منطق گزاره

مقدمه

جمله (او شاعر است) را در نظر می‌گیریم:

در مورد درستی یا نادرستی این جمله نمی‌توان اظهار نظر کرد زیرا نمی‌دانیم (او) کیست؟

اگر به جای کلمه (او) سعدی را جایگزین کنیم، عبارت به‌صورت (سعدی یک شاعر است) در می‌آید که البته یک گزاره است.

جمله زیر را در نظر بگیرید:  

$x^2+4x=2$

اگر به‌جای $x$ عدد $3$ را قرار دهیم، تبدیل به گزاره $9+12=2$ می‌شود

${\left(3\right)}^2+4\left(3\right)=2\Rightarrow 9+12=2$

که البته یک گزاره نادرست است.

حرف $\left(x\right)$ و کلمه (او) را در جملات $\left(x^2+4x=2\right)$ و (او شاعر است) را متغیر می‌گوییم.

تعریف متغیر

متغیر عبارت است از هر حرف یا علامتی که بتوانند عناصر مختلف مجموعه مرجع (عالم سخن) را نشان دهد.

تعریف گزاره نما

گزاره نما عبارتی است که بیان‌گر خاصیتی درمورد عناصر نامشخص مجموعه مرجع می‌باشد که متغیرها نشان‌گر این عناصر نامشخص هستند.

اگر به‌جای این متغیرها، عناصر عالم سخن یا همان مجموعه مرجع را قرار دهیم، تبدیل به گزاره شود.

فرض کنید مجموعه مرجع، مجموعه اعداد حقیقی باشد، در این‌صورت عبارت $\left(x+2=4\right)$ یک گزاره نما است.

اگر به‌جای $x$ هرعدد حقیقی دیگری قرار دهیم، گزاره نما تبدیل به گزاره می‌شود.

• اگر به‌جای $x$ عدد $3$ را قرار دهیم، گزاره نمای $\left(x+2=4\right)$ تبدیل به گزاره $\left(3+2=4\right)$ می‌شود که البته یک گزاره نادرست است.
• اگر به‌جای $x$ عدد $2$ را قرار دهیم، گزاره نمای $\left(x+2=4\right)$ تبدیل به گزاره $\left(2+2=4\right)$ می‌شود که البته یک گزاره درست است.   

گاهی ممکن است در یک گزاره نما بیش از یک متغیر وجود داشته باشد، مانند:

$x^2+y^2\le 25$

اگر به‌جای $x$ و $y$ به‌ترتیب $2$ و $3$ قرار دهیم، گزاره نما تبدیل به گزاره زیر می‌شود که البته یک گزاره‌ای درست است:

${\left(2\right)}^2+{\left(3\right)}^2\le 25$

تعریف

هر جمله خبری که شامل یک یا چند متغیر است و با جای‌گذاری، مقادیری به جای متغیر به یک گزاره تبدیل شود، گزاره نما نامیده می‌شود.

گزاره نما‌ها را بر حسب تعداد متغیر به کار رفته در آنها، یک‌متغیره، دو‌متغیره و ... می‌نامیم.

دامنه متغیر گزاره نما

در هر گزاره نما به مجموعه مقادیری که به‌جای متغیرهای آن قرار می‌گیرد تا این‌که گزاره نما به یک گزاره تبدیل شود، دامنه متغیر گزاره نما می‌گویند و آن را با حرف $D$ نمایش می‌دهند.

به‌عنوان نمونه داریم:

گزاره نمای ($P$ عددی اول است)  را در نظر بگیرید، دامنه متغیر این گزاره نما، مجموعه اعداد طبیعی است. 

گزاره نمای ($x$ عددی زوج است)  را در نظر بگیرید، دامنه متغیر این گزاره نما، مجموعه اعداد صحیح است. 

گزاره نمای ($4x^2+x-5=0$)  را در نظر بگیرید، دامنه متغیر این گزاره نما، طیز مجموعه‌ای از اعداد حقیقی است. 

مجموعه جواب گزاره نما

فرض کنید $p\left(x\right)$ یک گزاره نما باشد:

اگر $M$ مجموعه مرجع این گزاره باشد بدیهی است برای هر عنصر $M$ که در $p\left(x\right)$ قرار دهیم، یک گزاره به‌دست می‌آید که یا درست است یا نادرست است.

در هر گزاره نما، به مجموعه عضوهایی از دامنه متغیر $D$ که به‌ازای آنها، گزاره نمای $p\left(x\right)$ تبدیل به یک گزاره با ارزش درست شود، مجموعه جواب گزاره نما می‌گویند و آن را با حرف $S$ نمایش می‌دهیم و همواره داریم:

$S\subseteq D$

پس اگر $M$ عالم سخن یا مجموع مرجع گزاره نمای $p\left(x\right)$ باشد، مجموعه جواب $p\left(x\right)$: 

  $S=\left\{\left.a\in M\right|\right.p\left(a\right) is correct\left.\right\}$

بنابراین:

$a\in S\iff p\left(a\right) is correct$