سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

حد راست و حد چپ

آخرین ویرایش: 15 شهریور 1403

دسته‌بندی: حد و همسایگی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

برای ورود به بحث، تمرین زیر را مشاهده کنید:

تمرین

تابع با ضابطه $f (x) = \sqrt{2 - x}$ را در نظر بگیرید.

دامنه این تابع را محاسبه کنید.

$2 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2; D_{f} = (- \infty, 2]$

حد تابع در نقطه $x = 2$ را بررسی کنید.

تابع در همسایگی راست این نقطه تعریف نشده است، به عبارت دیگر مقادیر بزرگ‌تر از $2$ در دامنه تابع موجود نیست.

تابع در همسایگی چپ این نقطه تعریف شده است، به عبارت دیگر مقادیر کوچک‌تر از $2$ در دامنه تابع موجود است و می‌توانیم رفتار تابع را در همسایگی چپ بررسی کنیم.

تابع در نقطه $2$ حد ندارد.

نکته

گاهی لازم است، رفتار تابع را وقتی متغیر $x$ با مقادیر بزرگ‌ تر از $a$ به $a$ نزدیک می‌شود یا وقتی متغیر $x$ با مقادیر کوچک‌ تر از $a$ به $a$ نزدیک می‌شود را بررسی و توصیف کنیم.

تمرین

تابع با ضابطه $f (x) = \{\begin{cases} - x + 3; x > 2 \\ x^{2}; x < 2 \end{cases}$ را در نظر بگیرید.

نمودار تابع را رسم کنید.

حد راست و حد چپ - پیمان گردلو

اگر متغیر $x$ با مقادیر بزرگ‌تر از $2$ به $2$ نزدیک شود آن‌گاه مقادیر $f (x)$ به چه عددی نزدیک می‌شود؟

اگر متغیر $x$ با مقادیر بزرگ‌تر از $2$ به $2$ نزدیک شود آن‌گاه مقادیر $f (x)$ به عدد $1$ نزدیک می‌شود.

اگر متغیر $x$ با مقادیر کوچک‌تر از $2$ به $2$ نزدیک شود آن‌گاه مقادیر $f (x)$ به چه عددی نزدیک می‌شود؟

اگر متغیر $x$ با مقادیر کوچک‌تر از $2$ به $2$ نزدیک شود آن‌گاه مقادیر $f (x)$ به عدد $4$ نزدیک می‌شود.

تعریف حد راست

فرض کنیم تابع با ضابطه $y = f (x)$ در یک همسایگی محذوف راست $a$ تعریف شده باشد.

می‌گوئیم $f (x)$ در نقطه $a$ حد راست برابر $L$ دارد و چنین می‌نویسیم:

$\lim_{x \to a^{+}} f (x) = L$

در شکل زیر اگر متغیر $x$ در دامنه $f$ با مقادیری بزرگ‌تر از عدد $a$ به $a$ نزدیک شود و مقادیر $f (x)$ به عددی مانند $L$ نزدیک شوند، می‌گوییم تابع در نقطه $a$ حد راست برابر $L$ دارد.

تعریف حد چپ

فرض کنیم تابع با ضابطه $y = f (x)$ در یک همسایگی محذوف چپ $a$ تعریف شده باشد.

می‌گوئیم $f (x)$ در نقطه $a$ حد چپ برابر $L$ دارد و چنین می‌نویسیم:

$\lim_{x \to a^{+}} f (x) = L$

در شکل زیر اگر متغیر $x$ در دامنه $f$ با مقادیری کوچک‌تر از عدد $a$ به $a$ نزدیک شود و مقادیر $f (x)$ به عددی مانند $L$ نزدیک شوند، می‌گوییم تابع در نقطه $a$ حد چپ برابر $L$ دارد.

تمرین

با رسم جدول، وجود حدهای چپ و راست توابع را در نقطه داده شده، بررسی کنید.

$f (x) = \frac{x^{2} - x}{x}; a = 0$

به‌عنوان مثال مقدار را در $x = - 0.01$ محاسبه می‌کنیم:

$\{\begin{cases} \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} - x}{x} = - 1 \\ \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} - x}{x} = - 1 \end{cases}$

$f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 1; x < - 1 \\ x^{3} + 3; x > - 1 \end{cases}; x = - 1$

$\{\begin{cases} \lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{+}} (x^{3} + 3) = 2 \\ \lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{-}} (x^{2} + 1) = 2 \end{cases}$

$f (x) = x [x]; x = 2$

$\{\begin{cases} \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} x [x] = 2 \\ \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} x [x] = 4 \end{cases}$

$f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}; x = 0$

$\{\begin{cases} \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{1 - x^{2}} = 1 \\ \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} \sqrt{1 - x^{2}} = 1 \end{cases}$

$f (x) = \frac{\sqrt{|x (x - 1)|}}{x^{2} - 1}; x = 1$

$\{\begin{cases} \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = ? \\ \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = ? \end{cases}$

حدهای فوق، موجود نیست.

$f (x) = \frac{1 - \cos x}{x^{2}}; x = 0$

$\{\begin{cases} \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 - \cos x}{x^{2}} = 0 / 5 \\ \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{1 - \cos x}{x^{2}} = 0 / 5 \end{cases}$

تمرین

با رسم جدول و نمودار توابع زیر، وجود حدهای چپ و راست توابع را در نقطه داده شده، بررسی کنید.

$f (x) = \sqrt{1 + x}; x = 3$

$\{\begin{cases} \lim_{x \to 3^{+}} f (x) = 2 \\ \lim_{x \to 3^{-}} f (x) = 2 \end{cases}$

$f (x) = \frac{x}{|x|}; x = 0$

$f (x) = \frac{x}{|x|} = \{\begin{cases} 1; x > 0 \\ - 1; x < 0 \end{cases}$

$\{\begin{cases} \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 1 \\ \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = - 1 \end{cases}$

$f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 1; x < 2 \\ x + 1; x > 2 \end{cases}; x = 2$

$\{\begin{cases} \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = 3 \\ \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 3 \end{cases}$

تمرین

نمودار توابع زیر را رسم کنید، حدهای چپ و راست را در نقطه داده شده مشخص کنید.

$f (x) = \{\begin{cases} 2 x + 5; x > - 2 \\ - x + 1; x < - 2 \end{cases}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to - 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to - 2^{-}} (- x + 1) = [- (- 2) + 1] = 3 \end{array}$

$\lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 2^{+}} (2 x + 5) = [2 (- 2) + 5] = 1$

$f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2; x \geq - 1 \\ - x^{2} + 2; x < - 1 \end{cases}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{+}} (x^{2} + 2) = {(- 1)}^{2} + 2 = 3 \end{array}$

$\lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{-}} (- x^{2} + 2) = - {(- 1)}^{2} + 2 = 1$

$f (x) = \{\begin{cases} x + 1; x \geq 1 \\ - x^{2} + 4; x < 1 \end{cases}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (x + 1) = {(1)}^{2} + 1 = 2 \end{array}$

$\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (- x^{2} + 4) = - {(1)}^{2} + 4 = 3$

تمرین

حدهای چپ و راست را در نمودارهای زیر نشان دهید.

$\{\begin{cases} \lim_{x \to a^{-}} f (x) = L \\ \lim_{x \to a^{+}} f (x) = - \infty \end{cases}$

$\{\begin{cases} \lim_{x \to a^{+}} f (x) = + \infty \\ \lim_{x \to a^{+}} f (x) = + \infty \end{cases}$

$\{\begin{cases} \lim_{x \to a^{+}} f (x) = L_{2} \\ \lim_{x \to a^{-}} f (x) = L_{1} \end{cases}$

$\{\begin{cases} \lim_{x \to a^{+}} f (x) = L \\ \lim_{x \to a^{-}} f (x) = L \end{cases}$

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f (x) = 1 - \sqrt{1 - x}$

تابع را رسم کنید و حدهای چپ و راست را در $a = - 3$ بررسی کنید.

$\{\begin{cases} \lim_{x \to - 3^{+}} f (x) = - 1 \\ \lim_{x \to - 3^{-}} f (x) = - 1 \end{cases}$

تمرین

در هر یک از حالت های زیر، نمودار تابعی را رسم کنید که شرایط گفته شده را داشته باشد.

تابع‌ در همسایگی $2$ تعریف شده ولی در این نقطه حد چپ و راست با هم برابر نیستند.

$\begin{array}{l} f (2) = 0 \end{array}$

$\{\begin{array}{l} \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = 1 \\ \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = - 1 \end{array}〉 \lim_{x \to 2^{+}} f (x) \neq \lim_{x \to 2^{-}} f (x)$

تابع‌ در $1$ تعریف نشده باشد ولی در یک همسایگی محذوف $1$ تعریف شده است و در این نقطه حد چپ و راست با هم برابر هستند.

$\begin{array}{l} f (1) = ? \end{array}$

$\{\begin{array}{l} \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = L \\ \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = L \end{array}〉 \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} f (x)$

تابع‌ در یک همسایگی $0$ تعریف شده است و در این نقطه حد چپ و راست با هم برابر هستند، ولی حد آن غیر از مقدار تابع در $0$ است.

$\begin{array}{l} f (0) = L \end{array}$

$\{\begin{array}{l} \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = L^{'} \\ \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = L^{'} \end{array}〉 \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} f (x)$

تابع در یک همسایگی $(- 1)$ تعریف شده است و در این نقطه حد چپ و راست با هم برابر هستند و حد تابع برابر مقدار تابع در $(- 1)$ می باشد.

$\begin{array}{l} f (- 1) = L \end{array}$

$\{\begin{array}{l} \lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = L \\ \lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = L \end{array}〉 \lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{-}} f (x)$

تابع در همسایگی راست عدد $2$ تعریف شده است ولی در هیچ همسایگی چپ $2$ تعریف نشده است.

$\{\begin{array}{l} \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = L \\ \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = ? \end{array}〉 \lim_{x \to 2^{+}} f (x) \neq \lim_{x \to 2^{-}} f (x)$

تابع در یک همسایگی محذوف $0$ تعریف شده است و در $0$ حد چپ و راست متفاوت داشته باشد.

$\{\begin{array}{l} \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = L \\ \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = L^{'} \end{array}〉 \lim_{x \to 0^{+}} f (x) \neq \lim_{x \to 0^{-}} f (x)$

تابع در یک همسایگی محذوف $0$ تعریف شده است و در $0$ حد چپ دارد اما حد راست ندارد.

$\{\begin{array}{l} \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = L \\ \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = + \infty \end{array}〉 \lim_{x \to 0^{-}} f (x) \neq \lim_{x \to 0^{+}} f (x)$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

1- اگر دو تابع $f$ و $g$ در یک همسایگی محذوف نقطه ای مانند $a$ بر هم منطبق باشند، حد آنها در نقطه $a$ مانند یکدیگر است، یعنی اگر یکی از آنها در $a$ حد داشته باشد، دیگری هم حد دارد و حد آنها مساوی است.

برای درک بهتر، به شکل زیر توجه کنید:

حد راست و حد چپ - پیمان گردلو

فرض کنیم بر اساس شکل فوق، تابع $f$ در بازه $[1, + \infty)$ و تابع $g$ در بازه $(- \infty, 3]$ رسم شده‌اند و دو تابع‌‌ در فاصله $[1, 3]$ بر هم منطبق هستند، بنابراین در یک همسایگی محذوف نقطه‌ای مانند $a$ بر هم منطبق شده‌اند، همان‌طور که از شکل مشخص است، داریم:

$\lim_{x \to a} f (x) = \lim_{x \to a} g (x) = L$

بنابراین حد هر دو تابع در همسایگی محذوف نقطه $a$ با هم برابرند.‌

2- اگر دو تابع $f$ و $g$ در یک همسایگی چپ (یا راست) نقطه ای مانند $a$ بر هم منطبق باشند، حد چپ(یاراست) این دو تابع در این نقطه مانند یکدیگر است.

برای درک بهتر، به شکل زیر توجه کنید:

حد راست و حد چپ - پیمان گردلو

فرض کنیم براساس شکل فوق، تابع‌ $f$ در بازه $[1, a)$ و تابع $g$ در بازه $(- \infty, a)$ رسم شده‌اند و در بازه $[1, a)$ بر هم منطبق هستند، بنابراین در یک همسایگی چپ نقطه $a$ داریم:

$\lim_{x \to a^{-}} f (x) = \lim_{x \to a^{-}} g (x) = L$

بنابراین حد چپ هر دو تابع دو نقطه $a$ با هم برابرند.‌‌‌

این مطلب در مورد حد راست دو تابع صادق است.

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

اگر نمودار تابع $f$ به‌صورت زیر باشد:

مقدار عددی $A$ در زیر کدام گزینه است؟

$A = [\lim_{x \to 2} (f o f) (x)] + \lim_{x \to 1^{+}} [\frac{1}{f (x)}] + \lim_{x \to 0^{+}} f ([x])$

صفر
$3$
$4$
$5$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

حد راست و حد چپ

6,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

حد و همسایگی

حد راست و حد چپ

مقدمه

تعریف حد راست

تعریف حد چپ

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟