لیست

مباحث ریاضی

ریاضی دبیرستان

خرید اشتراک

منطق گزاره

منطق، روش درست فکر کردن است. منطق ریاضی که شاخه‌ای از ریاضیات است و به بیان ریاضی گونه منطق می‌پردازد. اگر ریاضیات را به‌عنوان یک زبان برای انتقال مفاهیم و اطلاعات در نظر بگیریم، منطق ریاضی، دستور این زبان است.

سرفصل‌های این مبحث

منطق گزاره

ترکیب دو شرطی دو گزاره

آخرین ویرایش: 20 آبان 1403

دسته‌بندی: منطق گزاره

امتیاز:

1
2
3
4
5

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

یکی از روش‌های ساختن گزاره‌های مرکب با استفاده از گزاره‌های ساده، به کار بردن لفظ (اگر...آن‌گاه...و برعکس) است.

تعریف ترکیب دو شرطی دو گزاره

فرض کنید $p$ و $q$ دو گزاره دل‌خواه باشند.

از این دو گزاره، ‌گزاره جدیدی به‌صورت (اگر $p$ آن‌گاه $q$ و برعکس) می‌سازیم که آن‌را ترکیب دو شرطی دو گزاره $p$ و $q$ می‌نامیم و با نماد یا نماد $p \Leftrightarrow q$ نشان می‌دهیم.

$(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)$

در صورتی‌که گزاره $p \Leftrightarrow q$ درست باشد، آن‌را به صورت‌های زیر بیان می‌کنند:

$p$ یک شرط لازم و کافی برای $q$ است.
$q$ یک شرط لازم و کافی برای $p$ است.
یک شرط لازم و کافی برای $p$ آن‌است که $q$
یک شرط لازم و کافی برای $q$ آن‌است که $p$
$p$ اگر و تنها اگر $q$
$q$ اگر و تنها اگر $p$

تمرین

دو گزاره زیر را در نظر بگیرید:

$p$ : رقم یکان عددی صفر باشد.

$q$ : عدد بر $10$ بخش‌پذیر است.

یک ترکیب دو شرطی از دو گزاره فوق بنویسید.

اگر رقم یکان عددی صفر باشد آن‌گاه آن عدد بر $10$ بخش‌پذیر است و برعکس، اگر عددی بر $10$ بخش پذیر باشد، آن‌گاه رقم یکان آن صفر است.

ارزش ترکیب دو شرطی دو گزاره

گزاره $p \Leftrightarrow q$ فقط و فقط وقتی درست است که $p$ و $q$ هم‌ارزش باشند یعنی هر دو درست یا هر دو نادرست باشند و $p \Leftrightarrow q$ فقط و فقط وقتی نادرست است که ارزش $p$ و $q$ مختلف باشد یعنی یکی درست و دیگری نادرست باشد.

آن‌چه گفتیم در جدول زیر آورده شده است:

ترکیب دو شرطی دو گزاره - پیمان گردلو

تمرین

ارزش گزاره‌های مرکب زیر را تعیین کنید:

اگر عدد $2$ اول نباشد، آن‌گاه عدد $2$ مربع کامل است.

$p$ : عدد $2$ اول نباشد.

$q$ : عدد $2$ مربع کامل است.

طبق جدول ارزش ترکیب دو شرطی دو گزاره داریم:

$\begin{matrix} p & q & p \Leftrightarrow q \\ ن & ن & د \end{matrix}$

ارزش گزاره‌ مرکب فوق درست است.

در پرتاپ یک تاس، شرط لازم و کافی برای آن‌که احتمال پیشامدی برابر صفر باشد، آن است که پیشامد تهی باشد.

$p$ : $P (A) = 0$

$q$ : $A = \{\}$

طبق جدول ارزش ترکیب دو شرطی دو گزاره داریم:

$\begin{matrix} p & q & p \Leftrightarrow q \\ د & د & د \end{matrix}$

ارزش گزاره‌ مرکب فوق درست است.

شرط لازم و کافی برای آن‌که نقطه‌ای واقع بر عمود منصف یک پاره خط باشد، آن است که فاصله آن نقطه تا دو سر پاره خط برابر باشد.

$p$ : نقطه‌ای واقع بر عمود منصف یک پاره خط است.

$q$ : فاصله آن نقطه تا دو سر پاره خط برابر باشد.

طبق جدول ارزش ترکیب دو شرطی دو گزاره داریم:

$\begin{matrix} p & q & p \Leftrightarrow q \\ د & د & د \end{matrix}$

ارزش گزاره‌ مرکب فوق درست است.

$i f 3 > 2 \Leftrightarrow - 3 < - 2$

$p$ : $3 > 2$

$q$ : $- 3 < - 2$

طبق جدول ارزش ترکیب دو شرطی دو گزاره داریم:

$\begin{matrix} p & q & p \Leftrightarrow q \\ د & د & د \end{matrix}$

ارزش گزاره‌ مرکب فوق درست است.

$i f a \in \{b\} \Leftrightarrow a = b$

$p$ : $a \in \{b\}$

$q$ : $a = b$

طبق جدول ارزش ترکیب دو شرطی دو گزاره داریم:

$\begin{matrix} p & q & p \Leftrightarrow q \\ ن & ن & د \end{matrix}$

ارزش گزاره‌ مرکب فوق درست است.

تمرین

گزاره‌های زیر را به‌صورت شرط لازم، شرط کافی، شرط لازم و کافی بنویسید:

در ذوزنقه متساوی‌الساقین دو زاویه مجاور به دو ساق باهم برابرند.

شرط لازم و کافی برای آن‌که ذوزنقه‌ای متساوی‌الساقین باشد‌،‌ آن است که دو زاویه مجاور به دو ساق آن باهم برابر باشند.

هر مثلث که دارای سه ضلع مساوی باشد دارای سه زاویه مساوی خواهد بود.

شرط لازم و کافی برای آن‌که مثلثی متساوی‌الاضلاع باشد، ‌آن است که دارای سه زاویه برابر باشد.

در هر مربع اقطار برهم عمودند.

شرط لازم برای آن‌که یک چهار ضلعی مربع باشد آن است که اقطارش بر هم عمود باشند و شرط کافی برای آن‌که اقطار یک چهار ضلعی برهم عمود باشند،‌ آن است که چهار ضلعی مربع باشد.

هر مثلث که طول دو نیمساز زاویه داخلی آن برابر باشند، متساوی‌الساقین است.

شرط لازم و کافی برای آن‌که طول دو نیمساز زاویه داخلی مثلثی برابر باشند، آن است که مثلث متساوی‌الساقین باشد.

در هر مستطیل طول دو قطر با هم برابرند.

شرط لازم برای آن‌که یک چهارضلعی مستطیل باشد آن است که دو قطر آن باهم برابر باشند و شرط کافی برای آن‌که دو قطر یک چهارضلعی با هم برابر باشند آن است که چهارضلعی مستطیل باشد.

هر مستطیلی چهار زاویه قائم دارد.

شرط لازم برای آن‌که یک چهار ضلعی مستطیل باشد،‌ آن است که چهار ضلعی دارای چهار زاویه قائم باشد و شرط کافی برای آن‌که یک چهار ضلعی دارای چهار زاویه قائم باشد آن است که چهار ضلعی مستطیل باشد.

در هر مربع، اضلاع و زوایای آن با هم برابرند.

شرط لازم و کافی برای آن‌که چهارضلعی‌ای مربع باشد آن است که اضلاع و زوایای آن باهم برابر باشند.

تمرین

به‌جای نقطه‌چین الفاظ شرط لازم، شرط کافی،‌ شرط لازم و کافی بنویسید تا گزاره حاصل درست باشد:

$x^{3} - 1 = 0$ ...... برای $x - 1 = 0$ است و $x \in R$ .

شرط لازم و کافی

...... $\tan x = \tan y$ است که $x = y$ است.

شرط کافی

$\cos x = \cos y$ ...... برای $x = y$ است.

شرط لازم

$x^{2} - 1 = 0$ ...... برای $x + 1 = 0$ است و $x \in R$ .

شرط لازم

تمرین

فرض کنیم:

$p$ گزاره‌ای درست باشد.

$q$ گزاره‌ای نادرست باشد.

$r$ گزاره‌ای دل‌خواه باشد.

ارزش هریک از گزاره‌های مرکب زیر را در صورت امکان مشخص کنید:

$(p \Leftrightarrow q) \land r$

$\begin{matrix} p & q & r & p \Leftrightarrow q & (p \Leftrightarrow q) \land r \\ د & ن & ? & ن & ن \land ? \end{matrix}$

ارزش گزاره فوق به ارزش گزاره $r$ وابسته نیست و همواره گزاره‌ای نادرست است.

$(~ p \Leftrightarrow q) \lor r$

$\begin{matrix} ~ p & q & r & ~ p \Leftrightarrow q & (p \Leftrightarrow q) \lor r \\ ن & ن & ? & د & د \lor ? \end{matrix}$

ارزش گزاره فوق به ارزش گزاره $r$ وابسته نیست و همواره گزاره‌ای درست است.

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی 1401

کدام گزاره، هم ارز منطقی گزاره زیر است؟

$(~ p \lor q) \Leftrightarrow q$

$p$
$p \lor q$
$q$
$~ p \Leftrightarrow q$

مشاهده پاسخ تست

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

نمادهای اعتماد

تمام کارت‌های بانکی عضو شبکه بانکی شاپرک

درگاه پرداخت به پرداخت ملت

عضو انجمن صنفی کسب و کار اینترنتی