سرفصل‌های این مبحث

تابع

نمایش نمودار هندسی تابع

آخرین ویرایش: 01 دی 1402

دسته‌بندی: تابع

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

در صورتی نمایش یک نمودار هندسی، مشخص کننده یک تابع هست، که اگر هر خط به‌موازات محور $y$ ها را رسم کنیم، آن خط نمودار تابع را حداکثر در یک نقطه قطع کند.

تمرین

مشخص کنید کدام یک از نمودار‌های هندسی زیر تابع ‌است؟

شکل فوق تابع است، زیرا هر خط به موازات محور $y$ ها، نمودار تابع را حداکثر در یک نقطه قطع می‌کند.

شکل فوق تابع نیست، زیرا هر خط به موازات محور $y$ ها نمودار تابع را در بیش از یک نقطه قطع می‌کند.

شکل فوق تابع است، زیرا هر خط به موازات محور $y$ ها نمودار تابع را فقط در یک نقطه قطع می‌کند.

نکته

نمودار یک تابع نمی‌تواند نسبت به محور $x$ ها متقارن باشد. نمودار زیر نسبت به محور $x$ ها متقارن است.

هر خط به موازات به محور $y$ ها، نمودار تابع را در بیش از یک نقطه قطع می‌کند، بنابراین نمودار فوق تابع نیست.

یادآوری

در بسیاری از مسائل واقعی مانند مسائلی که وابسته به زمان هستند، ممکن است بررسی تابع در هر لحظه از نظر عملی امکان پذیر نباشد.

در این حالت، با انتخاب نقاطی با فاصله زمانی یکسان (تشکیل یک سری زمانی) رفتار تابع را به طور تقریبی بررسی می‌کنیم.

تمرین

نمودارهای زیر را در نظر بگیرید:

کدام نمودار نشان ‌دهنده‌ ارتفاع یک هواپیما در حالات زیر است؟

حالتی که هواپیما در باند فرودگاه فرود می‌آید.

شکل فوق نشان ‌دهنده‌ ارتفاعی است که هواپیما فرود می‌آید.

حالتی که هواپیما مدتی در آسمان پرواز می‌کند.

شکل فوق نشان ‌دهنده‌ ارتفاع در زمانی است که هواپیما در آسمان پرواز می‌کند.

حالتی که هواپیما از باند فرودگاه بلند می‌شود، مدتی در آسمان پرواز می‌کند و سپس فرود می‌آید.

شکل فوق نشان ‌دهنده‌ ارتفاع هواپیمایی است که از باند یک فرودگاه بلند می‌شود، مدتی در آسمان پرواز می‌کند و سپس فرود می‌آید.

تمرین

نمودار زیر تغییرات در دمای یک شهر از ساعت $7$ صبح تا $14$ بعد از ظهر را نشان می‌دهد.

از روی نمودار به‌ازای هر ساعت معینی، یک دمای معینی را می‌توانیم بررسی کنیم.

به سوالات زیر پاسخ دهید.

آیا نمودار فوق نمودار یک تابع است؟

نمودار فوق نمودار یک تابع است، زیرا هر خط به موازات محور $y$ ها نمودار تابع را فقط در یک نقطه قطع می‌کند.

بیشترین و کمترین دمای ثبت شده چه‌قدر هستند؟

بیشترین دمای ثبت ‌شده در ساعت $14$ می‌باشد که معادل $26$ درجه سانتی‌گراد است.

کمترین دمای ثبت ‌شده در ساعات $7$ و $10$ می‌باشد که معادل $20$ درجه سانتی‌گراد است.

در کدام ساعات، دما ثابت مانده است؟

دما در ساعات بین $11$ تا $12$ ثابت مانده است که معادل $22$ درجه سانتی‌گراد است.

تمرین

از لحاظ نظری یک پزشک می‌تواند میزان یک دارو را در بدن بیمار در هر لحظه از شبانه روز اندازه‌گیری کند اما در عمل او با فواصل زمانی یکسان (مثلا در هر یک ساعت از زمان بستری شدن بیمار) به کمک آزمایش، میزان دارو را در بدن بیمار بررسی می‌کند.

به بیان ریاضی، این پزشک رفتار تابعی را که در مجموعه اعداد حقیقی تعریف شده است، در مجموعه اعداد طبیعی بررسی می‌کند. (میزان دارو در اولین آزمایش، دومین آزمایش و....).

نمودار واقعی میزان دارو در بدن بیمار در هشت ساعت اول از زمان بستری شدن به‌صورت زیر است:

نمودار میزان دارو در بدن بیمار در هر آزمایش را به‌صورت تقریبی، نمایش دهید.

تمرین

مدرسه علی در انتهای خیابانی است که خانه علی در آن خیابان است.

علی موقع رفتن به مدرسه ممکن است راه برود یا بدود یا برای دیدن مغازه ها بایستد یا به عقب برگردد یا برای به‌موقع رسیدن، سوار ماشین شود.

نمودار حرکت یکی از روزهایی که علی به مدرسه رفته است به‌شکل زیر است.

اگر واحد زمان را دقیقه و واحد مکان را $100$ متر در نظر بگیرید، به سوالات زیر پاسخ دهید.

فاصله مدرسه علی تا خانه او چقدر است و چقدر طول کشیده است تا علی به‌مدرسه برسد؟

فاصله‌ مدرسه‌ علی تا خانه $300$ متر است.

$l = 3 \times 100 = 300 m$

پس از $t = 9$ دقیقه علی به‌مدرسه رسیده است.

در دو دقیقه اول حرکت، سرعت حرکت علی چقدر بوده است؟

در دو دقیقه‌ اول حرکت، سرعت حرکت به‌طور یکنواخت (ثابت) بوده و $100$ متر را در $t = 2$ دقیقه طی کرده است.

$l = 1 \times 100 = 100 m$

در دو دقیقه دوم حرکت، احتمالا علی چه‌کاری می‌کرده است؟

در دو دقیقه‌ دوم یعنی در بازه زمانی $[2, 4]$ تابع حرکت ثابت است و سرعت علی صفر است.

یعنی علی ایستاده است و احتمالا مشغول تماشای مغازه‌ ای بوده است.

در دقایق بین $4$ و $5$ علی با چه سرعتی و در چه جهتی حرکت می‌کرده است؟

در حال دویدن بوده است یا راه رفتن؟

در دقایق بین $4$ و $5$ حرکت یکنواخت و در جهت عکس است.

علی در مدت $1$ دقیقه $100$ متر را طی کرده، سرعت دو برابر حالت قبل است و علی به سمت خانه می‌دویده.

در دقایق بین $5$ و $7$ علی کجا بوده و احتمالا چه می‌کرده است؟

در این دقایق، علی در خانه بوده و احتمالا به مدت $2$ دقیقه استراحت می‌کرده. (سرعت صفر است.)

در بین دقایق $7$ و $9$ حدودا سرعت حرکت او چقدر بوده است و احتمالا علی چه عملی انجام داده است؟

در این دقایق، علی در $2$ دقیقه، $300$ متر را طی کرده است و احتمالا برای آن‌که دیرش نشود، سوار تاکسی شده است.

قسمت اول منحنی از دقیقه‌ $7$ نشان می‌دهد که سرعت در حال افزایش است و ماشین در حال گاز دادن است.

پس از مدتی سرعت ثابت می‌شود و در نزدیکی مدرسه و لحظاتی قبل از دقیقه‌ $9$ سرعت در حال کاهش است تا به صفر می‌رسد.

در این لحظات ماشین در حال ترمز کردن بوده است.

بین دقایق $9$ و $10$ علی کجا بوده است و احتمالا چه می‌کرده است؟

بین این دقایق، علی در مدرسه بوده و احتمالا در حیاط مدرسه منتظر شروع کلاس ‌ها بوده است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

اگر تابعی به‌صورت نمودار هندسی بیان شده باشد، آن‌گاه:

برای یافتن دامنه تابع کافی است که نمودار رسم شده را روی محور $x$ ها تصویر نماییم، هر قسمت از این محور که توسط عمل تصویر پوشیده شود را دامنه معرفی می‌نماییم.

برای یافتن برد تابع کافی است که نمودار رسم شده را روی محور $y$ ها تصویر نماییم، هر قسمت از این محور که توسط عمل تصویر پوشیده شود را برد معرفی می‌نماییم.

تابع - پیمان گردلو

تمرین

مشخص می‌کنیم کدام یک از نمودار‌های هندسی زیر تابع است، دامنه و برد نمودارهای زیر را تعیین می‌کنیم:

نمودار هندسی فوق تابع است، زیرا هر خط به موازات محور $y$ ها نمودار تابع را حداکثر در یک نقطه قطع می‌کند.

دامنه و برد تابع فوق، به‌صورت زیر است:

$\begin{array}{l} D_{f} = \{1, 2, 3, 4\} \\ R_{f} = \{2, 4\} \end{array}$

نمودار هندسی فوق تابع نیست، زیرا هر خط به موازات محور $y$ ها نمودار تابع را در بیش از یک نقطه قطع می‌کند.

دامنه و برد رابطه فوق، به صورت زیر است:

$\begin{array}{l} D_{f} = \{1, 2, 3, 4\} \\ R_{f} = \{1, 2, 3\} \end{array}$

نمودار هندسی فوق تابع است، زیرا هر خط به موازات محور $y$ ها نمودار تابع را فقط در یک نقطه قطع می‌کند.

برای یافتن دامنه تابع کافی است که نمودار رسم شده را روی محور x ها تصویر نماییم:

$D_{f} = (- \infty, + \infty) = ℝ$

برای یافتن برد تابع کافی است که نمودار رسم شده را روی محور y ها تصویر نماییم:

$R_{f} = [0, + \infty)$

نمودار هندسی فوق تابع است، زیرا هر خط به موازات محور $y$ ها نمودار تابع را فقط در یک نقطه قطع می‌کند.

برای یافتن دامنه تابع کافی است که نمودار رسم شده را روی محور x ها تصویر نماییم:

$D_{f} = [0, 2 / 5]$

برای یافتن برد تابع کافی است که نمودار رسم شده را روی محور y ها تصویر نماییم:

$R_{f} = [0, 5]$