سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

تعریف همسایگی

آخرین ویرایش: 02 اسفند 1402
دسته‌بندی: حد و همسایگی
امتیاز:

همسایگی یک نقطه، یکی از مفاهیم اساسی است که در حد و به طور کلی در حساب دیفرانسیل به کار می‌رود. این مفهوم را در زیر تعریف می‌کنیم.

تعریف همسایگی

اگر a عددی حقیقی باشد، هر بازه باز شامل a را یک همسایگی a می‌نامیم. بنابراین اگر ac,d باشد، آنگاه بازه باز c,d یک همسایگی a است.

تعریف همسایگی - پیمان گردلو 

همسایگی متقارن

اگر a عددی حقیقی و وسط بازه باز c,d باشد، آنگاه c,d را همسایگی متقارن می‌نامیم. عدد a وسط c,d است.   

تعریف همسایگی - پیمان گردلو

بنابراین اگر α>0 باشد، آنگاه بازه باز aα  ,  a+α را یک همسایگی متقارن a می‌نامیم.

تعریف همسایگی - پیمان گردلو

مثلا 2,4 یک همسایگی متقارن 3 و 1n,1n یک همسایگی متقارن 0 است.

مرکز و شعاع همسایگی

در همسایگی متقارن aα  ,  a+α از a ، عدد a را مرکز همسایگی و α را شعاع همسایگی می‌نامیم و این همسایگی را با Na,α نشان می‌دهیم. 

نکته

فرض کنیم x عددی حقیقی متعلق به یک همسایگی متقارن a باشد، در این صورت روابط زیر معادل هستند: 

xN  a,αaα<x<a+αα<xa<αxa<α

یعنی شرط لازم و کافی برای آن‌که x متعلق به یک همسایگی متقارن به مرکز a و شعاع α باشد، آن است که فاصله x تا a کمتر از α باشد، یعنی:

aα  ,  a+α=xxa<α  ,  xR

تعریف همسایگی - پیمان گردلو

تمرین

اگر x متعلق به يک همسايگی 3 و به شعاع 1 باشد.

بازه x را به‌دست آورید.

xN3,131<x<3+12<x<4

تمرین

اگر بازه x1  ,  2x+3 یک همسایگی 2 باشد، مجموعه مقادیر x را به دست می‌آوریم:

x1<2x<32x+3>22x>1x>1212<x<3

تمرین

اگر α<x<β باشد:

آن‌‌را به‌صورت همسايگی متقارن عددی مانند a بنويسيد.

در بازه α,β همسايگی متقارن، نقطه وسط آن است يعنی:


a=α+β2

سپس آن‌را به‌صورت xa<α نشان دهيد.

α<x<β

αα+β2<xα+β2<βα+β2

αβ2<xα+β2<βα2

βα2<xα+β2<βα2

xα+β2<βα2

تمرین

اگر -5<x<3 باشد:

این فاصله، همسايگی متقارن چه عددی است؟

در بازه -5,3 همسايگی متقارن، نقطه وسط آن است يعنی:


-5+32=-1

شعاع همسايگی چقدر است؟

5<x<3

51<x1<31

5+1<x+1<3+1


4<x+1<4x+1<4xN1,4a=1α=4

تمرین

اگر -3<x<2 باشد:

این فاصله، همسايگی متقارن چه عددی است؟

در بازه -3,2 همسايگی متقارن، نقطه وسط آن است يعنی:


-3+22=-12

شعاع همسايگی چقدر است؟

3<x<2

312<x12<212

3+12<x+12<2+12


52<x+12<52x+12<52xN12,52

تمرین

همسايگی مرکز دار به‌صورت زیر مفروض است:

Na,ε=x75<x<135

ε و α را به‌دست آوريد؟

if   xNa,εaε<x<a+εaε<x<a+ε75<x<135

aε=75a+ε=135a=2ε=35

تمرین

دو همسایگی زیر را در نظر بگیرید:

N11,12  ,  N20,1

اجتماع این دو همسايگی برابر چه فاصله‌ای است؟

if   xN11,12112<x<1+120.5<x<1.5


if   xN20,101<x<0+11<x<1


0.5,1.51,1=1,1.5

تمرین

اگر 313<x<3+13 باشد، آن‌گاه مقدار ε  در نامساوی زیر چيست؟

x23x2x632<ε

x23x2x632<εx23x3x+92x3<εx26x+92x3<ε


12x3x3x3<εx3<2ε2ε<x3<2ε


32ε<x<3+2ε


32ε<x<3+2ε313<x<3+132ε=13ε=16

دریافت مثال

تعریف همسایگی محذوف 

هرگاه a متعلق به یک همسایگی a نباشد، همسایگی را محذوف یا بدون مرکز می‌نامند.

بنابراین Na,αa یک همسایگی محذوف متقارن a است و عدد a را مرکز همسایگی و α را شعاع همسایگی می‌نامیم و به‌صورت Na,α نشان می‌دهند:

xNa,α  ,  α>0

xNa,αa

xaα,a+αa

aα<x<a+α    ;    xa

α<xa<α

0<xa<α     ;    xR

تمرین

در تابع با ضابطه زیر، در همسایگی محذوف 2 مقدار  limx2fx بدست آورید.

fx=3x1    ;    x>2x+3    ;    x<2

تابع f در نقطه x=2 تعریف نشده است و f2 قابل محاسبه نیست.


نمودار f را رسم می‌کنیم:



جدول مقادیر f در همسایگی محذوف 2 را می‌نویسیم:



با توجه به نمودار و جدول فوق، مشاهده می‌کنیم که:

limx2fx=5

همسایگی چپ و راست

اگر α>0 باشد، هر فاصله aα,a را یک همسایگی چپ a و هر فاصله aα,a را یک همسایگی محذوف چپ a گویند. 

L=aα,a

xaα,aaα<xaα<xa0

تعریف همسایگی - پیمان گردلو

La=aα,a

xaα,aaα<x<aα<xa<0

تعریف همسایگی - پیمان گردلو

اگر α>0 باشد، هر فاصله a,a+α را یک همسایگی راست a و هر فاصله a,a+α را یک همسایگی محذوف راست a گویند. 

R=a,a+α

تعریف همسایگی - پیمان گردلو

Ra=a,a+α

تعریف همسایگی - پیمان گردلو

تمرین

تابع با ضابطه fx=1x2x را در نظر می‌گیریم:

1- دامنه تابع را به دست می‌آوریم:


1x20x211x1x0

Df=1,10=1,00,1


2- دامنه تابع شامل همسایگی محذوف نقطه صفراست.


3- این تابع در همسایگی 0/9 تعریف شده است زیرا 0/9Df.


4- تابع f در همسایگی چپ x=1 تعریف شده است.


5- تابع f در همسایگی راست x=1 تعریف نشده است. اعداد بزرگ‌تر از 1 در دامنه تابع نیست.

تمرین

تابع با ضابطه y=9x2xx را در نظر می‌گیریم:

1- دامنه تابع را به دست می‌آوریم:

9x20x29x33x3

xx=0x=xx


Df=3,3xx=3,32,1,0,1,2


2- این تابع در همسایگی نقاطی که متعلق به دامنه تابع می‌باشد، تعریف شده است:

Df=3,32,1,0,1,2


3- تابع در اطراف نقاط 2,1,0,1,2 تعریف شده اما در خود این اعداد تعریف نشده است، زیر دامنه‌ تعریف آن یک همسایگی محذوف را در این نقاط در بر دارد.


4- این تابع در همسایگی چپ نقطه x=3 تعریف شده است.


5- همسایگی راست برای x=3 وجود ندارد، زیرا مقادیر بیش‌تر از 3 در دامنه موجود نیست.


6- این تابع در همسایگی راست نقطه x=-3 تعریف شده است.


7- همسایگی چپ برای x=-3 وجود ندارد، زیرا مقادیر کم‌تر از -3 در دامنه موجود نیست.  

خرید پاسخ‌ها

تعریف همسایگی

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تعداد نظرهای ثبت شده (3)

  • لیلا نوری(مدرسه فشم)
    07 فروردين 1403

    من که خیلی یاد گرفتم عالی بود?

  • سجاد خاوری
    16 بهمن 1402

    من برای شروع از اینجا شروع کردم، تا الان که راضی بودم و خوبه

  • دژکوب نبرد
    03 دی 1402

    عالی هست .فکر نمیکردم همچین تارنمایی وجود داشته باشه.فقط یکم اسم آموزشگاهتون سخته .