سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

مقدمه‌ ای از مفهوم حد

آخرین ویرایش: 24 دی 1402

دسته‌بندی: حد و همسایگی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

در ابتدا سعی می‌کنیم مفهوم حد را به طور شهودی تا اندازه‌ ای روشن کنیم و سپس تعریف دقیق آن را بیان می‌کنیم.

تابع با ضابطه زیر را در نظر بگیرید:

$f (x) = x + 1$

با توجه به جدول زیر:

اگر مقدارهای $x$ را به عدد $1$ نزدیک کنیم یعنی $(x \to 1)$ ، مقدارهای $f (x)$ به عدد $2$ نزدیک می‌شوند یعنی $(f (x) \to 2)$ .

با رسم نمودار تابع فوق، این مطلب را نمایش می‌دهیم:

از روی شکل فوق مشخص است که وقتی مقدارهای $x$ چه از سمت راست و چه از سمت چپ به عدد $1$ نزدیک می‌شوند، مقدارهای $f (x)$ به عدد $2$ نزدیک می‌شوند.

در شکل زیر تابع در $x = 1$ تعریف نشده است:

وقتی مقدارهای $x$ چه از سمت راست و چه از سمت چپ به عدد $1$ نزدیک می‌شوند، این بدان معنی است که $x \neq 1$ است.

همان‌طور که مشاهده می‌شود، تابع اصلا در نقطه مورد نظر تعریف نشده است، اما با این حال تابع $f (x)$ به عدد $2$ نزدیک می‌شود.

تمرین

تابع با ضابطه $f (x) = x^{2} + 2$ را در نظر بگیرید.

نمودار تابع را رسم کنید.

حدس بزنید که اگر مقدارهای $x$ را به عدد $1$ نزدیک کنیم، مقدارهای $f (x)$ به چه عددی نزدیک می‌شوند؟

اگر بخواهیم رفتار این تابع را وقتی $x$ به عدد $1$ نزدیک می‌شود یعنی $(x \to 1)$ بررسی کنیم، به تجربه مشاهده می‌کنیم که $f (x)$ به عدد $3$ نزدیک می‌شود.

سوال مهمی که مطرح می‌شود آن است که آیا مجاز هستیم با قرار دادن $x = 1$ در تابع فوق، به عدد $3$ برسیم؟

مسلما جواب منفی است، زیرا $x$ صرفا به عدد $1$ نزدیک می‌شود اما هرگز برابر $1$ نخواهد بود، حتی ممکن است تابعی اصلا در نقطه مورد نظر تعریف نشده باشد.

تمرین

در شکل زیر، شعاع دایره ها، برابر واحد است:

مفهوم حد - پیمان گردلو

با افزایش اضلاع چند ضلعی های محاط در دایره، مساحت چند ضلعی به مساحت کدام شکل نزدیک می‌شود؟

با افزایش اضلاع چند ضلعی های محاط در دایره، مساحت چند ضلعی به مساحت دایره نزدیک می‌شود و مساحت دایره ای به شعاع واحد برابر است با:

$A = π r^{2} = π {(1)}^{2} = π$

اگر مقدار تقریبی عدد $π$ تا پنج رقم اعشار برابر $π = 3 / 14159$ در نظر بگیریم و مساحت $n$ ضلعی منتظم واقع در درون دایره را با $A_{n}$ نشان دهیم، در جدولی مقادیر $A_{n}$ را به ازای برخی $n$ نشان دهید.

مفهوم حد - پیمان گردلو

با توجه به این جدول، هر چه تعداد اضلاع چند ضلعی‌ های داخل دایره زیاد می‌شود، جملات دنباله $A_{n}$ مساحت درون دایره به عدد $π$ که برابر با مساحت دایره است، نزدیک می‌شوند.

مساحت چند ضلعی های منتظم درون دایره محاطی را به هر اندازه که بخواهیم، می‌توانیم به مساحت دایره نزدیک کنیم، به شرط آن‌که تعداد اضلاع را به اندازه کافی زیاد کنیم.

تمرین

مثلث متساوی الاضلاع به طول ضلع $2$ را در نظر بگیرید.

مفهوم حد - پیمان گردلو

اندازه محیط این مثلث چقدر است؟

$P = 2 + 2 + 2 = 6$

وسط اضلاع را به هم وصل کنید تا مثلث جدیدی ایجاد شود، محیط مثلث را مجددا بدست آورید.

مفهوم حد - پیمان گردلو

اندازه ضلع مثلث جدید را $x_{1}$ و اندازه محیط آن را $P_{1}$ می‌نامیم:

$\{\begin{cases} x_{1} = 1 \\ P_{1} = x_{1} + x_{1} + x_{1} = 3 \end{cases}$

اگر عمل وصل کردن وسط ضلع های مثلث های جدید را ادامه دهیم و در مرحله $n$ ام طول ضلع مثلث به وجود آمده را با $x_{n}$ و محیط آن را با $P_{n}$ نمایش دهیم، با توجه به شکل های زیر، جدول داده شده را تکمیل کنید.

اندازه اضلاع مثلث ها و اندازه محیط این مثلث ها به چه اعدادی نزدیک می‌شوند؟

اندازه اضلاع مثلث ها، به عدد صفر نزدیک می‌شوند و اندازه محیط این مثلث ها به عدد صفر نزدیک می‌شوند.

مفهوم حد

هرگاه گفته شود:

$\lim_{x \to a} f (x) = L$

بخوانیم حد تابع $f (x)$ وقتی $x$ به سمت $a$ میل می‌کند، برابر $L$ است.

یعنی هر اندازه که بخواهیم اختلاف $f (x)$ و $L$ را از هم کم کنیم، می‌توانیم برای رسیدن به این مقصود اختلاف $x$ و $a$ را کم کنیم.

تذکر

1- جمله اگر $x$ به $a$ میل می‌کند، $f (x)$ به $L$ میل می‌کند به این معنی است که:

$L$ حد $f (x)$ در $a$ است و معنی دیگری ندارد.‌

در واقع نباید این جمله را به دو جمله اگر $x$ به $a$ میل ‌کند، $f (x)$ به $L$ میل می‌کند، تجزیه کرد.

باید نماد $\lim_{x \to a} f (x)$ را یک‌جا و توام ببینیم، نه این‌که اول $x$ به سمت $a$ میل می‌کند و سپس به تبعیت از آن $f (x)$ به سمت $L$ میل می‌کند.

2- باید توجه داشته باشیم که منظور از حد تابع $f$ حد $f (x)$ است نه حد $f$ .

چنان‌چه در تعریف، $f$ خود تابع است که همان سه تائی (برد، دامنه، ضابطه) می‌باشد، اما $f (x)$ معادله یا ضابطه تابع است.

در تعریف حد، آن‌چه را که تعریف می‌کنیم حد $f (x)$ است نه حد $f$ .

مفهوم حدگیری

تابع با ضابطه زیر را در نظر بگیرید:

$f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

رفتار تابع را در اطراف نقطه $x = 2$ بررسی می‌کنیم.

تابع به‌ازای هر عدد حقیقی $x$ به جزء $x = 2$ تعریف شده است.

به‌ازای $x \neq 2$ ضابطه تابع را می‌توان ساده کرد و به صورت زیر نوشت:

$f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

$\Rightarrow f (x) = \frac{(x - 2) (x + 2)}{x - 2}; x \neq 2$

$\Rightarrow f (x) = x + 2; x \neq 2$

وقتی $x$ به‌سمت عدد $2$ میل می‌کند، رفتار $f (x)$ را بررسی می‌کنیم:

مقادیر تابع را به‌ازای برخی مقادیر کوچک‌ تر از $2$ که به‌تدریج از سمت چپ به عدد $2$ نزدیک می‌شوند و نیز برخی مقادیر بزرگ‌ تر از $2$ که به تدریج از سمت راست به عدد $2$ نزدیک می‌شوند را محاسبه کرده‌ایم.

مشاهده می‌کنیم که با نزدیک شدن $x$ به عدد $2$ (از راست و از چپ) مقادیر $f (x)$ به عدد $4$ نزدیک می‌شوند.

درستی این مطلب را از روی نمودار تابع در زیر می‌توان دید:

نمودار تابع $f$ ، خط راست $y = x + 2$ است که یک نقطه از آن، یعنی نقطه $(2, 4)$ حذف شده است.

با وجود این‌که مقدار تابع در نقطه $2$ تعریف نشده است ولی با توجه به نمودار تابع، وقتی $x$ را با مقادیر بزرگ‌ تر و یا کوچک‌ تر از $2$ (اما مخالف $2$ ) به عدد $2$ نزدیک می‌کنیم، مقادیر تابع $f$ به عدد $4$ نزدیک می‌شوند.

به‌عبارت دیگر وقتی $x \to 2$ (یعنی $x$ به‌سمت $2$ میل کند)، مقادیر تابع $f$ به عدد $4$ نزدیک می‌شوند در این صورت می‌گوییم حد تابع $f$ وقتی $x$ به $2$ نزدیک می‌شود، برابر $4$ است و می‌نویسیم:

$\lim_{x \to 2} f (x) = 4$

به این عمل، حدگیری می‌گوییم.

نکته

وقتی متغیر $x$ به $a$ نزدیک می‌شود، مقادیر تابع $f$ نیز به یک عدد مشخص، نزدیک می‌شود که عمل حد گیری از تابع $f$ در نقطه $a$ می‌گوییم.

تمرین

با رسم جدول و مفهوم حدگیری، حد توابع زیر را در همسایگی نقطه داده شده به‌دست آورید.

$\lim_{x \to 1} (- 2 x + 5) = ?$

$f (x) = - 2 x + 5$

جدول‌ بالا نشان می‌دهد که وقتی $x$ چه از راست یا چپ به سمت عدد $1$ نزدیک می‌شود، تابع‌ $f (x)$ به عدد $3$ نزدیک می‌شود.

بر اساس مفهوم حدگیری، داریم:

$\lim_{x \to 1} (- 2 x + 5) = 3$

$\lim_{x \to 0} (- x^{2} + 4) = ?$

$h (x) = - x^{2} + 4$

جدول‌ بالا نشان می‌دهد که وقتی $x$ چه از راست یا چپ به سمت عدد $0$ نزدیک می‌شود، تابع‌ $f (x)$ به عدد $4$ نزدیک می‌شود.

بر اساس مفهوم حدگیری، داریم:

$\lim_{x \to 0} (- x^{2} + 4) = 4$

$\lim_{x \to 1} (x^{2} - 2 x) = ?$

$g (x) = x^{2} - 2 x$

جدول‌ بالا نشان می‌دهد که وقتی $x$ چه از راست یا چپ به سمت عدد $1$ نزدیک می‌شود، تابع‌ $f (x)$ به عدد $- 1$ نزدیک می‌شود.

بر اساس مفهوم حدگیری، داریم:

$\lim_{x \to 1} (x^{2} - 2 x) = - 1$

$\lim_{x \to 0} (x^{2} + x + 3) = ?$

$f (x) = x^{2} + x + 3$

جدول‌ بالا نشان می‌دهد که وقتی $x$ چه از راست یا چپ به سمت عدد $0$ نزدیک می‌شود، تابع‌ $f (x)$ به عدد $3$ نزدیک می‌شود.

بر اساس مفهوم حدگیری، داریم:

$\lim_{x \to 0} (x^{2} + x + 3) = 3$

$\lim_{x \to - 2} (x^{2} + 3 x + 4) = ?$

$f (x) = x^{2} + 3 x + 4$

جدول‌ بالا نشان می‌دهد که وقتی $x$ چه از راست یا چپ به سمت عدد $- 2$ نزدیک می‌شود، تابع‌ $f (x)$ به عدد $2$ نزدیک می‌شود.

بر اساس مفهوم حدگیری، داریم:

$\lim_{x \to - 2} (x^{2} + 3 x + 4) = 2$

$\lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - x - 2}{x + 1} = ?$

$f (x) = \frac{x^{2} - x - 2}{x + 1}$

جدول‌ بالا نشان می‌دهد که وقتی $x$ چه از راست یا چپ به سمت عدد $- 1$ نزدیک می‌شود، تابع‌ $f (x)$ به عدد $- 3$ نزدیک می‌شود.

بر اساس مفهوم حدگیری، داریم:

$\lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - x - 2}{x + 1} = - 3$

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3} = ?$

$f (x) = \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3}$

جدول‌ بالا نشان می‌دهد که وقتی $x$ چه از راست یا چپ به سمت عدد $3$ نزدیک می‌شود، تابع‌ $f (x)$ به عدد $0.25$ نزدیک می‌شود.

بر اساس مفهوم حدگیری، داریم:

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3} = 0.25$

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = ?$

$f (x) = \frac{1}{x}$

جدول‌ بالا نشان می‌دهد که وقتی $x$ چه از راست یا چپ به سمت عدد $0$ نزدیک می‌شود، تابع‌ $f (x)$ به هیچ عددی نزدیک نمی‌شود.

بر اساس مفهوم حدگیری، داریم:

تابع $\frac{1}{x}$ در $0$ حد ندارد.

تمرین

توابع زیر را رسم کنید و حد توابع را در نقاط داده شده را مشخص کنید.

$f (x) = - x + 2; x \neq 1$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} (- x + 2) = 1 \end{array}$

$f (x) = \{\begin{cases} - x + 2; x \neq 1 \\ 2; x = 1 \end{cases}$

$\lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} (- x + 2) = 1$

$13) f (x) = \{\begin{cases} - x^{2} + x + 2; x \neq 1 \\ 1; x = 1 \end{cases}$

$\lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} (- x^{2} + x + 2) = 2$

$g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

$\begin{array}{l} g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1} \\ \Rightarrow g (x) = \frac{(x - 1) (x + 1)}{(x - 1)}; x \neq 1 \\ \Rightarrow g (x) = x + 1; x \neq 1 \end{array}$

وقتی $x$ به $1$ نزدیک می‌شود، $g (x)$ به عدد $2$ نزدیک می‌شود.

$\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = 2$

$k (x) = \{\begin{cases} x + 1; x \neq 1 \\ 5; x = 1 \end{cases}$

وقتی $x$ به $1$ نزدیک می‌شود، $k (x)$ به عدد $2$ نزدیک می‌شود.

$\lim_{x \to 1} k (x) = 2$

تمرین

نمودار توابع زیر را در نظر بگیرید:

حد این توابع را در همسایگی عدد $3$ به‌دست آورید.

$\lim_{x \to 3} f (x) = \lim_{x \to 3} g (x) \underset{x \to 3}{= \lim} h (x) = 6$

توجه کنید که:

دامنه‌ توابع $f$ و $h$ اعداد حقیقی هستند.

دامنه تابع $g$ عبارت است از $R - \{3\}$ .

اما حد سه تابع در همسایگی نقطه $3$ برابر با عدد $6$ است.

تمرین

نمودار توابع زیر را در نظر بگیرید:

حد این توابع را در همسایگی عدد $5$ به‌دست آورید.

$\lim_{x \to 5} f (x) = \lim_{x \to 5} g (x) = \lim_{x \to 5} h (x) = 2$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

مقدمه‌ای از مفهوم حد

4,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

حد و همسایگی

مقدمه‌ ای از مفهوم حد

مقدمه

مفهوم حد

مفهوم حدگیری

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟