زیر مفروض است:

y2x2=0

چند تابع با دامنه R در رابطه فوق صدق می‌كند؟

y2x2=0y2=x2

y2=x2y=xy=xy=xy=x


تمرین

توابع f و g دارای يک مجموعه دامنه و يک مجموعه برد می‌باشند.

آن‌گاه ثابت كنيد:

fgf=g

Df=Dg=ARf=Rg=B  xA  ;  x,fxfg

x,fxgxA  ,  fx=gxf=g

تمرین

اگر در مورد تابع g داشته باشیم:

g0=2  ,  g1=5,  g2=13,g4=3

g را به‌صورت مجموعه ای از زوج های مرتب بنویسید.

if  g4=34,3gif  g2=132,13g

if  g1=51,5gif  g0=20,2g


g را به‌صورت مجموعه ای از زوج های مرتب می‌نویسیم:


g=2,13,0,2,1,5,4,3

دریافت مثال

نکته

باید توجه داشته باشیم که معادله تابع را با خود تابع اشتباه نکنیم.

مثلا معادله y=x3 یک ضابطه تابع است نه خود تابع.

اگر برای این ضابطه، حوزه‌ای  تعریف کنیم و مقادیری برای آن در نظر بگیریم، در آن صورت یک تابع مشخص می‌شود مانند:

f:RRfx=y=x3

لذا نماد f با fx متفاوت است، f خود تابع است و y=fx ضابطه تابع است. 

هر چند، گاهی به اشتباه برای سادگی به‌طور خلاصه بیان می‌شود تابع fx=x3 که بهتر است ذکر شود تابع با ضابطه fx=x3

یادآوری

تابع f از مجموعه غیر تهی A به‌توی مجموعه B رابطه‌ای است که هر عضو از یک زیر مجموعه A را دقیقا به یک عضو از B نظیر یا تصویر می‌کند.   

A را مجموعه آغاز و B را مجموعه پایان یا هم دامنه (co - domain) می‌نامیم.

زیر مجموعه‌ای از A را که اعضای آن به اعضای B نظیر شده است را دامنه تابع گویند.

مجموعه‌ای از اعضای B را که عضوهای دامنه به آن نظیر شده است را برد تابع گویند.    

به نمونه زیر توجه کنید:

تابع - پیمان گردلو

خرید پاسخ‌ها

نمایش رابطه ریاضی تابع

9,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید