تعریف منطق
منطق در لغت به معنای آن‌چه به‌گفته در آمده و عموما آن را بهمعنای بررسی استدلال‌ها تعبیر می‌کنند.
امروزه منطق صرفا به عنوان شاخه‌ای از فلسفه شمرده نمی‌شود و در ریاضیات و علوم مربوط به رایانه نیز به آن پرداخته می‌شود.
منطق ریاضی که عده‌ای به آن منطق نمادین نیز می‌گویند، دستور زبان ریاضی یا مطالعه ساختار جملاتی است که در ریاضی به‌کار برده می‌شود.
این شاخه از ریاضیات به بررسی دقیق استدلال‌ها می‌پردازد و اعتبار یک استدلال را مشخص می‌کند.
از میان انواع منطق و کاربردهای آن قصد داریم با منطق ریاضی آشنا شویم.
اگر ریاضی را به‌عنوان یک زبان برای انتقال مفاهیم و اطلاعات در نظر بگیریم، منطق ریاضی، دستور این زبان است.
تمرین
استدلال ساده زیر را در نظر بگیرید:
تیم ملی فوتبال ایران یا تیم ملی فوتبال استرالیا به جام جهانی می‌رود.
تیم ملی فوتبال استرالیا به جام جهانی نمی‌رود.
نتیجه این استدلال را می‌نویسیم:
تیم ملی فوتبال ایران به‌جام جهانی می‌رود.
این استدلال از چند جمله خبری به‌دست می‌آید.
اگر دو جمله اول این استدلال را درست در نظر بگیریم، در این‌صورت نتیجه گیری جمله سوم منطقی به نظر می‌رسد.
در منطق ریاضی به دو جمله خبری نخست، مفروضات استدلال و به جمله خبری سوم، نتیجه استدلال گفته می‌شود.
یک استدلال می‌تواند از چندین جمله خبری تشکیل شود که یکی از آنها نتیجه استدلال و بقیه مفروضات استدلال هستند.
هیچ عدد مرکبی، عددی اول نیست.
عددی مرکب است.
نتیجه این استدلال را می‌نویسیم:
عدد اول نیست.
اگر وضعیت آلودگی هوا به‌صورت ناسالم باشد، آن‌گاه مدارس تعطیل است.
فردا وضعیت آلودگی هوا به‌صورت ناسالم پیش‌بینی شده است.
نتیجه این استدلال را می‌نویسیم:
فردا مدارس تعطیل است.
تعریف گزاره
در منطق ریاضی به هر جمله خبری (در زمان حال یا آینده) دقیقا و بدون هیچ‌گونه ابهامی بتوان معلوم کرد که آیا جمله درست است یا نادرست، گزاره گفته می‌شود، هر چند ممکن است در حال حاضر نتوان ارزش آن را تعیین کرد.
با توجه به تعریف فوق، جملاتی که کامل نیستند هم‌چنین جملات سوالی و جملات تعجبی را در زمره گزاره‌ها نمی‌پذیریم.
به‌عنوان نمونه هر یک از جملات زیر گزاره هستند:
- عدد زوج است.
- عددی اول است.
به‌عنوان نمونه جملات زیر گزاره نیستند:
- عدد بزرگی است.
- گل سرخ زیباست.
- سعدی شاعر خوبی است.
- به‌به چه باغ زیبایی
- لطفا کتاب‌هایتان را باز کنید.
نکته
علت این‌که گزاره‌ها را جملات خبری در نظر می‌گیرند این است که در مورد جملات پرسشی، امری، تعجبی نمی‌توان حکم به‌درستی یا نادرستی آنها نمود.
تذکر
در صورتی که فعل گزاره مثبت باشد، گزاره را گزاره موجبه می‌نامند.
به‌عنوان نمونه عدد زوج است. هر دایره دارای مرکز است.
در صورتی‌که فعل گزاره منفی باشد گزاره را گزاره سالبه می‌نامند.
به‌عنوان نمونه عدد عددی اول نیست. فردوسی ریاضیدان نبوده است.
ارزش یک گزاره
گزاره درست
اگر گزاره‌ای درست باشد می‌گوییم، گزاره ارزش (د) یا یا می‌باشد.
به‌عنوان نمونه عدد زوج است یک گزاره درست است و لذا ارزش آن (د) یا یا می‌باشد.
تذکر
گزاره (هر مرد شش پا باهوش است) را در نظر بگیرید:
اگر این گزاره درست نباشد چه اتقافی رخ می‌دهد؟
بنابر دو ارزشی بودن منطقی باید این گزاره نادرست باشد، تنها روشی که می‌توان نشان داد گزاره نادرست است یافتن مرد شش پایی است که باهوش نیست.
اما چون اصلا مرد شش پایی در عالم وجود ندارد پس مسئله باهوش بودن دیگر موردی ندارد، یعنی نمی‌توان ثابت کرد این گزاره نادرست است.
بنابراین چاره‌ای نداریم که نتیجه بگیریم گزاره فوق درست است.
گزاره نادرست
اگر گزاره‌ای نادرست باشد می‌گوییم، گزاره ارزش (ن) یا یا می‌باشد.
به‌عنوان نمونه عدد اول است یک گزاره نادرست است و لذا ارزش آن (ن) یا یا می‌باشد.
گزاره حدس مشهور گلد‌باخ
این گزاره حدس، عبارت است از گزاره‌ای که ارزش درستی آن فعلا معلوم نیست و تاکنون کسی نه گزاره را ثابت کرده و نه کسی آن را رد کرده، لذا در حال حاضر کسی نمی‌تواند ارزش آن را مشخص کند.
به‌عنوان نمونه نهصد هزارُمین رقم بعد از ممیز عدد برابر است را در نظر بگیرید:
ارزش این گزاره را فعلا نمی‌توان تعیین کرد، زیرا نمی‌دانیم نهصد هزارُمین رقم بعد از میمز عدد چه عددی است.
به‌عنوان نمونه هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از را می‌توان به‌صورت مجموع دو عدد اول نوشت را در نظر بگیرید:
این جمله مانند گزاره فوق است و از آن گزاره‌هایی است که ارزش آن فعلا بر ما معلوم نیست.
تذکر
یک گزاره یا درست یا نادرست و حالت سومی برای آن وجود ندارد.
به‌عبارت دیگر منطقی که ما مطاله می‌کنیم منطق دو ارزشی است و عباراتی از قبیل تا اندازه‌ای درست یا تقریبا درست در مورد گزاره‌ها فاقد معنی است و گزاره‌ها در هر موقعیتی تنها یک ارزش دارند، درست یا نادرست.
البته موضوع فوق با گزاره حدس گلد‌باخ هیچ منافاتی ندارد و تعریف این نوع گزارش را بی‌ارزش نمی‌کند، زیرا این نوع گزاره هم بعد از تکمیل اطلاعات، یا به‌درستی می‌رسد یا به نادرستی.
تمرین
از بین جملات زیر، گزاره‌ها را مشخص و ارزش آنها را در صورت امکان تعیین کنید.
ایران کشور آسیایی است.
گزاره - درست
در پرتاب یک تاس، احتمال آن‌که تاس مضرب بیاید، برابر است.
گزاره - نادرست
ای کاش می‌توانستم در یک هوای پاک زندگی کنم.
گزاره نیست.
آیا برابر است؟
گزاره نیست.
هر عدد فرد بزرگ‌تر از را می‌توان به‌صورت مجموع سه عدد اول نوشت.
گزاره - نادرست
صدمین رقم بعد از ممیز عدد برابر است.
گزاره - نادرست
خیام پزشک ایرانی است.
گزاره - نادرست
افلاطون فیلسوف یونانی است.
گزاره - درست
گزاره - درست
تخته سیاه را پاک کنید.
گزاره نیست.
تمرین
در جاهای خالی عدد یا علامت مناسب قرار دهید به‌طوری‌که گزاره های حاصل دارای ارزش درست باشند:
نکته
در منطق ریاضی و در جبر گزاره‌ها هر گزاره را با یکی ازحروف انگلیسی مانند یا یا یا ... نمایش می‌دهیم.
در سه جدول زیر، وضعیت ارزشی، یک و دو و سه گزاره مشخص شده است.
نقیض گزاره
نفی کردن یک گزاره عبارت است از ساختن گزاره جدیدی که ارزش آن دقیقا مخالف ارزش گزاره اصلی باشد.
اگر یک گزاره دل‌خواه باشد، نقیض را با علامت‌های یا نشان می‌دهند.
به‌عنوان نمونه فرض کنید گزاره عبارت باشد از ( عددی گویاست) نقیض را می‌توان به صورت‌های زیر نوشت:
- این‌طور نیست که عددی گویاست.
- عدد گویا نیست.
- عدد گنگ است.
تذکر
لازم به‌ذکر است که در مورد نوشتن نقیض یک گزاره مجاز نیستیم هیچ‌گونه تصرفی در گزاره کنیم جز آن‌که فعل گزاره را نفی کنیم
به‌عنوان نمونه مثلا در مورد نقیض گزاره (حسن بلند قد است) نمی‌توان نوشت (حسن کوتاه قد است) بلکه فقط می‌توان نوشت (حسن بلند قد نیست).
نکته
ارزش نقیض یک گزاره
فرض کنید یک گزاره باشد، گفتیم عبارت است از گزاره‌ای که ارزش آن دقیقا خلاف ارزش است.
گاه برای نشان دادن نقیض برخی گزاره‌ها علاوه بر نماد از نمادهای دیگر هم استفاده می‌شود.
به‌عنوان نمونه عبارات زیر همگی معادلند:
- کوچک‌تر از نیست.
تمرین
نقیض گزاره‌های زیر را بنویسید:
ابوالوفای بوزجانی ریاضیدان ایرانی نیست.
(ابوالوفای بوزجانی ریاضیدان ایرانی است)
