قرینه یک نقطه نسبت به خط

آخرین ویرایش: 30 آذر 1402

دسته‌بندی: تقارن در صفحه

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تقارن نسبت به خط $a x + b y + c = 0$

قضیه

قرینه نقطه $A (α, β)$ نسبت به خط:

$d : a x + b y + c = 0$

نقطه $A^{'} (α + 2 a λ, β + 2 b λ)$ است که در آن $λ$ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$λ = \frac{- (a α + b β + c)}{a^{2} + b^{2}}$

اثبات

قرینه نقطه $A (α, β)$ نسبت به خط مزبور، نقطه $A^{'} (x_{A^{'}}, y_{A^{'}})$ بوده و نقطه $H$ روی خط d وسط $A A^{'}$ است.

$\begin{array}{l} m_{d} = - \frac{a}{b} \Rightarrow m_{A A^{'}} = - \frac{1}{m_{d}} = \frac{b}{a} \\ A A^{'} : y - y_{A} = m_{A A^{'}} (x - x_{A}) \\ \Rightarrow y - β = \frac{b}{a} (x - α) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{y - β}{b} = \frac{x - α}{a} = λ \\ \Rightarrow \{\begin{cases} \frac{x_{H} - α}{a} = λ \Rightarrow x_{H} = α + a λ \\ \frac{y_{H} - β}{b} = λ \Rightarrow y_{H} = β + b λ \end{cases} \end{array}$

مختصات $H (x_{H}, y_{H}) \in d$ در معادله خط $d$ صادق است:

$\begin{array}{l} d : a x + b y + c = 0 \\ \Rightarrow a (α + a λ) + b (β + b λ) + c = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a α + a^{2} λ + b β + b^{2} λ + c = 0 \\ \Rightarrow (a α + b β + c) = - a^{2} λ - b^{2} λ \\ \Rightarrow λ = - \frac{a α + b β + c}{a^{2} + b^{2}} \end{array}$

توجه کنید که:

$\begin{array}{l} x_{H} = \frac{α + x_{A^{'}}}{2} \Rightarrow x_{A^{'}} = 2 x_{H} - α = 2 (α + a λ) - α = 2 α + 2 a λ - α = α + 2 a λ \end{array}$

$y_{H} = \frac{β + y_{A^{'}}}{2} \Rightarrow y_{A^{'}} = 2 y_{H} - β = 2 (β + b λ) - β = 2 β + 2 b λ - β = β + 2 b λ$

تمرین

قرینه نقطه $A (2, 3)$ را نسبت به خط $y = x + 2$ بیابید.

$\begin{array}{l} x - y + 2 = 0 \\ A (α = 2, β = 3) \end{array}$

$\begin{array}{l} λ = \frac{- (a α + b β + c)}{a^{2} + b^{2}} = - \frac{(1) (2) + (- 1) (3) + 2}{{(1)}^{2} + {(- 1)}^{2}} = \frac{- 1}{2} \end{array}$

$\{\begin{array}{l} x_{A^{'}} = α + 2 a λ = 2 + 2 (1) (- \frac{1}{2}) = 1 \\ y_{A^{'}} = β + 2 b λ = 3 + 2 (- 1) (- \frac{1}{2}) = 4 \end{array}〉 A^{'} (1, 4)$

قرینه نقطه $A (1, 2)$ را نسبت به خط $3 x + 2 y - 7 = 0$ به‌دست آورید.

چون $A (1, 2)$ در خط مفروض صادق است، قرینه‌اش خود نقطه $A$ است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تقارن در صفحه

قرینه یک نقطه نسبت به خط

تقارن نسبت به خط $a x + b y + c = 0$

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

تقارن در صفحه

قرینه یک نقطه نسبت به خط

تقارن نسبت به خطax+by+c=0

تقارن نسبت به خط $a x + b y + c = 0$