تقارن نسبت به محور طول‌ ها

آخرین ویرایش: 24 دی 1402
دسته‌بندی: تقارن در صفحه
امتیاز:
نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قرینه مرکزی

دو نقطه A و ω در صفحه مفروض هستند.

نقطه A را به نقطه ω وصل کرده و به‌اندازه Aω امتداد می‌دهیم.

تقارن نسبت به محور طول ها - پیمان گردلو

در این‌صورت نقطه‌ ای به‌دست می‌آید به‌نام A'. 

  • نقطه A' را قرینه نقطه A نسبت به نقطه ω گویند.
  • نقطه A را قرینه نقطه A' نسبت به نقطه ω گویند. 
  • نقطه ω را مرکز تقارن گویند.
  • این تقارن را تقارن مرکزی گویند.

قرینه محوری

خط xy و نقطه A را در خارج آن در صفحه در نظر می‌گیریم:

  

  • نقاط A و A' را قرینه یکدیگر نسبت به خط xy گویند.
  • خط xy را محور تقارن گویند.
  • این تقارن را تقارن محوری گویند.     

تقارن نسبت به محورxها

قضیه

قرینه نقطه Ax,y نسبت به محور x ها، نقطه A'x,−y است.

اثبات

برای به‌دست آوردن قرینه نقطه Ax,y نسبت به محور x ها، از این نقطه عمود AH را بر محور x ها فرود آورده و AH را به اندازه خود امتداد می‌دهیم تا نقطه A'x,−y به‌دست آید.      

در این‌صورت نقطه A' را قرینه A نسبت به محور x ها، نامیده و محور x را محور تقارن می‌نامیم.    

نکته

1- محور x ها را محور تقارن یک منحنی گویند، اگر قرینه هر نقطه منحنی نسبت به محور x ها روی خود منحنی باشد، در این حالت اگر y را به -y تبدیل کنیم، منحنی تغییر نمی‌کند.

2- برای به‌دست آوردن قرینه یک منحنی نسبت به محور x ها کافی است در معادله منحنی y را به -y تبدیل کنیم.   

3- محور تقارن منحنی به معادله زیر محور x ها می‌باشد. 

y=±fxgx

طرفین را به‌توان دو می‌رسانیم:  

y2=f2xgx

در این معادله اگر  y را به -y تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند پس محور تقارن منحنی، محور x ها می‌باشد.  

4- دو منحنی y=±fx نسبت به محور x ها متقارنند. 

تمرین

مختصات قرینه نقطه A2,3 را نسبت به محور x ها را بیابید.

کافی است y را به -y تبدیل کنیم یعنی A'2,−3 

تمرین

اگر نقاط Am+4,n+6A'−m,2n نسبت به محور x ها قرینه باشند، n و m را بیابید.

xA=xA'⇒m+4=−m⇒2m=−4⇒m=−2


yA=−yA'⇒n+6=−2n⇒3n=−6⇒n=−2

تمرین

محور تقارن منحنی به معادله y2=x را به‌دست آورید. 

اگر y را به -y تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند، بنابراین محور تقارن منحنی، محور x ها است.

محور تقارن منحنی به معادله y=x2−x را به‌دست آورید. 

اگر y را به -y تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند، بنابراین محور تقارن منحنی، محور x ها است.

تمرین

در معادلات زیر اگر محور تقارن منحنی، محور x ها باشد، m را به‌دست آورید. 

y4−m−1y3+2=x

اگر y را به -y تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند:


−y4−m−1−y3+2=x⇒y4+m−1y3+2=x


دو معادله زیر بایستی هم ارز باشند:


y4−m−1y3+2=xy4+m−1y3+2=x−m−1=m−1⇒−m+1=m−1⇒2m=2⇒m=1

y=m−2±xx−2

if   m−2=0⇒m=2y=±xx−2⇒y=±fxgx


به ازای m=2 محور x ها، محور تقارن منحنی است.  

تمرین

نقطه‌ای روی محور x ها بیابید که مجموع فواصل آن نقطه از نقاط A1,1B2,3 مینیمم باشد. 



قرینه نقطه A را نسبت به محور x ها را به‌دست آورده و آن را نقطه A' می‌نامیم.


نقطه A را به B وصل نموده تا محور x ها را در نقطه M قطع نماید.


نقطه M جواب مساله است، زیرا اگر نقطه دیگری مانند N روی محور x ها در نظر بگیریم، نشان خواهیم داد که:


NA+NB>MA+MB


چون نقاط N و M روی عمود منصف AA' می‌باشند:

MA=MA'NA=NA'


هر نقطه روی عمود منصف یک پاره خط، فاصله‌اش از دو سر آن پاره خط به یک اندازه می‌باشد. 


در مثلث NA'B داریم:


A'B<NA'+NB                ⇒A'M+MB<NA'+NB ⇒MA+MB<NA+NB   


برای به‌دست آوردن نقطه M معادله خط A'B را می‌نویسیم:


A'1,−1   ,   B2,3

mA'B=yB−yA'xB−xA'⇒mA'B=3−−12−1⇒mA'B=4


A'B:y−yA'=mA'Bx−xA'⇒y−−1=4x−1⇒y+1=4x−1


if  yM=0⇒0+1=4xM−1⇒4xM−4=1⇒4xM=5⇒xM=54


بنابراین نقطه مورد نظر M54,0 می‌باشد. 

تمرین

نقطه‌ای روی محور x ها بیابید که مجموع فواصل آن نقطه از نقاط A1,1B2,-1 مینیمم باشد. 

چون دو نقطه A و B در طرفین محور x ها قرار دارند، جواب مساله نقطه برخورد AB با محور x ها است یعنی نقطه C.


تقارن نسبت به محور طول ها - پیمان گردلو    

A1,1    ,    B2,−1


mAB=yB−yAxB−xA⇒mAB=−1−12−1⇒mAB=−2


AB:y−yA=mABx−xA⇒y−1=−2x−1⇒y−1=−2x+2


if   yC=0⇒0−1=−2xC+2⇒−2xC=−3⇒xC=32


بنابراین نقطه مورد نظر C32,0 می‌باشد. 

برای ارسال نظر وارد سایت شوید