سرفصل‌های این مبحث

تقارن در صفحه

تقارن در تابع درجه سوم

آخرین ویرایش: 30 آذر 1402

دسته‌بندی: تقارن در صفحه

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تقارن در تابع هموگرافیک $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$

قضیه

مرکز تقارن منحنی درجه سوم، نقطه عطف منحنی به طول $x = - \frac{b}{3 a}$ است که عرض آن را از روی معادله منحنی تعیین می‌شود.

اثبات

نقطه $O^{'} (α, β)$ را مرکز تقارن منحنی فرض نموده، داریم:

$\{\begin{cases} x = X + α \\ y = Y + β \end{cases}$

$\begin{array}{l} Y + β = a {(X + α)}^{3} + b {(X + α)}^{2} + c (X + α) + d \end{array}$

$\begin{array}{l} Y + β = a (X^{3} + 3 X^{2} α + 3 α^{2} X + α^{3}) + b (X^{2} + 2 α X + α^{2}) + c (X + α) + d \end{array}$

$Y = a X^{3} + (3 a α + b) X^{2} + (3 a α^{2} + 2 b α + c) X + a α^{3} + b α^{2} + c α + d - β; (Ι)$

$\{\begin{cases} i f X \to - X \\ i f Y \to - Y \end{cases}$

$\begin{array}{l} - Y = - a X^{3} + X^{2} (3 a α + b) - (3 a α^{2} + 2 b α + c) X + a α^{3} + b α^{2} + c α + d - β \end{array}$

$Y = a X^{3} - X^{2} (3 a α + b) + (3 a α^{2} + 2 b α + c) X - a α^{3} - b α^{2} - c α - d + β; (Ι Ι)$

با مقایسه معادلات $(Ι Ι), (Ι)$ جملاتی را که تغییر می‌کنند، ضریب آنها را صفر قرار می‌دهیم، داریم:

$3 a α + b = 0 \Rightarrow α = - \frac{b}{3 a}$

$a α^{3} + b α^{2} + c α + d - β = 0 \Rightarrow β = a α^{3} + b α^{2} + c α + d$

بنابراین داریم:

$O^{'} (α, β) = O^{'} (\frac{- b}{3 a}, a α^{3} + b α^{2} + c α + d)$

طول نقطه عطف را به‌دست می‌آوریم:

$y^{'} = 3 a x^{2} + 2 b x + c$

$\Rightarrow y^{''} = 6 a x + 2 b; i f y^{''} = 0$

$\Rightarrow 6 a x + 2 b = 0$

$\Rightarrow x = - \frac{2 b}{6 a}$

$\Rightarrow x = - \frac{b}{3 a}$

یعنی نقطه عطف منحنی تابع درجه سوم همان مرکز تقارن منحنی می‌باشد.

تمرین

مرکز تقارن منحنی $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ را بیابید.

چون تابع درجه سوم می‌باشد، مرکز تقارن منحنی همان نقطه عطف منحنی می‌باشد.

$y^{'} = 3 x^{2} - 6 x$

$\Rightarrow y^{''} = 6 x - 6; i f y^{''} = 0$

$\Rightarrow 6 x - 6 = 0$

$\Rightarrow x = 1, y = 0$

بنابراین داریم:

$O^{'} (1, 0)$

در منحنی $y = x^{3} - 3 x^{2} + b x + 2$ مقدار $b$ را چنان بیابید که مرکز تقارن منحنی روی محور $x$ ها باشد.

$\begin{array}{l} y^{'} = 3 x^{2} - 6 x + b \end{array}$

$\Rightarrow y^{''} = 6 x - 6; i f y^{''} = 0$

$\Rightarrow 6 x - 6 = 0$

$\Rightarrow x = 1$

چون مرکز تقارن منحنی روی محور $x$ ها است پس عرض آن صفر است، یعنی $O^{'} (1, 0)$ .

چون مرکز تقارن نقطه عطف است لذا مختصات آن در معادله منحنی صدق می‌کند، یعنی:

$0 = 1^{3} - 3 {(1)}^{2} + b (1) + 2 \Rightarrow b = 0$

مرکز تقارن منحنی $y = x^{3} - 4 x + 5$ را تعیین کنید.

$x = - \frac{b}{3 a}; b = 0$

$\Rightarrow x = \frac{- 0}{3 + 1} = 0$

$\Rightarrow y = 5$

$Ι (0, 5)$

می‌توانیم با استفاده از مشتق دوم، طول نقطه عطف را یافته و از روی منحنی عرض آن را به‌دست آوریم.

معادله مکان هندسی مرکز تقارن منحنی $y = x^{3} - 3 m x^{2} - 1$ وقتی $m$ تغییر می‌کند را بیابید.

$\{\begin{array}{l} x = - \frac{b}{3 a} = - \frac{- 3 m}{3 \times 1} \\ y = m^{3} - 3 m^{3} - 1 \end{array}〉 \{\begin{cases} x = m \\ y = - 2 m^{3} - 1 \end{cases}〉 y = - 2 x^{3} - 1$

معادله خطی را که مرکز تقارن منحنی $y = x^{3} + b$ را به مرکز تقارن منحنی $y = \frac{1}{x - a}$ وصل می کند، به‌دست آورید.

مرکز تقارن منحنی $y = x^{3} + b$ نقطه $I (0, b)$ و و مرکز تقارن منحنی $y = \frac{1}{x - a}$ نقطه $ω (a, 0)$ است.

معادله خطی که این دو نقطه را به‌هم وصل می‌کنند:

$\begin{array}{l} m_{I ω} = \frac{y_{w} - y_{I}}{x_{w} - x_{I}} = \frac{0 - b}{a - 0} = - \frac{b}{a} \end{array}$

$I ω : y - y_{I} = m_{I ω} (x - x_{I}) \Rightarrow y - b = - \frac{b}{a} (x - 0) \Rightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تقارن در صفحه

تقارن در تابع درجه سوم

تقارن در تابع هموگرافیک $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

تقارن در صفحه

تقارن در تابع درجه سوم

تقارن در تابع هموگرافیکy=ax3+bx2+cx+d

تقارن در تابع هموگرافیک $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$