مقدمه و تعریفی بر تابع

آخرین ویرایش: 30 آذر 1402

دسته‌بندی: تابع

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف رابطه

دو مجموعه $A = \{1, 2, 3\}$ و $B = \{4, 5\}$ را در نظر می‌گیریم، حاصل‌ضرب دکارتی آنها را تشکیل می‌دهیم:

$\begin{array}{l} A \times B = \{(x, y) | x \in A, y \in B\} \end{array}$

$A \times B = \{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)\}$

هر زیرمجموعه‌ای از حاصل‌ضرب دکارتی $A \times B$ را یک رابطه از $A$ در $B$ می‌نامیم.

در زیر، $f_{1}$ و $f_{2}$ و $f_{3}$ یک رابطه از $A$ در $B$ هستند:

$\begin{array}{l} f_{1} = \{(1, 4), (1, 5)\} \subset A \times B \end{array}$

$\begin{array}{l} f_{2} = \{(2, 4), (1, 4), (3, 4)\} \subset A \times B \end{array}$

$f_{3} = \{(2, 4), (1, 4), (2, 4)\} \subset A \times B$

تذکر

1- به‌ازای هر زوج مرتب، یک نقطه در دستگاه محورهای مختصات به‌وجود می‌آید.

2- رابطه‌ها انواع گوناگون دارند و ما در این بخش، نوع خاصی از آن را که تابع نامیده می‌شود، بررسی می‌کنیم.

تعریف تابع

بسیاری از پدیده‌های پیرامون ما به نوعی با هم ارتباط دارند. یک نوع خاص از این ارتباط (تابع) در موارد زیادی مشاهده می‌شود. به نمونه‌های زیر توجه کنید:

رابطه‌ بین افراد و قد آنها: یک فرد به‌طور هم ‌زمان نمی‌تواند دارای قدهای متفاوت باشد، پس این رابطه، تابع است.
رابطه‌ بین افراد و وزن آنها: یک فرد به‌طور هم‌ زمان نمی‌تواند دارای وزن‌های متفاوت باشد، پس این رابطه، تابع است.
رابطه‌ بین افراد و سن‌ها:یک فرد به‌طور هم‌ زمان نمی‌تواند دارای سن‌های متفاوت باشد، هر فرد در هر زمان فقط یک سن دارد، پس این رابطه، تابع است.
رابطه‌ بین دانش ‌آموزان یک کلاس و نمره‌ ریاضی پایان ترم آنها: هر دانش‌آموز با توجه به برگه‌ امتحان پایان‌ترم فقط یک نمره خواهد داشت، پس این رابطه، تابع است.
رابطه‌ بین سال‌های مختلف و میزان بودجه‌ اختصاص یافته به آن سال‌ها در یک کشور: هر کشور برای هر سال فقط یک بودجه اختصاص می‌دهد، پس این رابطه، تابع است.
رابطه‌ بین افراد و دمای بدن آنها در یک زمان خاص: در یک زمان خاص دمای بدن افراد فقط یک درجه را نشان می‌دهد، پس این رابطه، تابع است.
رابطه‌ بین مستطیل‌‌ها و محیط آنها: هر مستطیل با ابعاد مختلف تنها یک محیط دارد، یعنی هیچ‌ وقت یک مستطیل مشخص و معین دارای دو محیط نخواهد بود، پس این رابطه، تابع است.
رابطه‌ بین افراد و پدرانشان: یعنی هر فرد فقط یک پدر مشخص دارد، پس این رابطه، تابع است.
رابطه بین افراد و پرستش پروردگارشان: یعنی هر فرد فقط یک خدا را پرستش می‌کند، پس این رابطه، تابع است.
دمایی که به ساعت معینی در یک مکان نسبت داده می شود: به یک ساعت معین فقط یک دما را می‌توان نسبت داد، یعنی یک ساعت مشخص دو دمای متفاوت ندارد، پس این رابطه، تابع است.

قیمتی که به اجناس یک فروشگاه نسبت داده می‌شود: یک کالا دو قیمت متفاوت نمی‌تواند داشته باشد، پس این رابطه، تابع است.

تعریف تابع - پیمان گردلو

قضیه

هرگاه $A$ و $B$ دو مجموعه باشند به‌گونه‌ای که تعداد عضوهای مجموعه $A$ را با $|A| = n$ و تعداد عضوهای مجموعه $B$ را با $|B| = m$ ، آن‌گاه تعداد توابع تعریف شده از مجموعه $A$ به داخل مجموعه $B$ برابر است با $m^{n}$ .

اثبات

فرض کنیم دو مجموعه زیر مفروض باشند:

$B = \{b_{1}, ..., b_{m}\}, A = \{a_{1}, ..., a_{n}\}$

عنصر $a_{1}$ را از مجموعه $A$ انتخاب کرده، می‌دانیم تعداد دفعات انتخاب یک عضو از $B$ به عنوان نقش عنصر $a_{1}$ برابر است با $m$ زیرا هر یک از عناصر $B$ می‌تواند این نقش را ایفا کند، با همین نحو استدلال می‌توان گفت تعداد دفعات این انتخاب‌ها برابر است با:(در زیر $m$ به تعداد $n$ بار تکرار شده است.)

$m m ... m = m^{n}$

تمرین

دو مجموعه زیر را در نظر بگیرید.

$\{\begin{cases} A = \{a, b, c, d\} \\ B = \{p, q\} \end{cases}$

تعداد توابع از $A$ به $B$ را به‌دست آورید.

$\{\begin{cases} A = \{a, b, c, d\} \Rightarrow |A| = 4 \\ B = \{p, q\} \Rightarrow |B| = 2 \end{cases}〉 2^{4} = 16$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تابع

مقدمه و تعریفی بر تابع

تعریف رابطه

تعریف تابع

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟