سرفصل‌های این مبحث

تقارن در صفحه

تقارن نسبت به نیمسازها

آخرین ویرایش: 30 آذر 1402

دسته‌بندی: تقارن در صفحه

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تقارن نسبت به نیمساز ربع اول و سوم

قضیه

قرینه نقطه $A (x, y)$ نسبت به خط $y = x$ (نیمساز ربع اول و سوم) نقطه $A^{'} (y, x)$ است.

اثبات

در شکل فوق خط $y = - x$ عمود منصف $A A^{'}$ می‌باشد، پس داریم:

$\begin{array}{l} O A = O A^{'} \\ \{\begin{cases} A \hat{O} H = A^{'} \hat{O} H \\ P \hat{O} H = Q \hat{O} H \end{cases} \end{array}$

$P \hat{O} H - A \hat{O} H = Q \hat{O} H - A^{'} \hat{O} H \Rightarrow P \hat{O} A = Q \hat{O} A^{'}$

دو مثلث قائم الزاویه $A^{'} O Q, A O P$ بنا به حالت تساوی وتر و یک زاویه حاده، برابر بوده و داریم:

$\{\begin{cases} \bar{O P} = \bar{O Q} \\ \bar{P A} = \bar{Q A^{'}} \end{cases}〉 \{\begin{cases} x_{A} = y_{A^{'}} \\ y_{A} = x_{A^{'}} \end{cases}$

یعنی قرینه نقطه $A (x, y)$ نسبت به نیمساز ربع اول و سوم، نقطه $A^{'} (y, x)$ است.

نکته

برای به‌دست آوردن قرینه یک منحنی نسبت به خط $y = x$ در معادله منحنی $(x)$ را به $(y)$ و $(y)$ را به $(x)$ تبدیل کنیم.

اگر چنان‌چه معادله منحنی تغییر نکند، خط $y = x$ محور تقارن منحنی می‌باشد.

تقارن نسبت به نیمساز ربع دوم و چهارم

قضیه

قرینه نقطه $A (x, y)$ نسبت به خط $y = - x$ (نیمساز ربع دوم و چهارم) نقطه $A^{'} (- y, - x)$ است.

اثبات

مانند قسمت قبل ثابت می‌شود که دو مثلث قائم الزاویه $A^{'} O Q, A O P$ بنا به حالت تساوی وتر و یک زاویه حاده، برابر بوده و داریم:

$\{\begin{cases} x_{A^{'}} = - y_{A} \\ y_{A^{'}} = - x_{A} \end{cases}$

نکته

برای به‌دست آوردن قرینه یک منحنی نسبت به خط $y = - x$ در معادله منحنی $(x)$ را به $(- y)$ و $(y)$ را به $(- x)$ تبدیل کنیم.

اگر چنان‌چه معادله منحنی تغییر نکند، خط $y = - x$ محور تقارن منحنی می‌باشد.

تمرین

مختصات قرینه نقطه $A (- 2, 3)$ را نسبت به نیمسازهای ربع اول و دوم بیابید.

قرینه نقطه $A$ را نسبت به نیمساز ربع اول، نقطه $A^{'}$ و نسبت به نیمساز ربع دوم، نقطه $A^{''}$ می‌نامیم.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x_{A^{'}} = y_{A} = 3 \\ y_{A^{'}} = x_{A} = - 2 \end{cases}〉 A^{'} (3, - 2) \\ \{\begin{cases} x_{A^{''}} = - y_{A} = - 3 \\ y_{A^{''}} = - x_{A} = - (- 2) = 2 \end{cases}〉 A^{''} (- 3, 2) \end{array}$

تمرین

اگر نقاط $\{\begin{cases} A (a + b, a - b) \\ A^{'} (- 2, 3) \end{cases}$ نسبت به نیمساز ربع دوم قرینه باشند، $a$ و $b$ را بیابید.

$\{\begin{cases} x_{A} = - y_{A^{'}} \Rightarrow a + b = - 3 \\ y_{A} = - x_{A^{'}} \Rightarrow a - b = 2 \end{cases}〉 a = - \frac{1}{2}, b = - \frac{5}{2}$

تمرین

محورهای تقارن منحنی به معادله $x^{2} + y^{2} = 4$ را به‌دست آورید.

اگر $(x)$ را به $(- x)$ تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند، بنابراین محور تقارن منحنی، محور $y$ ها است.

اگر $(y)$ را به $(- y)$ تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند، بنابراین محور تقارن منحنی، محور $x$ ها است.

اگر $(x)$ را به $(y)$ و $(y)$ را به $(x)$ تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند، بنابراین خط $y = x$ محور تقارن منحنی است.

اگر $(x)$ را به $(- y)$ و $(y)$ را به $(- x)$ تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند، بنابراین خط $y = - x$ محور تقارن منحنی است.

محورهای تقارن منحنی به معادله $|x| + |y| = 1$ را به‌دست آورید.

اگر $(x)$ را به $(- x)$ تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند، بنابراین محور تقارن منحنی، محور $y$ ها است.

اگر $(y)$ را به $(- y)$ تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند، بنابراین محور تقارن منحنی، محور $x$ ها است.

اگر $(x)$ را به $(y)$ و $(y)$ را به $(x)$ تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند، بنابراین خط $y = x$ محور تقارن منحنی است.

اگر $(x)$ را به $(- y)$ و $(y)$ را به $(- x)$ تبدیل کنیم، معادله تغییر نمی‌کند، بنابراین خط $y = - x$ محور تقارن منحنی است.

تمرین

معادله قرینه منحنی $y = x^{2} - x$ را نسبت به نیمساز ربع دوم بیابید.

$y = x^{2} - x; \{\begin{cases} x \to - y \\ y \to - x \end{cases}$

$\Rightarrow (- x) = {(- y)}^{2} - (- y)$

$\Rightarrow - x = y^{2} + y$

معادله قرینه منحنی $y = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ را نسبت به نیمساز ربع اول و سوم تعیین کنید.

$y = \frac{2 x + 3}{x - 1}; \{\begin{cases} x \to y \\ y \to x \end{cases}$

$\Rightarrow x = \frac{2 y + 3}{y - 1}$

$\Rightarrow x y - x = 2 y + 3$

$\Rightarrow x y - 2 y = x + 3$

$\Rightarrow y = \frac{x + 3}{x - 2}$

معادله قرینه منحنی ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ را نسبت به نیمساز ربع اول و سوم تعیین کنید.

$\{\begin{cases} x \to y \\ y \to x \end{cases}〉 {(y - 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2} = 4$

چون معادله دایره تغییر نکرده است، خط $y = x$ محور تقارن دایره فوق است.

معادله قرینه منحنی $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ را نسبت به نیمساز ناحیه دوم و چهارم پیدا کنید.

$\{\begin{cases} x \to - y \\ y \to - x \end{cases}$

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

$\Rightarrow - x = \frac{(- y) + 1}{(- y) - 1}$

$\Rightarrow x y + x = - y + 1$

$\Rightarrow x y + y = 1 - x$

$\Rightarrow y = \frac{1 - x}{x + 1}$

تمرین

دو نقطه $\{\begin{cases} A (3, - 5) \\ B (5, - 3) \end{cases}$ مفروض است، معادله عمود منصف $A B$ را به‌دست آورید.

چون دو نقطه فوق نسبت به خط $y = - x$ تقارن دارند، عمود منصف $A B$ همان $y = - x$ است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تقارن در صفحه

تقارن نسبت به نیمسازها

تقارن نسبت به نیمساز ربع اول و سوم

تقارن نسبت به نیمساز ربع دوم و چهارم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟