سرفصل‌های این مبحث

تابع

نمایش رابطه ریاضی تابع

آخرین ویرایش: 24 دی 1402

دسته‌بندی: تابع

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

می‌توان تابع را هم‌چون ماشینی در نظر گرفت که یک ورودی را دریافت می‌کند و در ازای آن یک خروجی تحویل می‌دهد.

ورودی‌ها از دامنه داده می‌شوند و خروجی به برد تعلق دارند و برای هر ورودی دقیقا یک خروجی وجود دارد (البته ممکن است چند ورودی مختلف خروجی یکسانی داشته باشند).

تابع - پیمان گردلو

اگر $x$ عنصری دل‌خواه از دامنه $f$ و $y$ نمایش خروجی نظیر آن باشد:

$x$ را متغیر مستقل می‌نامند.
$y$ را متغیر وابسته می‌نامند.

در این‌صورت می‌نویسیم:

$y = f (x)$

تعریف

در صورتی یک رابطه ریاضی، قانون تابع را مشخص می‌کند که به‌ازای هر $x$ توسط آن قانون، حداکثر یک $y$ تعریف شود.

در این صورت تابع $f : A \to B$ را با ضابطه زیر نشان می‌دهند:

$y = f (x)$

تمرین

كدام‌يک از روابط زير تابع هست؟

$x^{2} + y = 1$

$\Rightarrow y = 1 - x^{2}$

به مثال های عددی زیر توجه کنید:

$\begin{array}{l} i f x = - 1 \Rightarrow y = 1 - {(- 1)}^{2} \Rightarrow y = 0; (- 1, 0) \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x = 0 \Rightarrow y = 1 - {(0)}^{2} \Rightarrow y = 1; (0, 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x = 1 \Rightarrow y = 1 - {(1)}^{2} \Rightarrow y = 0; (1, 0) \\ ⋮ \end{array}$

برای هر مقدار دل‌خواه $x$ فقط یک مقدار برای $y$ موجوداست.

رابطه فوق، تابع است.

$- x + y^{2} = 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y^{2} = 1 + x \\ \Rightarrow y = \pm \sqrt{1 + x} \end{array}$

برای هر مقدار دل‌خواه $x$ بیشتر از یک مقدار برای $y$ موجوداست. رابطه فوق، تابع نیست.

به مثال عددی زیر توجه کنید:

$i f x = 3 \Rightarrow y = \pm \sqrt{1 + 3} \Rightarrow y = \pm 2$

$y = |x| + 1$

برای هر مقدار دل‌خواه $x$ فقط یک مقدار برای $y$ موجوداست. رابطه فوق، تابع است.

$x^{2} + y^{2} = 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y^{2} = 1 - x^{2} \\ \Rightarrow y = \pm \sqrt{1 - x^{2}} \end{array}$

برای هر مقدار دل‌خواه $x$ بیشتر از یک مقدار برای $y$ موجوداست. رابطه فوق، تابع نیست.

به مثال عددی زیر توجه کنید:

$i f x = 0 \Rightarrow y = \pm \sqrt{1 - 0} \Rightarrow y = \pm 1$

$y = x \pm \sqrt{x}$

$\begin{array}{l} i f x = 1 \Rightarrow y = 1 \pm 1 \Rightarrow \{\begin{cases} y = 2 \\ y = 0 \end{cases} \\ f = \{(1, 2), (1, 0)\} \end{array}$

به‌ازای هر $x$ بیش از يک $y$ ظاهر شد، بنابراين $f$ تابع نیست.

$|y| = x + 2$

$\begin{array}{l} i f x = 0 \Rightarrow |y| = 2 \Rightarrow y = \pm 2 \\ f = \{(0, 2), (0, - 2)\} \end{array}$

به‌ازای هر $x$ بیش از يک $y$ ظاهر شد، بنابراين $f$ تابع نیست.

$\begin{array}{l} f = \{(x, y) \in R \times R^{+} | x^{2} + y^{2} = 9\} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x = 0; x \in R \\ \Rightarrow {(0)}^{2} + y^{2} = 9 \\ \Rightarrow y = \pm 3; y \in R^{+} \\ \Rightarrow y = 3 \end{array}$

به‌ازای هر $x$ فقط يک $y$ ظاهر شد، بنابراين $f$ تابع است.

$x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 0$

$\begin{array}{l} i f x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1 \end{cases} \end{array}$

$f = \{(0, 1)\}$

رابطه فوق فقط وقتی برقرار است كه داشته باشیم:

$x = 0, y = 1$

اين رابطه يک تابع يک عضوی را نشان می‌دهد.

$y^{2} - y x = 0$

$\begin{array}{l} i f x = 1 \Rightarrow y^{2} - y = 0 \Rightarrow y (y - 1) = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} y = 0 \\ y = 1 \end{cases} \end{array}$

$f = \{(1, 0), (1, 1)\}$

به‌ازای هر $x$ بیش از يک $y$ ظاهر شد، بنابراين $f$ تابع نیست.

$\{\begin{cases} f : Q \to Z \\ f (\frac{m}{n}) = m n, m \in Z, n \neq 0 \end{cases}$

$Q$ مجموعه اعداد گويا است.

هر كسر بيشتر از يک نمايش دارد، مثلا:

$\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$

$\begin{array}{l} f (\frac{1}{3}) = 1 \times 3; (\frac{1}{3}, 3) \in f \\ f (\frac{2}{6}) = 2 \times 6; (\frac{2}{6} = \frac{1}{3}, 12) \in f \\ f = \{(\frac{1}{3}, 3), (\frac{1}{3}, 12)\} \end{array}$

به‌ازای هر $x$ بیش از يک $y$ ظاهر شد، بنابراين $f$ تابع نیست.

$[y^{2} + {(x - 1)}^{2}] (\sqrt{y^{2} - x^{2}}) = 0$

$\begin{array}{l} y^{2} + {(x - 1)}^{2} = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} y = 0 \\ x - 10 \Rightarrow x = 1 \end{cases} \end{array}$

$\sqrt{y^{2} - x^{2}} = 0 \Rightarrow y^{2} - x^{2} = 0 \Rightarrow y^{2} = x^{2} \Rightarrow y = \pm x$

به‌ازای هر $x$ بیش از يک $y$ ظاهر شد، بنابراين $f$ تابع نیست.

$(y^{3} - x^{3}) (y^{5} - x^{5}) = 0$

$\begin{array}{l} y^{3} - x^{3} = 0 \Rightarrow y^{3} = x^{3} \Rightarrow y = x \\ y^{5} - x^{5} = 0 \Rightarrow y^{5} = x^{5} \Rightarrow y = x \end{array}$

به‌ازای هر $x$ فقط يک $y$ ظاهر شد، بنابراين $f$ تابع است.

$y^{3} \sqrt{x^{6} - x^{3}} = 0$

$\begin{array}{l} y^{3} = 0 \Rightarrow y = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{x^{6} - x^{3}} = 0 \Rightarrow x^{6} - x^{3} = 0 \Rightarrow x^{3} (x^{3} - 1) = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x = 1 \end{cases} \end{array}$

$f = \{(0, 0), (1, 0)\}$

به‌ازای هر $x$ فقط يک $y$ ظاهر شد، بنابراين $f$ تابع است.

$y^{3} + x^{3} - 1 = 0$

$\begin{array}{l} y^{3} + x^{3} - 1 = 0 \\ \Rightarrow y^{3} = 1 - x^{3} \\ \Rightarrow y = \sqrt[3]{1 - x^{3}} \end{array}$

به‌ازای هر $x$ فقط يک $y$ ظاهر شد، بنابراين $f$ تابع است.

$y^{3} - x y = 0$

$\begin{array}{l} i f x = 1 \\ \Rightarrow y^{3} - y = 0 \\ \Rightarrow y (y^{2} - 1) = 0 \\ \Rightarrow y = 0, 1, - 1 \end{array}$

به‌ازای هر $x$ بیش از يک $y$ ظاهر شد، بنابراين $f$ تابع نیست.

$(y - x^{2}) [{(x - 1)}^{2} + y^{2}] = 0$

$\begin{array}{l} y - x^{2} = 0 \Rightarrow y = x^{2} \end{array}$

${(x - 1)}^{2} + {(y - 0)}^{2} = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \\ y = 0 \end{cases}$

$i f x = 1 \Rightarrow \{\begin{cases} y = {(1)}^{2} = 1 \\ y = 0 \end{cases}$

$f = \{(1, 0), (1, 1)\}$

به‌ازای هر $x$ بیش از يک $y$ ظاهر شد، بنابراين $f$ تابع نیست.

$y^{3} + {(x - 1)}^{2} y = 0$

$\begin{array}{l} y^{3} + {(x - 1)}^{2} y = 0 \\ \Rightarrow y [y^{2} + {(x - 1)}^{2}] = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} y = 0 \\ y^{2} + {(x - 1)}^{2} = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} y = 0 \\ x = 1 \end{cases} \end{cases} \end{array}$

$\Rightarrow i f x = 1 \Rightarrow y = 0$

$f = \{(1, 0)\}$

اين رابطه يک تابع يک عضوی است.

$y^{2} - 2 x y + 1 = 0$

$\begin{array}{l} i f x = 3 \\ \Rightarrow y^{2} - 6 y + 1 = 0 \\ \Rightarrow y = 3 \pm 2 \sqrt{2} \end{array}$

به‌ازای هر $x$ بیش از يک $y$ ظاهر شد، بنابراين $f$ تابع نیست.

$y^{3} + x^{3} - 6 x y + 8 = 0$

یادآوری) اتحاد اولر

$\begin{array}{l} a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = \frac{1}{2} (a + b + c) [{(a - b)}^{2} + {(c - a)}^{2} + {(b - c)}^{2}] \end{array}$

$\begin{array}{l} y^{3} + x^{3} + 8 - 6 x y = 0 \\ \Rightarrow y^{3} + x^{3} + {(2)}^{3} - 3 x y (2) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{2} (y + x + 2) [{(y - x)}^{2} + {(2 - y)}^{2} + {(x - 2)}^{2}] = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x + y + 2 = 0 \Rightarrow y = - x - 2; (2, - 4) \in f \\ y - x = 0 \Rightarrow y = x \\ \begin{array}{l} 2 - y = 0 \Rightarrow y = 2 \\ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \end{array}〉 (2, 2) \in f \end{cases}$

به‌ازای هر $x$ بیش از يک $y$ ظاهر شد، بنابراين $f$ تابع نیست.

$y^{3} + x^{2} y = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y (y^{2} + x^{2}) = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} y = 0 \\ y^{2} + x^{2} = 0 \Rightarrow y^{2} \neq - x^{2} \end{cases}$

$i f y = 0 \Rightarrow x = 0; (0, 0) \in f$

اين رابطه يک تابع يک عضوی است.

$y^{2} + \sqrt{x^{4} - x^{2}} = 0$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} y^{2} = 0 = y = 0 \\ x^{4} - x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} (x^{2} - 1) = 0 \Rightarrow x = 0, 1, - 1 \end{cases} \end{array}$

$f = \{(0, 0), (1, 0), (- 1, 0)\}$

به‌ازای هر $x$ فقط يک $y$ ظاهر شد، بنابراين $f$ تابع است.

${(y^{2} - y)}^{2} + {(x^{3} - x)}^{2} = 0$

$\begin{array}{l} y^{2} - y = 0 \Rightarrow y (y - 1) = 0 \Rightarrow y = 0, y = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{3} - x = 0 \Rightarrow x (x^{2} - 1) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 1, x = - 1 \end{array}$

$f = \{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (- 1, 0), (- 1, 1)\}$

به‌ازای هر $x$ بیش از يک $y$ ظاهر شد، بنابراين $f$ تابع نیست.

$\sin y = x$

$\begin{array}{l} i f x = 0 \Rightarrow \sin y = 0 \Rightarrow y = k π; k \in Z \end{array}$

$f = \{\dots, (0, - π), (0, 0), (0, π), (0, 2 π), \dots\}$

به‌ازای هر $x$ بیش از يک $y$ ظاهر شد، بنابراين $f$ تابع نیست.

$y^{3} - x^{3} + y x^{2} - x y^{2} - 2 y^{2} + 2 x^{2} - 2 y + 2 x = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (y^{3} - x^{3}) + (- x y^{2} + x^{2} y) + 2 (x^{2} - y^{2}) + 2 (x - y) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (y - x) (y^{2} + x y + x^{2}) - x y (y - x) - 2 (y - x) (y + x) - 2 (y - x) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (y - x) (y^{2} + x y + x^{2} - x y - 2 y - 2 x - 2) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (y - x) [{(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 4] = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} y - x = 0 \Rightarrow y = x \\ {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 4 = 0 \Rightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4 \end{cases}$

به‌ازای هر $x$ در رابطه اخیر، بیش از يک $y$ ظاهر شد، بنابراين $f$ تابع نیست.

$y^{3} - x^{3} + y - x = 0$

$\Rightarrow \begin{array}{l} (y^{3} - x^{3}) + (y - x) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (y - x) (y^{2} + y x + x^{2}) + (y - x) = 0 \\ \Rightarrow (y - x) (y^{2} + y x + x^{2} + 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} y - x = 0 \Rightarrow y = x \\ y^{2} + y x + x^{2} + 1 \neq 0 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} y^{2} + y x + x^{2} + 1 = (y^{2} + 2 x y + x^{2}) + 1 - x y = [{(y + x)}^{2} + 1] - x y > 0 \end{array}$

$f = \{\dots, (1, 1), (2, 2), (3, 3), \dots\}$

به‌ازای هر $x$ فقط يک $y$ ظاهر شد، بنابراين $f$ تابع است.

$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = 2$

برای آن‌که زیر رادیکال تعریف شده باشد بایستی $x$ و $y$ هم علامت باشند.

$\begin{array}{l} i f x y > 0; \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = 2 \Rightarrow \sqrt{\frac{x}{y}} = 1 \Rightarrow \frac{x}{y} = 1 \Rightarrow y = x \end{array}$

$f = \{\dots, (- 2, - 2), (- 1, - 1), (1, 1), (2, 2), \dots\}$

به‌ازای هر $x$ فقط يک $y$ ظاهر شد، بنابراين $f$ تابع است.

تمرین

معادله زیر، تابع است:

$(y - x^{3} + 1) [{(y - a)}^{2} + {(x - 2)}^{2}] = 0$

مقدار $a$ را بیابید.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} y - x^{3} + 1 = 0 \Rightarrow y = x^{3} - 1 \\ [{(y - a)}^{2} + {(x - 2)}^{2}] = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} y - a = 0 \Rightarrow y = a \\ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \end{cases} \end{cases} \end{array}$

$y = x^{3} - 1 \Rightarrow a = {(2)}^{3} - 1 \Rightarrow a = 7$

تمرین

معادله زیر مفروض است:

$y^{2} - x^{2} = 0$

چند تابع با دامنه $R$ در رابطه فوق صدق می‌كند؟

$\begin{array}{l} y^{2} - x^{2} = 0 \\ \Rightarrow y^{2} = x^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {|y|}^{2} = {|x|}^{2} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} y = x \\ y = - x \\ y = |x| \\ y = - |x| \end{cases} \end{array}$

تمرین

توابع $f$ و $g$ دارای يک مجموعه دامنه و يک مجموعه برد می‌باشند.

آن‌گاه ثابت كنيد:

$f \subseteq g \Rightarrow f = g$

$\begin{array}{l} D_{f} = D_{g} = A \\ R_{f} = R_{g} = B \\ \forall x \in A; (x, f (x)) \in f \subseteq g \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x, f (x)) \in g \\ \Rightarrow \forall x \in A, f (x) = g (x) \\ \Rightarrow f = g \end{array}$

تمرین

اگر در مورد تابع $g$ داشته باشیم:

$g (0) = 2, g (1) = 5, g (- 2) = \frac{1}{3}, g (4) = 3$

$g$ را به‌صورت مجموعه ای از زوج های مرتب بنویسید.

$\begin{array}{l} i f g (4) = 3 \Rightarrow (4, 3) \in g \\ i f g (- 2) = \frac{1}{3} \Rightarrow (- 2, \frac{1}{3}) \in g \end{array}$

$\begin{array}{l} i f g (1) = 5 \Rightarrow (1, 5) \in g \\ i f g (0) = 2 \Rightarrow (0, 2) \in g \end{array}$

$g$ را به‌صورت مجموعه ای از زوج های مرتب می‌نویسیم:

$g = \{(- 2, \frac{1}{3}), (0, 2), (1, 5), (4, 3)\}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

باید توجه داشته باشیم که معادله تابع را با خود تابع اشتباه نکنیم.

مثلا معادله $y = x^{3}$ یک ضابطه تابع است نه خود تابع.

اگر برای این ضابطه، حوزه‌ای تعریف کنیم و مقادیری برای آن در نظر بگیریم، در آن صورت یک تابع مشخص می‌شود مانند:

$\{\begin{cases} f : R \to R \\ f (x) = y = x^{3} \end{cases}$

لذا نماد $f$ با $f (x)$ متفاوت است، $f$ خود تابع است و $y = f (x)$ ضابطه تابع است.

هر چند، گاهی به اشتباه برای سادگی به‌طور خلاصه بیان می‌شود تابع $f (x) = x^{3}$ که بهتر است ذکر شود تابع با ضابطه $f (x) = x^{3}$ .

یادآوری

تابع $f$ از مجموعه غیر تهی $A$ به‌توی مجموعه $B$ رابطه‌ای است که هر عضو از یک زیر مجموعه $A$ را دقیقا به یک عضو از $B$ نظیر یا تصویر می‌کند.

$A$ را مجموعه آغاز و $B$ را مجموعه پایان یا هم دامنه (co - domain) می‌نامیم.

زیر مجموعه‌ای از $A$ را که اعضای آن به اعضای $B$ نظیر شده است را دامنه تابع گویند.

مجموعه‌ای از اعضای $B$ را که عضوهای دامنه به آن نظیر شده است را برد تابع گویند.

به نمونه زیر توجه کنید:

تابع - پیمان گردلو

خرید پاسخ‌ها

نمایش رابطه ریاضی تابع

4,500تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تابع

نمایش رابطه ریاضی تابع

مقدمه

تعریف

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟