نمایش زبان ریاضی تابع

آخرین ویرایش: 24 دی 1402

دسته‌بندی: تابع

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مفهوم تابع را می‌توان به زبان ریاضی به‌صورت زیر بیان كرد.

رابطه $f$ تابع است اگر و تنها اگر:

$[(x_{1}, y_{1}) \in f \land (x_{1}, y_{2}) \in f \Rightarrow y_{1} = y_{2}]$

تمرین

در روابط زیر، $f$ روی $R$ تعریف شده است، بررسی می‌کنیم آیا این روابط تابع هستند یا نه؟

$\forall x, y \in R, (x, y) \in f \Leftrightarrow x^{2} = y$

$\begin{matrix} (x_{1}, y_{1}) \in f \land (x_{1}, y_{2}) \in f \\ \Rightarrow (x_{1}^{2} = y_{1}) \land (x_{1}^{2} = y_{2}) \\ \Rightarrow y_{1} = y_{2} \end{matrix}$

رابطه $f$ تابع است.

$\forall x, y \in R, (x, y) \in R \Leftrightarrow x = y^{2}$

$\begin{array}{l} (x_{1}, y_{1}) \in f \land (x_{1}, y_{2}) \in f \\ \Rightarrow (x_{1} = y_{1}^{2}) \land (x_{1} = y_{2}^{2}) \\ \Rightarrow y_{1}^{2} = y_{2}^{2} \\ \Rightarrow y_{1} = \pm y_{2} \end{array}$

رابطه فوق تابع نیست زیرا فقط به $y_{1} = y_{2}$ نرسیدیم بلكه عامل اضافه‌ای به صورت $y_{1} = - y_{2}$ هم ظاهر شده است.

این بدان معنی است كه به‌ازای هر $x$ دو تا $y$ ظاهر شده است.

$\{\begin{cases} f : R \to R \\ y = f (x) = 2 x^{3} + 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} i f (x_{1}, y_{1}) \in f \Rightarrow f (x_{1}) = y_{1} \Rightarrow 2 x_{1}^{3} + 1 = y_{1} \\ i f (x_{1}, y_{2}) \in f \Rightarrow f (x_{1}) = y_{2} \Rightarrow 2 x_{1}^{3} + 1 = y_{2} \end{cases}$

$y_{1} = y_{2}$ و رابطه $f$ تابع است.

$y^{3} + 2 y - x^{2} = 0$

$\{\begin{cases} {y_{1}}^{3} + 2 y_{1} - x^{2} = 0 \\ {y_{2}}^{3} + 2 y_{2} - x^{2} = 0 \end{cases}〉 ({y_{1}}^{3} + 2 y_{1} - x^{2}) - ({y_{2}}^{3} + 2 y_{2} - x^{2}) = 0$

$\begin{array}{l} ({y_{1}}^{3} - {y_{2}}^{3}) + 2 (y_{1} - y_{2}) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (y_{1} - y_{2}) ({y_{1}}^{2} + y_{1} y_{2} + {y_{2}}^{2}) + 2 (y_{1} - y_{2}) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (y_{1} - y_{2}) ({y_{1}}^{2} + {y_{2}}^{2} + y_{1} y_{2} + 2) = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} y_{1} - y_{2} = 0 \Rightarrow y_{1} = y_{2} \\ {y_{1}}^{2} + {y_{2}}^{2} + y_{1} y_{2} + 2 \neq 0 \end{cases}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تابع

نمایش زبان ریاضی تابع

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟