سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

قضایای مقدماتی حد

آخرین ویرایش: 02 اسفند 1402

دسته‌بندی: حد و همسایگی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

حد تابع ثابت

قضیه

حد تابع ثابت $f (x) = c$ در هر نقطه برابر مقدار تابع ثابت $c$ است:

$i f f (x) = c \Rightarrow \lim_{x \to a} f (x) = c$

اثبات

$\begin{array}{l} i f f (x) = c \\ \Rightarrow \underset{x \to a}{l i m} f (x) = \underset{x \to a}{l i m} c \\ \Rightarrow \lim_{x \to a} f (x) = c \end{array}$

تمرین

با استفاده از قانون فوق، حد توابع زیر را بدست می‌آوریم.

$\lim_{x \to 5} 2$

$\lim_{x \to 5} 2 = 2$

قضایای مقدماتی حد - پیمان گردلو

$\lim_{x \to 7} 5$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 7} 5 = 5 \end{array}$

$\lim_{x \to 4} (- 2)$

$\lim_{x \to 4} (- 2) = - 2$

$\lim_{x \to 5} 0$

$\lim_{x \to 5} 0 = 0$

حد تابع همانی

قضیه

حد تابع همانی $f (x) = x$ در هر نقطه، برابر مقدار تابع در آن نقطه است:

$i f f (x) = x \Rightarrow \lim_{x \to a} f (x) = a$

اثبات

$\begin{array}{l} i f f (x) = x \\ \Rightarrow \underset{x \to a}{l i m} f (x) = \underset{x \to a}{l i m} x \\ \Rightarrow \lim_{x \to a} f (x) = a \end{array}$

تمرین

با استفاده از قانون فوق، حد توابع زیر را به‌دست می‌آوریم.

$\lim_{x \to 3} x$

$\lim_{x \to 3} x = 3$

قضایای مقدماتی حد - پیمان گردلو

$\lim_{x \to 7} x$

$\lim_{x \to 7} x = 7$

$\lim_{x \to - 7} x$

$\lim_{x \to - 7} x = - 7$

$\lim_{x \to 0} x$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} x = 0 \end{array}$

حد مجموع یا تفاضل

قضیه

اگر دو تابع در یک نقطه حد داشته باشند، حد مجموع(یا تفاضل) دو تابع در آن نقطه برابر با مجموع (یا تفاضل) حدهای آنها در همان نقطه است.

$\lim_{x \to a} (f (x) \pm g (x)) = \lim_{x \to a} f (x) \pm \lim_{x \to a} g (x)$

اثبات

اگر $\lim_{x \to a} f (x) = l$ و $\lim_{x \to a} g (x) = m$ باشد، آن‌گاه:

$\lim_{x \to a} (f (x) + g (x)) = \lim_{x \to a} f (x) + \lim_{x \to a} g (x) = l + m$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to a} (f (x) - g (x)) \\ = \lim_{x \to a} \{f (x) + [- g (x)]\} \\ = \lim_{x \to a} f (x) + \lim_{x \to a} [- g (x)] \\ = \lim_{x \to a} f (x) + (- 1) \lim_{x \to a} g (x) \\ = \lim_{x \to a} f (x) - \lim_{x \to a} g (x) \\ = l - m \end{array}$

تمرین

اگر $f (x) = x$ و $g (x) = 2 x - 1$ باشند:

با استفاده از قضیه فوق $\lim_{x \to 2} (f (x) + g (x))$ را محاسبه کنید.

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 2} f (x) = \lim_{x \to 2} x = \lim_{x \to 2} 2 = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 2} g (x) = \lim_{x \to 2} (2 x - 1) = \lim_{x \to 2} 2 x - \lim_{x \to 2} 1 = 4 - 1 = 3 \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \lim_{x \to 2} (f (x) + g (x)) = \lim_{x \to 2} f (x) + \lim_{x \to 2} g (x) = 2 + 3 = 5 \end{array} \end{matrix}$

تساوی $\lim_{x \to 2} (f (x) + g (x)) = 5$ را روی نمودار توابع نشان دهید.

قضایای مقدماتی حد - پیمان گردلو

حد حاصل ضرب

قضیه

اگر $λ$ یک عدد ثابت و $\lim_{x \to a} f (x) = l$ باشد، آن‌گاه:

$i f \lim_{x \to a} f (x) = l \Rightarrow \lim_{x \to a} λ f (x) = λ l$

اثبات

$\begin{array}{l} \lim_{x \to a} λ f (x) = \lim_{x \to a} λ . \lim_{x \to a} f (x) \\ \Rightarrow \lim_{x \to a} λ f (x) = λ \lim_{x \to a} f (x) \\ \Rightarrow \lim_{x \to a} λ f (x) = λ l \end{array}$

قضیه

اگر دو تابع در یک نقطه حد داشته باشند، حد حاصل ضرب دو تابع در آن نقطه برابر با حاصل ضرب حدهای آنها در همان نقطه است.

$\lim_{x \to a} (f (x) \times g (x)) = \lim_{x \to a} f (x) \times \lim_{x \to a} g (x)$

اثبات

اگر $\lim_{x \to a} f (x) = l$ و $\lim_{x \to a} g (x) = m$ باشد، آن‌گاه:

$\lim_{x \to a} (f (x) \times g (x)) = \lim_{x \to a} f (x) \times \lim_{x \to a} g (x) = l \times m$

قضیه

اگر $\lim_{x \to a} f (x) = l$ باشد، آنگاه:

$\lim_{x \to a} {(f (x))}^{n} = l^{n}$

اثبات

$\begin{array}{l} \lim_{x \to a} {(f (x))}^{n} = \lim_{x \to a} (f (x) . f (x) ...... f (x)) \end{array}$

$\Rightarrow \lim_{x \to a} {(f (x))}^{n} = \lim_{x \to a} f (x) . \lim_{x \to a} f (x) . ........ \underset{x \to a}{. \lim} f (x)$

$\Rightarrow \lim_{x \to a} {(f (x))}^{n} = {(\lim_{x \to a} f (x))}^{n}$

$\Rightarrow \lim_{x \to a} {(f (x))}^{n} = l^{n}$

حد چند جمله ای

قضیه

در چند جمله ای زیر:

$p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot \cdot + a_{1} x^{1} + a_{0}$

داریم:

$\lim_{x \to a} p (x) = p (a)$

اثبات

$\begin{matrix} \lim_{x \to a} p (x) = \lim_{x \to a} (a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \lim_{x \to a} p (x) = \lim_{x \to a} (a_{n} x^{n}) + \lim_{x \to a} (a_{n - 1} x^{n - 1}) + \dots + \lim_{x \to a} (a_{1} x^{1}) + \lim_{x \to a} (a_{0}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \lim_{x \to a} p (x) = a_{n} \lim_{x \to a} (x^{n}) + a_{n - 1} \lim_{x \to a} (x^{n - 1}) + \dots + a_{1} \lim_{x \to a} (x^{1}) + a_{0} \lim_{x \to a} (1) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \lim_{x \to a} p (x) = a_{n} a^{n} + a_{n - 1} a^{n - 1} + \dots + a_{1} a^{1} + a_{0} \end{matrix}$

$\Rightarrow \lim_{x \to a} p (x) = p (a)$

تمرین

با استفاده از قانون فوق، حد توابع زیر را به‌دست می‌آوریم.

$\lim_{x \to 1} (3 x^{2} + 2 x - 7)$

$\begin{array}{l} = \lim_{x \to 1} (3 x^{2}) + \lim_{x \to 1} (2 x) - \lim_{x \to 1} 7 \end{array}$

$\begin{array}{l} = 3 \lim_{x \to 1} x^{2} + 2 \lim_{x \to 1} x - 7 \\ = 3 (1^{2}) + 2 (1) - 7 \\ = - 2 \end{array}$

$\lim_{x \to 2} (\frac{1}{8} x^{4} - x^{3} + 5 x - \frac{1}{2})$

$\begin{array}{l} = \lim_{x \to 2} (\frac{1}{8} x^{4}) - \lim_{x \to 2} (x^{3}) + \lim_{x \to 2} (5 x) - \lim_{x \to 2} (\frac{1}{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{8} \lim_{x \to 2} (x^{4}) - \lim_{x \to 2} (x^{3}) + 5 \lim_{x \to 2} (x) - \lim_{x \to 2} (\frac{1}{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{8} (2^{4}) - 2^{3} + 5 (2) - \frac{1}{2} \\ = \frac{7}{2} \end{array}$

$lim_{x \to - 2} (3 x^{2} + 5 x - 9)$

$\begin{array}{l} = lim_{x \to - 2} 3 x^{2} + lim_{x \to - 2} 5 x - lim_{x \to - 2} 9 \end{array}$

$= 3 lim_{x \to - 2} x^{2} + \underset{x \to - 2}{5 lim} x - lim_{x \to - 2} 9$

$\begin{array}{l} = 3 {(- 2)}^{2} + 5 (- 2) - 9 \end{array}$

$= - 7$

حد تقسیم

قضیه

اگر دو تابع در یک نقطه حد داشته باشند، حد تقسیم دو تابع در آن نقطه برابر با تقسیم حدهای آنها در همان نقطه است، به شرط آنکه حد تابع مخرج در آن نقطه صفر نشود، به عبارت دیگر:

$\lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{\lim_{x \to a} f (x)}{\lim_{x \to a} g (x)}; \lim_{x \to a} g (x) \neq 0$

اثبات

اگر $\lim_{x \to a} f (x) = l$ و $\lim_{x \to a} g (x) = m$ باشد، آن‌گاه:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \lim_{x \to a} f (x) . \frac{1}{g (x)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \lim_{x \to a} f (x) . \lim_{x \to a} \frac{1}{g (x)} \end{array}$

$\Rightarrow \lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \lim_{x \to a} f (x) . \frac{1}{\lim_{x \to a} g (x)}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{\lim_{x \to a} f (x)}{\lim_{x \to a} g (x)} \end{array}$

$\Rightarrow \lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{l}{m}; m \neq 0$

تمرین

با استفاده از قانون فوق، حد تابع زیر را به‌دست می‌آوریم.

$\lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{x^{2} - 4 x + 1}$

$\begin{array}{l} = \frac{\lim_{x \to 3} (2 x - 1)}{\lim_{x \to 3} (x^{2} - 4 x + 1)} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{\lim_{x \to 3} (2 x) - \lim_{x \to 3} 1}{\lim_{x \to 3} x^{2} - \lim_{x \to 3} (4 x) + \lim_{x \to 3} 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{2 \lim_{x \to 3} x - \lim_{x \to 3} 1}{\lim_{x \to 3} x^{2} - 4 \lim_{x \to 3} x + \lim_{x \to 3} 1} \\ = \frac{2 (3) - 1}{3^{2} - 4 (3) + 1} \\ = - \frac{5}{2} \end{array}$

حد ریشه

قضیه

اگر $\lim_{x \to a} f (x) = l$ باشد، آن‌گاه:

$i f \lim_{x \to a} f (x) = l \Rightarrow \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f (x)} = \sqrt[n]{l}$

اثبات

$\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f (x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f (x)} = \sqrt[n]{l}$

تمرین

با استفاده از قانون فوق، حد تابع زیر را به‌دست می‌آوریم.

$\lim_{x \to 5} \sqrt[]{2 x - 6}$

$\lim_{x \to 5} \sqrt[]{2 x - 6} = \sqrt[]{\lim_{x \to 5} (2 x - 6)} = \sqrt[]{2 (5) - 6} = \sqrt[]{4} = 2$

قضایای مقدماتی حد - پیمان گردلو

حد مثلثاتی

قضیه

برای هر عدد حقیقی $a$ داریم:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to a} \sin x = \sin a \\ \lim_{x \to a} \cos x = \cos a \\ \lim_{x \to a} \tan x = \tan a \\ \lim_{x \to a} \cot x = \cot a \end{array}$

تمرین

نمودار توابع $f (x) = \sin x$ و $g (x) = \cos x$ در زیر رسم شده است:

قضایای مقدماتی حد - پیمان گردلو

حدهای زیر را از روی نمودار فوق محاسبه کرده‌ایم:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin x = 1 \\ \lim_{x \to - π} \sin x = 0 \\ \lim_{x \to {\frac{π}{3}}^{-}} \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \lim_{x \to π^{+}} \sin x = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} \cos x = 1 \\ \lim_{x \to {\frac{π}{4}}^{-}} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to \frac{- π}{2}} \cos x = 0 \\ \lim_{x \to {\frac{π}{3}}^{+}} \cos x = \frac{1}{2} \end{array}$

تمرین

حدهای زیر را محاسبه کنید.

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2 + \sin x}$

$\begin{array}{l} = \frac{\lim_{x \to 0} \cos x}{\lim_{x \to 0} (2 + \sin x)} \\ = \frac{\lim_{x \to 0} \cos x}{\lim_{x \to 0} 2 + \lim_{x \to 0} \sin x} \\ = \frac{\cos (0)}{2 + \sin (0)} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{2 + 0} \\ = \frac{1}{2} \end{array}$

$\lim_{x \to π} \frac{\sin x \cos x}{1 + \cos^{2} x}$

$\begin{array}{l} = \frac{\lim_{x \to π} (\sin x \cos x)}{\lim_{x \to π} (1 + \cos^{2} x)} \\ = \frac{(\lim_{x \to π} \sin x) (\lim_{x \to π} \cos x)}{\lim_{x \to π} 1 + \lim_{x \to π} \cos^{2} x} \\ = \frac{(\sin π) (\cos π)}{1 + \cos^{2} (π)} \end{array}$