سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

حد و شعاع همسایگی

آخرین ویرایش: 30 دی 1402

دسته‌بندی: حد و همسایگی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف حد بر اساس شعاع همسایگی

برای روشن شدن مطلب و چگونگی رسیدن به یک تعریف ریاضی با یک تمرین شروع می‌کنیم:

تمرین

تابع با ضابطه $f (x) = \frac{(3 x + 1) (x - 1)}{(x - 1)}$ را در نظر بگیریم:

این تابع به ازای چه مقادیر حقیقی تعریف شده است؟

این تابع به ازای تمام مقادیر حقیقی $x$ به جزء $x = 1$ تعریف شده است.

چون $x \neq 1$ است پس تابع را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$\{\begin{cases} f (x) = 3 x + 1 \\ x \neq 1 \end{cases}$

اگر $x$ به سمت $1$ میل کند، مقادیر مختلف تابع $f (x)$ را بررسی کنید.

برای این منظور در جدول زیر به‌جای $x$ مقادیر نزدیک به $1$ را قرار می‌دهیم.

این مقادیر هم کوچک‌تر از یک و هم بزرگ‌تر از یک هستند، سپس مقادیر $f (x)$ را محاسبه می‌کنیم.

حد و شعاع همسایگی - پیمان گردلو

از بررسی جدول مشاهده می‌شود که هر چه $x$ از دو طرف به $1$ نزدیک و نزدیک‌تر می‌شود، $f (x)$ به عدد $4$ نزدیک‌تر است.

اگر $x$ به اندازه $\pm 0.001$ تا $1$ فاصله داشته باشد، $f (x)$ به چه اندازه از تا $4$ فاصله دارد؟ این فاصله را با قدر مطلق نشان دهید.

اگر $x$ به اندازه $\pm 0.001$ تا $1$ فاصله داشته باشد، $f (x)$ به اندازه $\pm 0.003$ تا $4$ فاصله دارد:

$\begin{array}{l} - 0.001 < x - 1 < 0.001 \Rightarrow - 0.003 < f (x) - 4 < 0.003 \end{array}$

$\begin{array}{l} 0 < |x - 1| < 0.001 \Rightarrow |f (x) - 4| < 0.003 \end{array}$

آیا عکس سوال فوق برقرار است؟

بله. می‌توانیم مقادیر $f (x)$ را به $4$ هر قدر که بخواهیم نزدیک کنیم به شرطی که $x$ را به اندازه کافی به $1$ نزدیک کرده باشیم.

یعنی $|f (x) - 4|$ می‌تواند به هر اندازه دلخواه کوچک باشد به شرطی که $|x - 1|$ به اندازه کافی کوچک باشد.

مفاهیم به اندازه کافی کوچک را با دو علامت $α$ و $β$ نمایش دهید ومطالب فوق را بازسازی کنید.

به جای آن‌که بگوئیم $|f (x) - 4|$ به اندازه دلخواه کوچک باشد، می‌نویسیم به ازاء هر عدد مثبت دلخواه $β > 0$ ، $|f (x) - 4| < β$ است.

به جای آن‌که بگوئیم $|x - 1|$ به اندازه دلخواه کوچک باشد، می‌نویسیم به ازاء هر عدد مثبت دلخواه $α > 0$ ، $|x - 1| < α$ است.

با توجه به جدول داریم:

$\begin{array}{l} i f |x - 1| < 0.1 \Rightarrow |f (x) - 4| < 0.3; \{\begin{cases} α = 0.1 \\ β = 0.3 \end{cases} \end{array}$

$\begin{matrix} i f |x - 1| < 0.01 \Rightarrow |f (x) - 4| < 0.03; \{\begin{cases} α = 0.01 \\ β = 0.03 \end{cases} \end{matrix}$

بنابراین می‌توانیم این عمل را به همین ترتیب ادامه داده و به ازای هر $β > 0$ عدد مثبت $α$ را طوری پیدا کنیم که $|f (x) - 4| < β$ باشد به شرطی که $0 < |x - 1| < α$ باشد.

حد $f (x)$ وقتی $x$ به عدد $1$ میل می‌کند، برابر $4$ است را به صورت ریاضی نشان دهید.

$\lim_{x \to 1} f (x) = 4$

در حالت کلی، منظور از $\lim_{x \to a} f (x) = L$ را بیان کنید.

فرض کنیم تابع $f (x)$ به ازای هر $x$ از یک همسایگی محذوف $a$ تعریف شده باشد.

منظور از $\lim_{x \to a} f (x) = L$ یعنی $f (x)$ را به هر اندازه دلخواه که بخواهیم، بتوانیم به $L$ نزدیک کنیم به شرطی که $x$ را به اندازه کافی به $a$ نزدیک کنیم.

$f (x)$ را به هر اندازه دلخواه که بخواهیم، بتوانیم به $L$ نزدیک کنیم یعنی به ازای هر $β > 0$ ، $|f (x) - L| < β$ است و $x$ را به اندازه کافی به $a$ نزدیک کرده باشیم یعنی وجود داشته باشد $α > 0$ به قسمی که $0 < |x - a| < α$

تعریف

فرض کنیم تابع $y = f (x)$ در یک همسایگی محذوف $a$ تعریف شده باشد، در این صورت:

$\lim_{x \to a} f (x) = L \Leftrightarrow \forall β > 0 \exists α > 0; 0 < |x - a| < α \Rightarrow |f (x) - L| < β$

هرگاه گفته شود $\lim_{x \to a} f (x) = L$ یعنی هر اندازه که بخواهیم اختلاف $f (x)$ و $L$ را از هم کم کنیم، می‌توانیم برای رسیدن به این مقصود، اختلاف $x$ و $a$ را کم کنیم که در این صورت به بیان ریاضی گفته می‌شود:

$\forall β > 0 \exists α > 0; 0 < |x - a| < α \Rightarrow |f (x) - L| < β$

لازم به توضیح است که عدد $a$ ممکن است عضو دامنه تعریف $f$ نباشد ولی حتما باید یک همسایگی محذوفه به مرکز $a$ در دامنه تابع وجود داشته باشد.

در مسائل مربوط به حد، مقصود پیدا کردن رابطه ای بین $α$ و $β$ است.

در حالت کلی نحوه نگارش حالات مختلف تعریف حد را به صورت زیر بررسی می‌کنیم:

هر تعریف حد، یک گزاره شرطی است که ضمنا مقدم آن محل تعبیر متغیر و تالی آن محل تعبیر تابع می‌باشد.

در ابتدای این گزاره شرطی دو سور $\forall$ و $\exists$ موجود است که $\forall$ با تالی و $\exists$ با مقدم تکمیل می‌شود.

برای یافتن رابطه بین $α$ و $β$ به دنبال تالی رفته، آن را ساده می‌کنیم تا به مقدم برسیم.

نکته

روش عملی برای پیداکردن و اثبات حد تابع $f (x)$ وقتی $x \to a$ :

ابتدا با توجه به وضعیت تابع، حد آن را حدس می‌زنیم، فرض کنیم حدس ما عدد $L$ باشد.

با انتخاب $β > 0$ عبارت $|f (x) - L|$ را تشکیل می‌دهیم، پس از اعمال جبری و ساده کردن، اگر بتوانیم آن را به صورت تساوی زیر بنویسیم:

$|f (x) - L| = |x - a| |g (x)|$

در این صورت کار ساده خواهد بود، اگر $|g (x)|$ برابر مقدار ثابتی باشد یا $g (x)$ تابعی کراندار باشد، آنگاه این مقدار ثابت یا کران تابع را $M$ می‌نامیم لذا:

$|f (x) - L| = \cdot \cdot \cdot = |x - a| |g (x)| \leq M |x - a| < β \Rightarrow |x - a| < \frac{β}{M}$

پس کافی است $α \leq \frac{β}{M}$ اختیار شود.

درغیر این صورت با توجه به آن که $x$ در یک همسایگی $a$ واقع است و $g (x)$ تابعی از $x$ است، محل تلاقی $g (x)$ را با محور $x$ ها پیدا می‌کنیم.

همسایگی از $a$ مانند $(a - α_{1}, a + α_{1})$ را اختیار می‌کنیم، که تابع به جزء احتمالا در $a$ در تمام نقاط آن تعریف شده و فاصله $[a - α_{1}, a + α_{1}]$ شامل نقاط تلاقی با محور $x$ ها نباشد.

سپس بیشترین مقدار $|g (x)|$ را در این فاصله مشخص می‌کنیم یعنی یک کران بالا مانند $M$ برای $|g (x)|$ پیدا می‌کنیم.

در این صورت مانند حالت قبلی خواهد بود، فقط در این حالت باید $α \leq \min \{α_{1}, \frac{β}{M}\}$ انتخاب شود.

معمولا برای سادگی محاسبات $α = 1$ اختیار می‌شود.

این تا زمانی صحیح خواهد بود که نقاط تلاقی $g (x)$ با محور $x$ ها در فاصله $(a - 1, a + 1)$ واقع نباشند، در غیر این صورت مانند آنچه در فوق بیان شد عمل می‌کنیم.

مفهوم طی کردن متغیر به سمت عدد حقیقی

وقتی بیان می‌شود که متغیر $x$ به سمت عدد حقیقی $a$ میل می‌کند یعنی $(x \to a)$ منظور این است که $(x \neq a)$ و $x$ متعلق است به یک همسایگی محذوف به مرکز $a$ و شعاع $α$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x \to a \\ x \neq a \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x \in N^{*} (a, α) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow a - α < x < a + α \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - α < x - a < α \end{array}$

$\Leftrightarrow 0 < |x - a| < α$

حالات مختلف میل کردن متغیر را در زیر بر می‌شماریم:

$i f x \to a \Leftrightarrow \forall α > 0, 0 < |x - a| < α$

حد و شعاع همسایگی - پیمان گردلو

$i f x \to a^{+} \Leftrightarrow \forall α > 0, a < x < a + α$

حد و شعاع همسایگی - پیمان گردلو

$i f x \to a^{-} \Leftrightarrow \forall α > 0, a - α < x < a$

حد و شعاع همسایگی - پیمان گردلو

$i f x \to + \infty \Leftrightarrow \forall M > 0, x > M$

حد و شعاع همسایگی - پیمان گردلو

$i f x \to - \infty \Leftrightarrow \forall M > 0, x < - M$

حد و شعاع همسایگی - پیمان گردلو

$i f x \to \infty \Leftrightarrow \forall M > 0, |x| > M$

مفهوم طی کردن تابع به سمت عدد حقیقی

وقتی بیان می‌شود که تابع $f (x)$ به سمت عدد حقیقی $L$ میل می‌کند:

یعنی $(f (x) \to L)$ منظور این است که $(f (x) \neq L)$ و $f (x)$ متعلق است به یک همسایگی محذوف به مرکز $L$ و شعاع $β$ .

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} f (x) \to L \\ f (x) \neq L \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow f (x) \in N^{*} (L, β) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow L - β < f (x) < L + β \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - β < f (x) - L < β \end{array}$

$\Leftrightarrow |f (x) - L| < β$

حالات مختلف میل کردن تابع را در زیر بر می‌شماریم:

$i f f (x) \to L \Leftrightarrow \forall β > 0, |f (x) - L| < β$

حد و شعاع همسایگی - پیمان گردلو

$i f f (x) \to + \infty \Leftrightarrow \forall N > 0, f (x) > N$

حد و شعاع همسایگی - پیمان گردلو

$i f f (x) \to - \infty \Leftrightarrow \forall N > 0, f (x) < - N$

حد و شعاع همسایگی - پیمان گردلو

$i f f (x) \to \infty \Leftrightarrow \forall N > 0, |f (x)| > N$

حد راست و شعاع همسایگی

فرض کنیم تابع با ضابطه $y = f (x)$ در یک همسایگی محذوف راست $a$ تعریف شده باشد.

می‌گوئیم $f (x)$ در نقطه $a$ حد راست برابر $L$ دارد، هرگاه:

$\forall β > 0 \exists α > 0; a < x < a + α \Rightarrow |f (x) - L| < β$

و چنین می‌نویسیم:

$\lim_{x \to a^{+}} f (x) = L$

در شکل فوق اگر متغیر $x$ در دامنه $f$ با مقدارهای بزرگ‌تر از عددی مانند $a$ به $a$ نزدیک شود و مقدارهای $f (x)$ به عددی مانند $L$ نزدیک شوند، می‌گوییم تابع در نقطه $a$ حد راست دارد و مقدار این حد $L$ است.

حد چپ و شعاع همسایگی

فرض کنیم تابع با ضابطه $y = f (x)$ در یک همسایگی محذوف چپ $a$ تعریف شده باشد.

می‌گوئیم $f (x)$ در نقطه $a$ حد چپ برابر $L$ دارد، هرگاه:

$\forall β > 0 \exists α > 0; a - α < x < a \Rightarrow |f (x) - L| < β$

و چنین می‌نویسیم:

$\lim_{x \to a^{-}} f (x) = L$

حد و شعاع همسایگی - پیمان گردلو

در شکل فوق اگر متغیر $x$ در دامنه $f$ با مقدارهای کوچک‌تر از عددی مانند $a$ به $a$ نزدیک شود و مقدارهای $f (x)$ به عددی مانند $L$ نزدیک شوند.

می‌گوییم تابع در نقطه $a$ حد چپ دارد و مقدار این حد $L$ است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

حد و شعاع همسایگی

18,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

حد و همسایگی

حد و شعاع همسایگی

تعریف حد بر اساس شعاع همسایگی

تعریف

مفهوم طی کردن متغیر به سمت عدد حقیقی

مفهوم طی کردن تابع به سمت عدد حقیقی

حد راست و شعاع همسایگی

حد چپ و شعاع همسایگی

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟