سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع ثابت

آخرین ویرایش: 24 دی 1402

دسته‌بندی: تابع

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

می‌توان تابع ثابت را هم‌چون ماشینی در نظر گرفت که ورودی های مختلف را دریافت می‌کند و در ازای آن فقط یک خروجی ثابت تحویل می‌دهد.

ورودی ‌ها از دامنه داده می‌شوند و چند ورودی مختلف، خروجی یکسانی دارند که این خروجی به برد تعلق دارد.

نمایش زوج مرتب تابع ثابت

تابع ثابت به هر متغیر، فقط یک مقدار را نسبت می‌دهد و به‌صورت مجموعه زوج‌های مرتب زیر است:

$f (x) = \{(x, c) |x \in A\} \Rightarrow \{\begin{cases} D_{f} = A \\ R_{f} = \{c\} \end{cases}$

در ماشین فوق، مجموعه زوج های مرتب زیر ساخته می‌شوند:

$f = \{(1, 5), (2, 5), (3, 5), . . .\}$

نمایش نمودار پیکانی تابع ثابت

در صورتی نمودار پیکانی، یک تابع ثابت را مشخص می‌کند که از عضوهای مجموعه آغاز، تمام فلش ها فقط به یک عضو از مجموعه انجام وارد شود.

در نمودار پیکانی فوق، دامنه و برد به صورت زیر می‌باشد:

$\{\begin{cases} D_{f} = \{1, 2, 3, . . .\} \\ R_{f} = \{5\} \end{cases}$

نمایش نمودار هندسی تابع ثابت

نمودار این تابع، زیر مجموعه‌ ای از خطی به‌موازات محور $x$ هاست با معادله خط زیر است:

$y = f (x) = c$

نمودارهای هندسی زیر همگی نشان دهنده تابع ثابت هستند:

با تصویر کردن نمودارهای هندسی فوق بر محور طول ها، دامنه را به‌دست می‌آوریم و با تصویر کردن نمودارهای هندسی فوق بر محور عرض ها، برد را به‌دست می‌آوریم.

دامنه و برد نمودار هندسی سمت چپ برابر است با:

$\{\begin{cases} D_{f} = R \\ R_{f} = \{3\} \end{cases}$

دامنه و برد نمودار هندسی سمت چپ برابر است با:

$\{\begin{cases} D_{f} = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\} \\ R_{f} = \{- 1\} \end{cases}$

نمایش رابطه ریاضی تابع ثابت

تابع $f : A \to B$ با ضابطه $f (x) = c$ را روی مجموعه $A$ ثابت گوییم، هرگاه:

$\{\begin{cases} \forall x \in A; f (x) = c \\ c \in B \end{cases}$

همان‌طور که مشاهده می‌شود، برد توابع ثابت، مجموعه‌ای یکانی و تک عضوی می‌باشد.

$\{\begin{cases} D_{f} = A \\ R_{f} = \{c\}; c \in B \end{cases}$

تمرین

نشان دهید توابع زیر همگی ثابت هستند.

$D_{f} = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}, R_{f} = \{2\}$

$D_{f} = \{9, 9 / 5, 10, 10 / 5, 11\}, R_{f} = \{18\}$

$D_{f} = ℝ, R_{f} = \{2\}$

آنها را با یک‌دیگرمقایسه کرده، تفاوت و شباهت‌های آنها را بیان کنید.

شباهت‌ها: همه‌ این توابع، توابعی ثابت هستند زیرا بردشان فقط شامل یک عضو است.

تفاوت‌ها: نوع نمایش این توابع با هم فرق می‌کنند و در بعضی توابع، دامنه پیوسته و در بعضی ناپیوسته است.

تمرین

تابع $f (x) = - 3$ را رسم کنید و مقادیر $f (2)$ و $f (100)$ و $f (- 5)$ را به‌دست آورید.

$f (2) = f (100) = f (- 5) = - 3$

تمرین

تابع زیر یک تابع ثابت است:

$f = \{(1, 5), (2, 2 m + 1), (- 2, 3 m - k), (4, m + n)\}$

مقدار زیر را به‌دست آورید.

$m + n + k$

اگر تابعی به‌صورت مجموعه ای از زوج های مرتب بیان شده باشد، این تابع وقتی ثابت است که تمام مولفه های دوم این زوج های مرتب با هم برابر باشند.

$5 = 2 m + 1 \Rightarrow 2 m = 4 \Rightarrow m = 2$

$\begin{array}{l} 5 = 3 m - k \Rightarrow 5 = 3 (2) - k \Rightarrow k = 1 \end{array}$

$5 = m + n \Rightarrow 5 = (2) + n \Rightarrow n = 3$

$m + n + k = (2) + (3) + (1) = 6$

تمرین

تابع ثابت زیر رادر نظر بگیرید:

$f = \{(0, a + 1), (- 1, 2 - a), (1, 2 a + b)\}$

مقدار $b$ را محاسبه کنید.

تابع $f$ وقتی ثابت است که تمام مولفه های دوم زوج های مرتبش با هم برابر باشند.

$a + 1 = 2 - a \Rightarrow 2 a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$

$a + 1 = 2 a + b \Rightarrow b = - a + 1 \Rightarrow b = - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

تمرین

مقدار $a$ چقدر باشد تا تابع زیر با دامنه $[1, 2]$ تابعی ثابت باشد.

$f (x) = \frac{3 x + 1}{a x + 3}$

ضابطه یک تابع ثابت به‌صورت زیر است:

$f (x) = c$

هر عضوی از دامنه را انتخاب کنیم، داریم:

$\{\begin{cases} i f x = 1; f (1) = c \\ i f x = 2; f (2) = c \end{cases}〉 f (1) = f (2)$

$\begin{array}{l} f (1) = f (2); f (x) = \frac{3 x + 1}{a x + 3} \\ \Rightarrow \frac{3 (1) + 1}{a (1) + 3} = \frac{3 (2) + 1}{a (2) + 3} \\ \Rightarrow \frac{4}{a + 3} = \frac{7}{2 a + 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 (2 a + 3) = 7 (a + 3) \\ \Rightarrow 8 a + 12 = 7 a + 21 \\ \Rightarrow 8 a - 7 a = 21 - 12 \\ \Rightarrow a = 9 \end{array}$

تمرین

اگر تابع زیر یک تابع ثابت باشد:

$f = \{(- 1, a^{2} - 6), (2, b + 1), (3, a)\}$

مقدار زیر را به‌دست آورید.

$|a + b|$

تابع فوق وقتی ثابت است که تمام مولفه های دوم زوج های مرتبش با هم برابر باشند.

در تابع $f$ داریم:

$a^{2} - 6 = a \Rightarrow a^{2} - a - 6 = 0 \Rightarrow (a - 3) (a + 2) = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ a = - 2 \end{cases}$

$b + 1 = a \overset{a = 3}{\to} b + 1 = 3 \Rightarrow b = 2 \Rightarrow |a + b| = |3 + 2| = |5| = 5$

$b + 1 = a \overset{a = - 2}{\to} b + 1 = - 2 \Rightarrow b = - 3 \Rightarrow |a + b| = |- 2 - 3| = |- 5| = 5$

تمرین

اگر برد تابع ثابت $f (x)$ به‌صورت مجموعه دو عضوی زیر باشد:

$\{2 a - 3, 3 - a\}$

حاصل $f (5)$ را بیابید.

$\begin{array}{l} f (x) = c \Rightarrow \{\begin{cases} f (x) = 2 a - 3 \\ f (x) = 3 - a \end{cases}〉 2 a - 3 = 3 - a \Rightarrow a = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \{2 a - 3, 3 - a\} = \{2 (2) - 3, 3 - 2\} = \{1, 1\} = \{1\} \end{array}$

$f (x) = c \Rightarrow f (x) = 1 \overset{x = 5}{\to} f (5) = 1$

تمرین

توابع زیر همگی ثابت هستند، زیرا بردشان فقط شامل یک عضو است.

$y = \frac{x^{100} - x}{x - x^{100}}; D_{f} = R - \{0, 1\}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y = \frac{x (x^{99} - 1)}{x (1 - x^{99})} \\ \Rightarrow y = \frac{x (x^{99} - 1)}{- x (x^{99} - 1)}; x \neq 0, 1 \\ \Rightarrow y = - 1 \end{array}$

$R_{f} = \{- 1\}$

$y = \frac{[x + 1] + [- x]}{[1 - x] + [x]}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y = \frac{([x] + 1) + [- x]}{(1 + [- x]) + [x]} \\ \Rightarrow y = \frac{([x] + [- x]) + 1}{1 + ([- x] + [x])} \\ \Rightarrow y = 1 \end{array}$

$R_{f} = \{- 1\}$

$f (x) = \tan x . \cot g x$

$\{\begin{cases} D_{f} = R - \{x |x = \frac{k π}{2}\} \\ R_{f} = \{1\} \end{cases}$

$f (x) = \sqrt{x - |x|}$

$\{\begin{cases} D_{f} = [0, + \infty) \\ R_{f} = \{0\} \end{cases}$

$y^{4} + \sqrt{- \sin^{2} π x} = 0$

$\{\begin{cases} D_{f} = Z \\ R_{f} = \{0\} \end{cases}$

$f (x) = \frac{1}{[x] + [- x]}$

$\{\begin{cases} D_{f} = R - Z \\ R_{f} = \{- 1\} \end{cases}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تابع

تابع ثابت

مقدمه

نمایش زوج مرتب تابع ثابت

نمایش نمودار پیکانی تابع ثابت

نمایش نمودار هندسی تابع ثابت

نمایش رابطه ریاضی تابع ثابت

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟