سرفصل‌های این مبحث

تابع

نمایش زوج مرتب تابع

آخرین ویرایش: 24 دی 1402

دسته‌بندی: تابع

امتیاز:

در صورتی مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب، یک تابع را مشخص می‌کند که در آن مجموعه، دو زوج مرتب با مولفه‌های اول برابر یافت نشود، یا در صورت برابری مولفه‌های اول، مولفه های دومشان با هم برابر باشند.

در زیر، مجموعه $f_{1}$ تابع نیست، $f_{2}$ و $f_{3}$ تابع هستند:

$\begin{array}{l} f_{1} = \{(1, 0), (3, 0), (1, - 1)\} \end{array}$

$\begin{array}{l} f_{2} = \{(1, 0), (2, 0), (3, 1)\} \end{array}$

$f_{3} = \{(a, b), (b, c), (a, b)\}$

نکته

مجموعه تهی از نظر منطق، تابع محسوب می‌شود، چون در آن نمی‌توان دو زوج مرتب یافت که مولف‌های اول مساوی داشته باشد.

تمرین

کدام‌ یک از زوج ‌های مرتب زیر تابع است؟

$\begin{array}{l} \{(2, 1), (3, - 5), (3, 7)\} \end{array}$

مجموعه‌ فوق، تابع نیستد.

دو زوج مرتبی داریم که مولفه های اولشان با هم برابرند.

$\begin{array}{l} \{(0, 1), (\frac{3}{5}, 1), (- 5, 1), (8, 1)\} \end{array}$

مجموعه‌ فوق، تابع است.

زیرا هیچ دو زوج مرتبی پیدا نمی‌شود که مولفه ‌های اول برابر داشته باشند.

$\begin{array}{l} \{(1, 1), (2, 2), (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}), (- 4, 3)\} \end{array}$

مجموعه‌ فوق، تابع است.

زیرا هیچ دو زوج مرتبی پیدا نمی‌شود که مولفه‌ های اول برابر داشته باشند.

$\{(2, 3), (0, - 6), (0, 3), (\sqrt{7}, 1)\}$

مجموعه‌ فوق، تابع نیست.

دو زوج مرتب داریم که مولفه های اولشان با هم برابرند.

$\{(2, 3), (3, 2), (1, 1)\}$

مجموعه‌ فوق، تابع است.

هیچ دو زوج مرتبی پیدا نمی‌شود که مولفه ‌های اول برابر داشته باشند.

$\{(- 1, 0), (0, 1), (2, 3), (\sqrt[3]{- 1}, 4)\}$

مجموعه‌ فوق، تابع نیست.

دو زوج مرتب $(- 1, 0), (\sqrt[3]{- 1}, 4)$ مولفه ‌های اولشان با‌هم برابرند.

$\{(- 1, 2)\}$

مجموعه‌ فوق، تابع است.

هیچ دو زوج مرتبی پیدا نمی‌شود که مولفه ‌های اول برابر داشته باشند.

$\{(0, 0), (2, 1), (3, 2), (- 1, 0), (2, - 2)\}$

مجموعه‌ فوق تابع، نیست.

دو زوج مرتب $(2, 1), (2, - 2)$ مولفه ‌های اولشان با‌هم برابرند.

$\{(0, 0), (2, 1), (3, 2), (- 1, 0), (2, 1)\}$

مجموعه‌ فوق، تابع است.

در تعریف تابع داشتیم:

هیچ دو زوج مرتبی پیدا نمی‌شود که مولفه‌ های اول برابر داشته باشند يا در صورت برابری مولفه های اول، مولفه های دومشان با هم برابر باشند.

زوج‌ های مرتب $(2, 1), (2, 1)$ مولفه‌ های اول و دومشان باهم برابر است.

تمرین

اگر روابط زیر تابع باشند، مقادیر متغیر $x$ را بیابید.

$\begin{array}{l} f = \{(4, 5), (|x|, 5)\} \end{array}$

$x \in R$

$g = \{(4, 5), (6, x^{2} - 1), (3, 1), (6, 0)\}$

$x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$

$g = \{(2, 3), (0, - 1), (x^{2} - 2 x, 3), (- 1, x)\}$

$\{\begin{cases} x^{2} - 2 x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, 2 \\ x^{2} - 2 x \neq - 1 \Rightarrow x \neq 1 \end{cases}〉 x \in R - \{0, 1, 2\}$

تمرین

مقادیر $x, y$ را چنان بیابید که رابطه زیر یک تابع باشد.

$g = \{(1, 4), (2, 3), (1, x^{2} - 3 x), (x - 2, y + 1)\}$

$\begin{array}{l} (1, 4) = (1, x^{2} - 3 x) \\ \Rightarrow x^{2} - 3 x = 4 \\ \Rightarrow x^{2} - 3 x - 4 = 0 \\ \Rightarrow (x - 4) (x + 1) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x = 4 \\ x = - 1 \end{cases} \end{array}$

$i f x = 4; g = \{(1, 4), (2, 3), (1, 4), (2, y + 1)\}$

چون رابطه فوق تابع است، مولفه های اول و دوم زوج های مرتب زیر با هم برابر است:

$(2, 3) = (2, y + 1); y + 1 = 3 \Rightarrow y = 2$

$i f x = - 1; g = \{(1, 4), (2, 3), (1, 4), (- 3, 3)\}$

$f = \{(x - 1, 2), (5, x - 2), (x - 2, y + 3), (3, 5), (5, 3)\}$

چون رابطه‌ فوق تابع است، بایستی مولفه ‌‌های دوم زوج های مرتب زیر، برابر باشند:

$(5, 3) = (5, x - 2) \Rightarrow x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5$

رابطه به‌صورت زیر تغییر می‌کند:

$\{(5 - 1, 2), (5, 5 - 2), (5 - 2, y + 3), (3, 5), (5, 3)\} = \{(4, 2), (5, 3), (3, y + 3), (3, 5), (5, 3)\}$

چون رابطه‌ فوق تابع است، بایستی مولفه ‌‌های دوم زوج های مرتب زیر، برابر باشند:

$(3, y + 3) = (3, 5) \Rightarrow y + 3 = 5 \Rightarrow y = 2$

رابطه به‌صورت زیر تغییر می‌کند:

$\{(4, 2), (5, 3), (3, 2 + 3), (3, 5), (5, 3)\} = \{(4, 2), (5, 3), (3, 5)\}$

تمرین

اگر $f, g$ دو تابع باشند، کدام رابطه زیر می‌تواند تابع نباشد؟

$f \cap g, f \cup g, g - f, f - g$

فرض کنیم $f, g$ دو تابع باشند که به‌صورت زیر تعریف شده باشند:

$\{\begin{array}{l} f = \{(1, 2)\} \\ g = \{(1, 3)\} \end{array}〉 f \cup g = \{(1, 2), (1, 3)\}$

همان‌طور که مشاهده می‌شود، اجتماع دو تابع فوق، تابع نیست.

تذکر

اگر تابعی به‌صورت مجموعه‌‌ای از زوج های مرتب بیان شود، آن‌گاه:

دامنه (Domain ) تابع، عبارت است از مجموعه مولفه‌های اول زوج‌های مرتب که به‌صورت زیر معرفی می‌شود:

$D_{f} = \{x | (x, y) \in f\}$

بُرد (Range) تابع، عبارت است از مجموعه مولفه‌های دوم زوج های مرتب که به‌صورت زیر معرفی می‌شود:

$R_{f} = \{y | (x, y) \in f\}$

تمرین

دامنه و برد تابع $f = \{(1, 0), (2, 0), (3, 1)\}$ را به‌دست آورید.

$\begin{matrix} \begin{array}{l} D_{f} = \{1, 2, 3\} \\ R_{f} = \{0, 1\} \end{array} \end{matrix}$

تذکر

در صورتی جدول نمایش اعداد، یک تابع را مشخص می‌کند که در آن جدول، هر $x$ فقط یک بار تکرار شده باشد.

تمرین

کدام یک از جداول زیر، نمایش یک تابع را نشان می‌دهد.

جدول فوق نشان دهنده تابع است، زیرا هر $x$ فقط یک بار تکرار شده است.

به بیان دیگر ، اگر جدول فوق را به صورت مجموعه‌‌ ای از زوج مرتب بنویسیم، هیچ دو زوج مرتبی یافت نمی‌شود که مولفه‌‌ های اول برابر داشته باشند:

$A = \{(2, 1), (9, 0), (0, 2), (5, 4), (- 1, 4)\}$

جدول فوق نشان دهنده تابع است، زیرا هر $x$ فقط یک بار تکرار شده است.

جدول فوق نشان دهنده تابع نیست، زیرا هر $x$ با $y$ های مختلف، بیش از یک بار تکرار شده است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

نمایش زوج مرتب تابع

1,500تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تابع

نمایش زوج مرتب تابع

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟