ترکیب شرطی دو گزاره

آخرین ویرایش: 13 دی 1402
دسته‌بندی: منطق گزاره
امتیاز:
نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

یکی از روش‌های ساختن گزاره‌های مرکب با استفاده از گزاره‌های ساده، به کار بردن لفظ (اگر...آن‌گاه...) است.

تعریف ترکیب شرطی دو گزاره

فرض کنید p و q دو گزاره دل‌خواه باشند، از این دو گزاره، ‌گزاره جدیدی به‌صورت (اگر p آن‌گاه q) می‌سازیم که آن‌را ترکیب شرطی دو گزاره p و q می‌نامیم و با نماد p⇒q ‌نشان می‌دهیم.

p را مقدم و q را تالی گزاره شرطی p⇒q می‌گویند.

در صورتی‌که گزاره p⇒q درست باشد، آن‌را به صورت‌های زیر بیان می‌کنند:

  • اگر p آن‌گاه q
  • گزاره p گزاره q را نتیجه می‌دهد.
  • p یک شرط کافی برای q است.
  • یک شرط کافی برای q آن است که p 
  • q یک شرط لازم برای p است.
  • یک شرط لازم برای برقراری p آن است که q برقرار باشد.

تمرین

در ریاضیات و هندسه با گزاره‌های شرطی بسیاری مواجه بوده‌ایم، در زیر چند نمونه می‌آوریم:

اگر مثلثی متساوی‌الساقین باشد، آن‌گاه دو زاویه مجاور به‌قاعده برابرند.


ABΔC  :   if  AB=AC⇒B∧=C∧

اگر در مثلث ABC داشته باشیم MNBC آن‌گاه AMMB=ANNC

ارزش ترکیب شرطی دو گزاره 

گزاره p⇒q فقط و فقط وقتی نادرست است که مقدم p درست و تالی q نادرست باشد، در غیر این صورت p⇒q درست است. 

آن‌چه گفتیم در جدول زیر آورده شده است:

یادآوری

تعریف ارزش درستی برای گزاره‌هایی که به این‌صورت ساخته می‌شوند چندان واضح و روشن نیست.

ما در زبان معمولی با انواع محدودی از این گزاره‌ها سرو‌کار داریم و تنها با گزاره‌هایی سرکار داریم که بین مولفه‌ها ارتباطی وجود داشته باشد.

جملاتی از قبیل:

اگر 2 فرد باشد آن‌گاه تهران پایتخت ایران است.

در زبان معمولی به‌کلی مبهم و بی‌معنی است.

اما از این نوع گزاره‌ها در منطق ریاضی مطرح می‌شود و منطقی ریاضی خود را در چهارچوب مسائل روزمره محدود نمی‌کند و گاه از آن فراتر می‌رود.

تمرین

ارزش گزاره‌های مرکب زیر را تعیین کنید:

اگر عدد 4 فرد باشد، آن‌گاه 4 مربع کامل نیست.

p: عدد 4 فرد باشد.

q:  4 مربع کامل نیست.


طبق جدول ارزش ترکیب شرطی دو گزاره داریم:  


pqp⇒qنند


ارزش گزاره‌ مرکب فوق درست است. 

نکته

از روی جدول ارزش گزاره p⇒q موارد زیر استخراج می‌شود: 

1- از روی جدول ملاحظه می‌شود که اگر مقدم یک ترکیب شرطی نادرست باشد آن ترکیب شرطی درست است، ‌در این حالت گویند:

p⇒q به ‌انتفای مقدم درست است.

به‌عنوان نمونه داریم:

اگر 32=6 باشد، آن‌گاه 5 عدد اول است. (به انتفای مقدم گزاره درست است) 

اگر 2=3 باشد، آن‌گاه 6 زوج است. (به انتفای مقدم گزاره درست است) 


2- هر ترکیب شرطی که تالی آن درست باشد مستقل از ارزش مقدم، درست است.

به‌عنوان نمونه داریم:

اگر 2=3 باشد، آن‌گاه 5 فرد است.


3- درست بودن گزاره شرطی p⇒q در حالت کلی درست بودن q را تضمین نمی‌کند،‌ در صورتی‌که بنا به تعریف یک گزاره شرطی، اگر p⇒q درست باشد، فقط موقعی می‌توان گفت q درست است که p هم درست بوده باشد.    

تمرین

الف) اگر پاریس در فرانسه باشد،‌ آن‌گاه 2+2=4 است.

ب) اگر پاریس در فرانسه باشد، آن‌گاه 2+2=5 است. 

ج) اگر پاریس در انگلستان باشد، ‌آن‌گاه 2+2=4 است. 

د) اگر پاریس در انگلستان باشد، ‌آن‌گاه 2+2=5 است. 

ارزش درستی هر یک از گزاره‌های فوق را به‌دست ‌آورید:

با توجه به تعریف ترکیب شرطی دو گزاره، p⇒q تنها وقتی نادرست است که p درست و q نادرست باشد، به این ترتیب تنها (ب) نادرست است.  

تمرین

فرض کنیم:

p گزاره‌ای درست باشد.

q گزاره‌ای نادرست باشد.

r گزاره‌ای دل‌خواه باشد.

ارزش هریک از گزاره‌های مرکب زیر را در صورت امکان مشخص کنید:

q ⇒ p ∧ r

pqrq⇒pq⇒p∧rدن?دد∧?


ارزش گزاره فوق به ارزش گزاره r وابسته است.

p ∨ q ∨ r

pqrp∨qp∨q∨rدن?دد∨?


ارزش گزاره فوق به ارزش گزاره r وابسته نیست و همواره گزاره‌ای درست است.

p ⇒ q ∧ r

pqrp⇒qp⇒q∧rدن?نن∧?


ارزش گزاره فوق به ارزش گزاره r وابسته نیست و همواره گزاره‌ای نادرست است.

r ⇒p ∨ q

pqrr⇒pr⇒p∨qدن?دد∨ن


ارزش گزاره فوق به ارزش گزاره r وابسته نیست و همواره گزاره‌ای درست است.

 r ⇒ p ⇒ q

pqrr⇒pr⇒p⇒qدن?دد⇒ن


ارزش گزاره فوق به ارزش گزاره r وابسته نیست و همواره گزاره‌ای نادرست است.

p ⇒ q ⇒ r

pqrp⇒qp⇒q⇒rدن?نن⇒?


ارزش گزاره فوق به ارزش گزاره r وابسته نیست و همواره گزاره‌ای درست است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید