سرفصل‌های این مبحث

منطق گزاره

گزاره نما

آخرین ویرایش: 25 دی 1402

دسته‌بندی: منطق گزاره

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

جمله (او شاعر است) را در نظر می‌گیریم:

در مورد درستی یا نادرستی این جمله نمی‌توان اظهار نظر کرد زیرا نمی‌دانیم (او) کیست؟

اگر به جای کلمه (او) سعدی را جایگزین کنیم، عبارت به‌صورت (سعدی یک شاعر است) در می‌آید که البته یک گزاره است.

جمله زیر را در نظر بگیرید:

$x^{2} + 4 x = 2$

اگر به‌جای $x$ عدد $3$ را قرار دهیم، تبدیل به گزاره $9 + 12 = 2$ می‌شود

${(3)}^{2} + 4 (3) = 2 \Rightarrow 9 + 12 = 2$

که البته یک گزاره نادرست است.

حرف $(x)$ و کلمه (او) را در جملات $(x^{2} + 4 x = 2)$ و (او شاعر است) را متغیر می‌گوییم.

تعریف متغیر

متغیر عبارت است از هر حرف یا علامتی که بتوانند عناصر مختلف مجموعه مرجع (عالم سخن) را نشان دهد.

تعریف گزاره نما

گزاره نما عبارتی است که بیان‌گر خاصیتی درمورد عناصر نامشخص مجموعه مرجع می‌باشد که متغیرها نشان‌گر این عناصر نامشخص هستند.

اگر به‌جای این متغیرها، عناصر عالم سخن یا همان مجموعه مرجع را قرار دهیم، تبدیل به گزاره شود.

فرض کنید مجموعه مرجع، مجموعه اعداد حقیقی باشد، در این‌صورت عبارت $(x + 2 = 4)$ یک گزاره نما است.

اگر به‌جای $x$ هرعدد حقیقی دیگری قرار دهیم، گزاره نما تبدیل به گزاره می‌شود.

اگر به‌جای $x$ عدد $3$ را قرار دهیم، گزاره نمای $(x + 2 = 4)$ تبدیل به گزاره $(3 + 2 = 4)$ می‌شود که البته یک گزاره نادرست است.
اگر به‌جای $x$ عدد $2$ را قرار دهیم، گزاره نمای $(x + 2 = 4)$ تبدیل به گزاره $(2 + 2 = 4)$ می‌شود که البته یک گزاره درست است.

گاهی ممکن است در یک گزاره نما بیش از یک متغیر وجود داشته باشد، مانند:

$x^{2} + y^{2} \leq 25$

اگر به‌جای $x$ و $y$ به‌ترتیب $2$ و $3$ قرار دهیم، گزاره نما تبدیل به گزاره زیر می‌شود که البته یک گزاره‌ای درست است:

${(2)}^{2} + {(3)}^{2} \leq 25$

تعریف

هر جمله خبری که شامل یک یا چند متغیر است و با جای‌گذاری، مقادیری به جای متغیر به یک گزاره تبدیل شود، گزاره نما نامیده می‌شود.

گزاره نما‌ها را بر حسب تعداد متغیر به کار رفته در آنها، یک‌متغیره، دو‌متغیره و ... می‌نامیم.

تمرین

عبارت‌های خبری زیر همگی گزاره نما هستند.

می‌دانیم ارزش هیچ‌کدام از جملات زیررا نمی‌توانیم تعیین کنیم.

گزاره نماهای زیر را به‌یک گزاره درست تبدیل کنید.

$a$ عددی فرد است.

اگر به‌جای متغیر $a$ معادل $a = 3$ قرار دهیم، گزاره نمای ( $a$ عددی فرد است) به گزاره درست ( $3$ عددی فرد است) تبدیل می‌شود.

در پرتاپ یک تاس، احتمال آن‌که پیشامد $A$ رخ دهد، برابر $\frac{1}{2}$ است.

فضای نمونه پرتاب یک تاس برابر است با:

$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

با انتخاب پیشامد $A = \{2, 4, 6\}$ گزاره نمای فوق به یک گزاره درست تبدیل می‌شود.

حاصل جمع سه برابر عددی با دو برابر عدد دیگر برابر $6$ است. $(3 x + 2 y = 6)$

با انتخاب $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 0 \end{cases}$ گزاره نما به یک گزاره درست تبدیل می‌شود.

دامنه متغیر گزاره نما

در هر گزاره نما به مجموعه مقادیری که به‌جای متغیرهای آن قرار می‌گیرد تا این‌که گزاره نما به یک گزاره تبدیل شود، دامنه متغیر گزاره نما می‌گویند و آن را با حرف $D$ نمایش می‌دهند.

به‌عنوان نمونه داریم:

گزاره نمای ( $P$ عددی اول است) را در نظر بگیرید، دامنه متغیر این گزاره نما، مجموعه اعداد طبیعی است.

گزاره نمای ( $x$ عددی زوج است) را در نظر بگیرید، دامنه متغیر این گزاره نما، مجموعه اعداد صحیح است.

گزاره نمای ( $4 x^{2} + x - 5 = 0$ ) را در نظر بگیرید، دامنه متغیر این گزاره نما، طیز مجموعه‌ای از اعداد حقیقی است.

مجموعه جواب گزاره نما

فرض کنید $p (x)$ یک گزاره نما باشد:

اگر $M$ مجموعه مرجع این گزاره باشد بدیهی است برای هر عنصر $M$ که در $p (x)$ قرار دهیم، یک گزاره به‌دست می‌آید که یا درست است یا نادرست است.

در هر گزاره نما، به مجموعه عضوهایی از دامنه متغیر $D$ که به‌ازای آنها، گزاره نمای $p (x)$ تبدیل به یک گزاره با ارزش درست شود، مجموعه جواب گزاره نما می‌گویند و آن را با حرف $S$ نمایش می‌دهیم و همواره داریم:

$S \subseteq D$

پس اگر $M$ عالم سخن یا مجموع مرجع گزاره نمای $p (x)$ باشد، مجموعه جواب $p (x)$ :

$S = \{a \in M| p (a) i s c o r r e c t \}$

بنابراین:

$a \in S \Leftrightarrow p (a) i s c o r r e c t$

تمرین

مجموع جواب‌های گزاره نمای زیر را همراه با مجموع مرجع‌شان پیدا ‌کنید:

$p (x) : x + 1 > 2; M = \{0, 1, 2, 3\}$

$\begin{array}{l} p (0) : 0 + 1 > 2 \\ p (1) : 1 + 1 > 2 \\ p (2) : 2 + 1 > 2 \\ p (3) : 3 + 1 > 2 \end{array}$

ملاحظه می‌کنید که گزاره نمای $x + 1 > 2$ به‌ازای $2$ و $3$ تبدیل به گزاره درست می‌شود، پس مجموعه جواب:

$S = \{2, 3\}$

تمرین

دامنه متغیر و مجموعه جواب گزاره نماهای زیر را مشخص کنید.

$x$ مضرب $7$ است.

دامنه متغیر گزاره نما:

$D = Z$

مجموعه جواب گزاره نما:

$S = \{\dots, - 7, 0, 7, \dots\}$

$15 x^{2} - 7 x - 8 = 0$

دامنه متغیر گزاره نما:

$D = R$

مجموعه جواب گزاره نما:

$\begin{array}{l} Δ = b^{2} - 4 a c = 529 \end{array}$

$\begin{array}{l} x = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{7 \pm 23}{30} \Rightarrow \{\begin{cases} x = \frac{30}{30} = 1 \\ x = - \frac{16}{30} = - \frac{8}{15} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} S = \{- \frac{8}{15}, 1\} \end{array}$

تاس را پرتاب می‌کنیم و $P (x) = \frac{1}{6}$ .

دامنه متغیر گزاره نما:

$D = \{1, 2, ...., 6\}$

برای این‌که احتمال برابر $\frac{1}{6}$ باشد، باید مجموعه $\{x\}$ یک مجموعه یک عضوی باشد.

مجموعه جواب گزاره نما:

$S = \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}, \{5\}, \{6\}$

$a$ یک واحد از مضرب $5$ بیش‌تر است.

دامنه متغیر گزاره نما:

$D = Z$

مجموعه جواب گزاره نما:

$S = \{..., - 4, 1, 6, 11, ...\}$

$\frac{2 x + 1}{3} \leq - 1$

دامنه متغیر گزاره نما:

$D = R$

مجموعه جواب گزاره نما:

$\frac{2 x + 1}{3} \leq - 1 \Rightarrow 2 x + 1 \leq - 3 \Rightarrow 2 x \leq - 4 \Rightarrow x \leq - 2$

$S = (- \infty, - 2]$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

منطق گزاره

گزاره نما

مقدمه

تعریف متغیر

تعریف گزاره نما

تعریف

دامنه متغیر گزاره نما

مجموعه جواب گزاره نما

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟