حد و همسایگی

$2-x\ge 0\Rightarrow x\le 2;D_f=\left(-\infty ,2\right]$

تابع در همسایگی راست این نقطه تعریف نشده است، به عبارت دیگر مقادیر بزرگ‌تر از $2$ در دامنه تابع موجود نیست.

تابع در همسایگی چپ این نقطه تعریف شده است، به عبارت دیگر مقادیر کوچک‌تر از $2$ در دامنه تابع موجود است و می‌توانیم رفتار تابع را در همسایگی چپ بررسی کنیم.

تابع در نقطه $2$ حد ندارد.

اگر متغیر $x$ با مقادیر بزرگ‌تر از $2$ به $2$ نزدیک شود آن‌گاه مقادیر $f\left(x\right)$ به عدد $1$ نزدیک می‌شود.

اگر متغیر $x$ با مقادیر کوچک‌تر از $2$ به $2$ نزدیک شود آن‌گاه مقادیر $f\left(x\right)$ به عدد $4$ نزدیک می‌شود.

به‌عنوان مثال مقدار  را در  $x=-0.01$ محاسبه می‌کنیم:

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2-x}{x}=-1\\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2-x}{x}=-1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\left(x^3+3\right)=2\\ \underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left(x^2+1\right)=2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }x\left[x\right]=2\\ \underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }x\left[x\right]=4\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt{1-x^2}=1\\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\sqrt{1-x^2}=1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=?\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=?\end{array}\right.$

حدهای فوق، موجود نیست.

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=0/5\\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=0/5\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=2\\ \underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=2\end{array}\right.$

$f\left(x\right)=\frac{x}{\left|x\right|}=\left\{\begin{array}{l}1;x>0\\ -1;x<0\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=1\\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=3\\ \underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=3\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\left(-x+1\right)=\left[-\left(-2\right)+1\right]=3\end{array}$

$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\left(2x+5\right)=\left[2\left(-2\right)+5\right]=1$

$\begin{array}{l}\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\left(x^2+2\right)={\left(-1\right)}^2+2=3\end{array}$

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left(-x^2+2\right)=-{\left(-1\right)}^2+2=1$

$\begin{array}{l}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x+1\right)={\left(1\right)}^2+1=2\end{array}$

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(-x^2+4\right)=-{\left(1\right)}^2+4=3$

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=L\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L_2\\ \underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=L_1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L\\ \underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=L\end{array}\right.$