سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع همانی

آخرین ویرایش: 24 دی 1402

دسته‌بندی: تابع

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

می‌توان تابع همانی را هم‌چون ماشینی در نظر گرفت که ورودی های مختلف دقیقا به همان صورت خارج می‌شوند.

ورودی ‌ها از دامنه داده می‌شوند و برای هر ورودی، همان به عنوان برد، خارج می‌شود.

نمایش زوج مرتب تابع همانی

تابع همانی به هر متغیر، همان را نسبت می‌دهد و به‌صورت مجموعه زوج‌های مرتب زیر است:

$f (x) = \{(x, x) |x \in A\} \Rightarrow \{\begin{cases} D_{f} = A \\ R_{f} = A \end{cases}$

در ماشین فوق، مجموعه زوج های مرتب زیر ساخته می‌شوند:

$f = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), . . .\}$

نمایش نمودار پیکانی تابع همانی

در صورتی نمودار پیکانی، یک تابع همانی را مشخص می‌کند که هر عضو از مجموعه آغاز با یک فلش به همان عضو در مجموعه انجام (مجموعه پایان) وارد شود.

در نمودار پیکانی فوق، دامنه و برد به صورت زیر می‌باشد:

$\{\begin{cases} D_{f} = \{1, 2, 3, . . .\} \\ R_{f} = \{1, 2, 3, . . .\} \end{cases}$

نمایش نمودار هندسی تابع همانی

نمودار این تابع، زیر مجموعه‌ای از نیمساز ربع اول و سوم با معادله خط زیر است:

$y = f (x) = x$

نمایش رابطه ریاضی تابع همانی

تابع $f : A \to B$ با ضابطه $f (x) = x$ را روی مجموعه $A$ همانی گوییم، هرگاه:

$\forall x \in A; f (x) = x$

همان‌طور که مشاهده می‌شود، دامنه و برد توابع همانی، با هم برابر است.

$D_{f} = R_{f} = A$

تذکر

1- دامنه و برد تابع همانی با هم برابر هستند، البته این امر شرط لازم است و نه کافی، یعنی اگر در تابعی دامنه و برد مساوی باشد، لزومی ندارد که تابع همانی باشد.

2- تابع همانی اکیدا صعودی است و عضو خنثی برای عمل ترکیب توابع است:

$f o I (x) = I o f (x) = f (x)$

به‌عنوان نمونه، توابع زیر همگی توابع همانی هستند:

تمرین

نشان دهید توابع زیر همگی همانی هستند.

$D_{f} = [- 5, 5], R_{f} = [- 5, 5]$

$D_{f} = \{2, 7, - 5\}, R_{f} = \{2, 7, - 5\}$

$D_{f} = \{1, 2, 3, ...\} = ℕ, R_{f} = \{1, 2, 3, ...\} = ℕ$

آنها را با یک‌دیگرمقایسه کرده، تفاوت و شباهت‌های آنها را بیان کنید.

شباهت‌ها:

در هر سه شکل فوق، دامنه و بُرد توابع برابر هستند و هر عضو در دامنه دقیقا به همان عضو در بُرد نظیر می‌شود، بنابراین نمونه‌های ارائه‌ شده توابع همانی هستند.

تفاوت‌ها:

شکل اول به‌صورت نمودار هندسی، شکل دوم به‌ صورت نمودار ون و شکل سوم به ‌صورت جدول نمایش داده شده‌اند.

در شکل اول دامنه و برد نمودار هندسی پیوسته است.

در شکل دوم دامنه و برد نمودار ون گسسته و متناهی است.

در شکل سوم دامنه و برد جدول گسسته و نامتناهی است.

تمرین

تابع زیر یک تابع همانی است:

$f = \{(4, 3 m - 2), (n - 1, 3)\}$

حاصل $\frac{m}{n}$ را به‌دست آورید.

اگر تابعی به‌صورت مجموعه‌ ای از زوج های مرتب مانند تابع فوق، تعریف شده باشد:

این تابع وقتی تابع همانی است که مولفه های اول و دوم هر زوج مرتب از این مجموعه با هم برابر باشند:

$3 m - 2 = 4 \Rightarrow 3 m = 6 \Rightarrow m = 2$

$n - 1 = 3 \Rightarrow n = 4$

$\frac{m}{n} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

تمرین

اگر $f$ تابع همانی باشد و داشته باشیم:

$f (3) = 9 - k$

مقدار $k$ چقدر است؟

اگر تابع فوق را به‌صورت مجموعه ای از زوج مرتب بنویسیم، داریم:

$(3, 9 - k) \in f$

طبق تعریف تابع همانی، مولفه اول و دوم این زوج مرتب با هم برابر است:

$9 - k = 3 \Rightarrow k = 6$

تمرین

فرض کنیم تابع زیر یک تابع همانی باشد:

$f (x) = \frac{x^{2} + a x + a - 1}{x + 1}$

مقدار $a$ را مشخص کنید.

ضابطه یک تابع همانی به‌صورت زیر است:

$f (x) = x$

در تابع فوق به‌جای $f (x)$ مقدار $x$ را قرار می‌دهیم:

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{x^{2} + a x + a - 1}{x + 1}; f (x) = x \\ \Rightarrow x = \frac{x^{2} + a x + a - 1}{x + 1}; x \neq - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} + a x + (a - 1) \equiv x^{2} + x + 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1 \end{cases}〉 a = 1 \end{array}$

نمودار تابع را رسم کنید.

برای رسم نمودار تابع داریم:

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{x^{2} + a x + a - 1}{x + 1}; a = 1 \\ \Rightarrow f (x) = \frac{x^{2} + 1 x + 1 - 1}{x + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = \frac{x^{2} + x}{x + 1} \\ \Rightarrow f (x) = \frac{x (x + 1)}{x + 1}; x \neq - 1 \\ \Rightarrow f (x) = x \end{array}$

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f (x) = (a - c) x^{2} + (a - b) x + 3 x - 4 + b$

اگر تابع فوق یک تابع همانی باشد، مقدار عبارت کسری زیر را محاسبه کنید:

$\frac{f (a) + f (b)}{f (a + c)}$

$\begin{array}{l} f (x) = (a - c) x^{2} + (a - b) x + 3 x + b - 4; f (x) = x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = (a - c) x^{2} + (a - b) x + 3 x + b - 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 0 x^{2} + 1 x + 0 \equiv (a - c) x^{2} + (a - b + 3) x + (b - 4) \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a - c = 0 \Rightarrow (2) - c = 0 \Rightarrow c = 2 \\ a - b + 3 = 1 \Rightarrow a - (4) + 3 = 1 \Rightarrow a = 2 \\ b - 4 = 0 \Rightarrow b = 4 \end{cases}$

در عبارت کسری زیر داریم:

$\begin{array}{l} \frac{f (a) + f (b)}{f (a + c)} = \frac{f (2) + f (4)}{f (2 + 2)} \end{array}$

$\Rightarrow \frac{f (a) + f (b)}{f (a + c)} = \frac{f (2) + f (4)}{f (4)}; \{\begin{cases} f (x) = x \\ f (2) = 2 \\ f (4) = 4 \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{f (a) + f (b)}{f (a + c)} = \frac{2 + 4}{4} \\ \Rightarrow \frac{f (a) + f (b)}{f (a + c)} = \frac{6}{4} \\ \Rightarrow \frac{f (a) + f (b)}{f (a + c)} = \frac{3}{2} \end{array}$

تمرین

در مورد تابع همانی $f$ با دامنه $R - \{0\}$ ، کدام‌یک از تساوی های زیر درست نیست.

$\begin{array}{l} f (a) + f (- a) = 0 \end{array}$

$\{\begin{cases} f (a) = a \\ f (- a) = - a \end{cases}〉 f (a) + f (- a) = a - a = 0$

تساوی فوق درست است.

$\begin{array}{l} f (a b) = f (a) f (b) \end{array}$

$\{\begin{cases} f (a b) = a b \\ f (a) . f (b) = (a) . (b) \end{cases}〉 f (a b) = f (a) . f (b)$

تساوی فوق درست است.

$f (a + b) = f (a) + f (b)$

$\{\begin{cases} f (a + b) = a + b \\ f (a) + f (b) = a + b \end{cases}〉 f (a + b) = f (a) + f (b)$

تساوی فوق درست است.

$f (\frac{1}{a + b}) = f (\frac{1}{a}) + f (\frac{1}{b})$

$\{\begin{cases} f (\frac{1}{a + b}) = \frac{1}{a + b} \\ f (\frac{1}{a}) + f (\frac{1}{b}) = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \end{cases}$

$\frac{1}{a + b} \neq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \Rightarrow f (\frac{1}{a + b}) \neq f (\frac{1}{a}) + f (\frac{1}{b})$

تساوی فوق درست نیست.

تمرین

کدام‌یک از توابع زیر تابع همانی نیست؟

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{x^{2}}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{x^{2}}{x} \overset{x \neq 0}{\to} f (x) = x \end{array}$

تابع فوق همانی است.

$y = |x|$

$f (x) = |x| = \{\begin{cases} x; x \geq 0 \\ - x; x < 0 \end{cases}$

تابع فوق همانی نیست.

$f = \{(1, 1), (0, 0)\}$

$f = \{(1, 1), (0, 0)\} \Rightarrow \{\begin{cases} f (1) = 1 \\ f (0) = 0 \end{cases}$

تابع فوق همانی است.

تمرین

تابع زیر یک تابع همانی است:

$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$

حاصل عبارت زیر را محاسبه کنید.

$a - b + c - d$

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}; f (x) = x \\ \Rightarrow x = \frac{a x + b}{c x + d} \\ \Rightarrow c x^{2} + d x = a x + b \end{array}$

طرفین تساوی فوق با هم‌دیگر هم ارز هستند:

$\begin{array}{l} \Rightarrow c x^{2} + d x + 0 \equiv (0) x^{2} + a x + b \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} c = 0 \\ d = a \\ b = 0 \end{cases}〉 a - b + c - d = a - 0 + 0 - a = 0$

تمرین

اگر تابع همانی $f$ به‌ازای هر $x$ از دامنه خود برابر با تابع زیر باشد:

$f (x) = c x^{3} - (a + b) x^{2} + b x$

مقدار عبارت زیر را محاسبه کنید:

$a - b$

$\begin{array}{l} f (x) = c x^{3} - (a + b) x^{2} + b x; f (x) = x \end{array}$

$\Rightarrow x = c x^{3} - (a + b) x^{2} + b x$

طرفین تساوی فوق با هم‌دیگر هم ارز هستند:

$\begin{array}{l} \Rightarrow (0) x^{3} + (0) x^{2} + x \equiv c x^{3} - (a + b) x^{2} + b x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} c = 0 \\ - (a + b) = 0 \Rightarrow a + b = 0 \overset{b = 1}{\to} a + 1 = 0 \Rightarrow a = - 1 \\ 1 = b \Rightarrow b = 1 \end{cases} \end{array}$

$a - b = - 1 - 1 = - 2$

تمرین

تابع زیر یک تابع همانی است:

$f (x) = \frac{(m - 1) x^{4} + {(x - 1)}^{3} + a {(x + 1)}^{3}}{2 x^{2} + 6}$

حاصل عبارت زیر را محاسبه کنید:

${(m + 1)}^{a + 1}$

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{(m - 1) x^{4} + {(x - 1)}^{3} + a {(x + 1)}^{3}}{2 x^{2} + 6}; f (x) = x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = \frac{(m - 1) x^{4} + {(x - 1)}^{3} + a (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{2 x^{2} + 6} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = \frac{(m - 1) x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 + a (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{2 x^{2} + 6} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = \frac{(m - 1) x^{4} + (a + 1) x^{3} + 3 (a - 1) x^{2} + 3 (a + 1) x + (a - 1)}{2 x^{2} + 6} \end{array}$

$\Rightarrow 2 x^{3} + 6 x = (m - 1) x^{4} + (a + 1) x^{3} + 3 (a - 1) x^{2} + 3 (a + 1) x + (a - 1)$

طرفین تساوی فوق با هم‌دیگر هم ارز هستند:

$\Rightarrow (0) x^{4} + 2 x^{3} + (0) x^{2} + 6 x + (0) = (m - 1) x^{4} + (a + 1) x^{3} + 3 (a - 1) x^{2} + 3 (a + 1) x + (a - 1)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} m - 1 = 0 \Rightarrow m = 1 \\ a + 1 = 2 \Rightarrow a = 1 \\ 3 (a - 1) = 0 \Rightarrow a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1 \\ 3 (a + 1) = 6 \Rightarrow a + 1 = 2 \Rightarrow a = 1 \\ a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1 \end{cases} \end{array}$

${(m + 1)}^{a + 1} = {(1 + 1)}^{1 + 1} = 2^{2} = 4$

تمرین

اگر تابع زیر یک تابع ثابت باشد:

$f = \{(1, 2), (2, a), (3, b)\}$

و تابع زیر یک تابع همانی باشد:

$g = \{(2, 2), (5, 5), (0, c - 1)\}$

مقدار تابع $h (9)$ را به‌ازای تساوی زیر محاسبه کنید:

$h (x) = {(c x - a)}^{2} + b$

$\{\begin{cases} 2 = a = b \\ c - 1 = 0 \Rightarrow c = 1 \end{cases}〉 h (x) = {(x - 2)}^{2} + 2$

در تابع $h (x)$ مقدار $x = 9$ را قرار می‌دهیم:

$\begin{array}{l} h (x) = {(x - 2)}^{2} + 2; x = 9 \\ \Rightarrow h (9) = {(9 - 2)}^{2} + 2 \\ \Rightarrow h (9) = 49 + 2 \\ \Rightarrow h (9) = 51 \end{array}$

تمرین

اگر $f$ تابعی ثابت و $g$ تابعی همانی باشد، به‌طوری‌که داشته باشیم:

$3 f (2) = g (4)$

مقدار عبارت زیر را محاسبه کنید:

$g (5) + 9 f (- 1)$

$\begin{array}{l} 3 f (2) = g (4); g (x) = x \\ \Rightarrow 3 f (2) = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (2) = \frac{4}{3}, f (x) = c \\ \Rightarrow f (x) = \frac{4}{3} \end{array}$

برای محاسبه عبارت فوق، داریم:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} f (x) = \frac{4}{3} \\ g (x) = x \end{cases} \end{array}$

$g (5) + 9 f (- 1) = 5 + 9 (\frac{4}{3}) = 17$

تمرین

اگر $f$ تابعی همانی و $g$ تابعی ثابت باشد، به‌طوری‌که داشته باشیم:

$g^{2} (0) - g (1) + 1 = f (g (2))$

حاصل عبارت زیر را محاسبه کنید:

$g (f (- 1))$

$\begin{array}{l} g^{2} (0) - g (1) + 1 = f (g (2)); \{\begin{cases} f (x) = x \\ g (x) = c \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow c^{2} - c + 1 = f (c) \\ \Rightarrow c^{2} - c + 1 = c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow c^{2} - 2 c + 1 = 0 \\ \Rightarrow {(c - 1)}^{2} = 0 \\ \Rightarrow c = 1 \end{array}$

$g (f (- 1)) = g (- 1) = c = 1$

تمرین

اگر $f$ تابعی همانی و $g$ تابعی ثابت باشد، به‌طوری‌که داشته باشیم:

$\frac{g (- 1) f (4) + g (4) f (2)}{g (2) + f (- 2)} = 3$

حاصل عبارت زیر را محاسبه کنید:

$f (\frac{3}{2}) \times g (\frac{2}{3})$

$\begin{array}{l} \frac{g (- 1) f (4) + g (4) f (2)}{g (2) + f (- 2)} = 3; \{\begin{cases} f (x) = x \\ g (x) = c \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{(c) (4) + (c) (2)}{c + (- 2)} = 3 \\ \Rightarrow \frac{4 c + 2 c}{c - 2} = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 6 c = 3 c - 6 \\ \Rightarrow 3 c = - 6 \\ \Rightarrow c = - 2; g (x) = c \\ \Rightarrow g (x) = - 2 \end{array}$

$f (\frac{3}{2}) \times g (\frac{2}{3}) = \frac{3}{2} \times (- 2) = - 3$

تمرین

اگر $f$ تابعی همانی و $g$ تابعی ثابت باشد، به‌طوری‌که داشته باشیم:

$g (5) = 3$

حاصل عبارت زیر را محاسبه کنید:

$4 f (g (- 2)) - 2 g (f (7))$

اگر $f$ تابعی همانی باشد، داریم:

$f (x) = x$

اگر $g$ تابعی ثابت باشد، داریم:

$\begin{array}{l} g (x) = c \overset{g (5) = 3}{\to} g (x) = 3 \\ 4 f (g (- 2)) - 2 g (f (7)); \{\begin{cases} f (x) = x \\ g (x) = 3 \end{cases} \\ = 4 f (3) - 2 g (7) \end{array}$

$\begin{array}{l} = 4 (3) - 2 (3) \\ = 12 - 6 \\ = 6 \end{array}$

تمرین

اگر $f$ تابعی ثابت و $g$ تابعی همانی باشد، به‌طوری‌که داشته باشیم:

$\{\begin{cases} f = \{(2 n, - 1), (4, m + 1)\} \\ g = \{(m - 1, 2 n), (1.1)\} \end{cases}$

مقدار عبارت زیر را به‌دست آورید:

$n - m$

اگر تابعی به‌صورت مجموعه ای از زوج های مرتب بیان شده باشد:

الف) تابع وقتی ثابت است که تمام مولفه های دوم این زوج های مرتب با هم برابر باشند. در تابع $f$ داریم:

$m + 1 = - 1 \Rightarrow m = - 2$

ب) تابع وقتی همانی است که مولفه های اول و دوم هر زوج مرتب از این مجموعه با هم برابر باشند. در تابع $g$ داریم:

$\begin{array}{l} m - 1 = 2 n \overset{m = - 2}{\to} (- 2) - 1 = 2 n \Rightarrow n = - \frac{3}{2} \end{array}$

$n - m = - \frac{3}{2} - (- 2) = - \frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$

تمرین

اگر $f$ تابعی ثابت و $g$ تابعی همانی باشد، به‌طوری‌که داشته باشیم:

${(f (3))}^{2} + g (3) = 4 (f (4))$

مقدار عبارت زیر را به‌دست آورید:

$f (5) + g (5)$

$\begin{array}{l} {(f (3))}^{2} + g (3) = 4 (f (4)); \{\begin{cases} f (x) = c \\ g (x) = x \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(c)}^{2} + (3) = 4 (c) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow c^{2} - 4 c + 3 = 0 \\ \Rightarrow (c - 3) (c - 1) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} c - 3 = 0 \Rightarrow c = 3 \\ c - 1 = 0 \Rightarrow c = 1 \end{cases} \end{array}$

$\{\begin{cases} f (x) = 3 \overset{x = 5}{\to} f (5) = 3 \\ g (x) = x \overset{x = 5}{\to} g (5) = 5 \end{cases}〉 f (5) + g (5) = 3 + 5 = 8$

$\{\begin{cases} f (x) = 1 \overset{x = 5}{\to} f (5) = 1 \\ g (x) = x \overset{x = 5}{\to} g (5) = 5 \end{cases}〉 f (5) + g (5) = 1 + 5 = 6$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تابع

تابع همانی

مقدمه

نمایش زوج مرتب تابع همانی

نمایش نمودار پیکانی تابع همانی

نمایش نمودار هندسی تابع همانی

نمایش رابطه ریاضی تابع همانی

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟