سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

دایره مثلثاتی

آخرین ویرایش: 18 آبان 1403

دسته‌بندی: مثلثات

امتیاز:

نظر کاربران: 2 تعداد نظرهای ثبت شده

تعریف دایره مثلثاتی

در صفحه مختصات ملاحظه شد که اگر $P$ نقطه ای غیر از مبدا باشد، می‌توان نیم‌خط به راس مبدا مختصات را که از $P$ می‌گذرد، اختیار کرده و برای زاویه‌ای که بین شعاع حامل نقطه $P$ و جهت مثبت محور طول‌ها در جهت مثلثاتی ساخته می‌شود، نسبت‌های مثلثاتی را نوشت.

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} \sin θ = \frac{P H}{O P} \Rightarrow \sin θ = \frac{\bar{O H^{'}}}{O P} \Rightarrow \sin θ = \frac{y}{r} \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos θ = \frac{\bar{O H}}{O P} \Rightarrow \cos θ = \frac{x}{r} \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan θ = \frac{P H}{O H} \Rightarrow \tan θ = \frac{\bar{O H^{'}}}{O H} \Rightarrow \tan θ = \frac{y}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \cot θ = \frac{O H}{P H} \Rightarrow \cot θ = \frac{O H}{\bar{O H^{'}}} \Rightarrow \cot θ = \frac{x}{y} \end{array}$

$r = O P = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

مهم‌ترین نکته‌ای که با آن برخوردیم این بود که فاصله نقطه $P$ بر روی این نیم‌خط از نقطه $O$ در محاسبات مهم نبود.

به این دلیل می‌توانیم $P$ را طوری بر این نیم‌خط اختیار کنیم که داشته باشیم:

$r = O P = 1$

از دوران کامل $O P$ حول $O$ دایره‌ای به شعاع واحد به‌دست می‌آید که آن را دایره مثلثاتی می‌نامند.

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

بر روی این دایره، نقطه $A$ را مبدا شروع کمان‌ها در نظر می‌گیریم.

اگر کمانی از نقطه $A$ و در خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت بر محیط دایره طی شود، زاویه مرکزی مقابل به آن کمان که با خود کمان برابر است، مثبت و اگر کمان از نقطه $A$ و در جهت حرکت عقربه‌های ساعت بر محیط دایره طی شود، زاویه مرکزی مقابل به آن منفی در نظر گرفته می‌شود.

در شکل $θ$ عددی مثبت و $α$ عددی منفی می‌باشد. در شکل فوق:

$B^{'} (0, - 1), A^{'} (- 1, 0), B (0, 1), A (1, 0)$ است.
اگر انتهای کمان مقابل به $θ$ در نقطه $A$ شروع حرکت باشد، اندازه $θ$ برابر $0^{\circ}$ یا صفر رادیان است.
اگر انتهای کمان مقابل به $θ$ در نقطه $B$ باشد، اندازه $θ$ برابر $90^{\circ}$ یا $\frac{π}{2}$ رادیان است.
اگر انتهای کمان مقابل به $θ$ در نقطه $A^{'}$ باشد، اندازه $θ$ برابر $180^{\circ}$ یا $π$ رادیان است.
اگر انتهای کمان مقابل به $θ$ در نقطه $B'$ باشد، اندازه $θ$ برابر $270^{\circ}$ یا $\frac{3 π}{2}$ رادیان است.
اگر انتهای کمان مقابل به $θ$ یک دوران کامل انجام داده و به نقطه $A$ رسیده باشد، اندازه $θ$ برابر $360^{\circ}$ یا $2 π$ رادیان است.

در اشکال زیر تعدادی از زوایای مثبت و منفی در دایره مثلثاتی را مشاهده می‌کنید:

تمرین

در دوایر مثلثاتی زیر، زوایای مختلف در چه نواحی قرار گرفته است؟

الف) زاویه $270^{\circ}$ در ناحیه مشخصی قرار ندارد و بین دو ناحیه سوم و چهارم قرار دارد.

ب) زاویه $225^{\circ}$ در ناحیه سوم قرار دارد.

پ) زاویه $- 125^{\circ}$ در ناحیه‌ سوم قرار دارد.

ت) زاویه $185^{\circ}$ در ناحیه سوم قرار دارد.‌

تمرین

دایره ای به شعاع واحد رسم می‌کنیم.

روی این دایره انتهای کمان های داده شده را در موقعیت استاندارد مشخص کنید.

$\begin{array}{l} \frac{3 π}{2} r a d \end{array}$

$\frac{3 π}{2} r a d = \frac{3 π}{2} (1 r a d) = \frac{3 π}{2} (\frac{180 °}{π}) = 270 °$

پیمان گردلو

$\begin{array}{l} 3 r a d \end{array}$

$3 r a d = 3 (1 r a d) = 3 \times \frac{180 °}{π} ≃ \frac{540 °}{3 / 14} ≃ 171 / 9$

پیمان گردلو

$\begin{array}{l} - 3 r a d \end{array}$

$- 3 r a d = (- 3) (1 r a d) = (- 3) \times \frac{180 °}{π} = \frac{- 540 °}{π} ≃ - 171 / 974 °$

پیمان گردلو

$- 3 π r a d$

$- 3 π r a d = - 3 π (1 r a d) = - 3 π \times \frac{180 °}{π} = - 540 °$

پیمان گردلو

$- 540 ° = [- 360 ° + (- 180 °)]$

$- 540^{\circ}$ معادل یک دور کامل و یک نیم ‌دور می‌باشد.

$405 °$

$405 ° = 360 ° + 45 °$

متحرکی از نقطه‌ $A$ شروع به حرکت می‌کند.

برای پیمایش $405 °$ ، بعد از پیمایش $360 °$ مجددا به نقطه‌ $A$ می‌رسد.

سپس به اندازه‌ $45 °$ در خلاف جهت عقربه‌ های ساعت به حرکت خود ادامه می‌دهد تا در نقطه‌ $B$ متوقف شود.

$- 120 °$

$- 120 ° = (- 90 °) + (- 30 °)$

متحرکی از نقطه‌ $A$ شروع به حرکت می‌کند.

برای پیمایش $- 120 °$ ، بعد از پیمایش $(- 90 °)$ در جهت حرکت عقربه های ساعت، به نقطه $B$ می‌رسد.

سپس به حرکت خود به اندازه‌ $(- 30 °)$ در جهت حرکت عقربه‌ های ساعت به حرکت خود ادامه می‌دهد تا در نقطه‌ $C$ متوقف شود.

تمرین

ستاره‌ای حول محور عبور کننده مرکز زمین روی مسیر دایره ای شکل به شعاع یک واحد به طور ظاهری می‌گردد.

دوران یافته این ستاره از نقطه $(1, 0)$ را تحت زوایای زیر در موقعیت استاندارد مشخص کنید.

$360 °, 270 °, 180 °, 30 °$

تمرین

فرض ‌کنیم نقطه $A (1, 0)$ به اندازه $θ$ حول مبدا مختصات دوران کند.

نقاط حاصل از دوران به‌ازای مقادیر داده شده $θ$ را به‌دست آورید.

$- 810 °$

$- 810 ° = - (2 \times 360 ° + 90 °) = - (4 π + \frac{π}{2})$

اگر نقطه $A$ به اندازه $- 810 °$ حول مبدا مختصات دوران کند، به نقطه $B (0, - 1)$ می‌رسد.

$- 13 π$

$- 13 π = - (12 π + π)$

اگر نقطه $A$ به اندازه $- 13 π$ حول مبدا مختصات دوران کند، به نقطه $B (- 1, 0)$ می‌رسد.

$\frac{11 π}{2}$

$\frac{11 π}{2} = \frac{(10 + 1) π}{2} = \frac{10 π}{2} + \frac{π}{2} = 5 π + \frac{π}{2}$

اگر نقطه $A$ به اندازه $\frac{11 π}{2}$ حول مبدا مختصات دوران کند، به نقطه $B (0, - 1)$ می‌رسد.

تمرین

هریک از عبارت‌های زیر را در موقعیت استاندارد به درجه بیان کنید.

$\frac{1}{3}$ دور کامل در خلاف جهت حرکت عقربه های ساعت.

$\frac{1}{3} (360 °) = 120 °$

$\frac{3}{4}$ دور کامل در جهت حرکت عقربه های ساعت.

$\frac{3}{4} (360 °) = 270 °$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

طول کمان

در دایره‌ای به شعاع $r$ طول کمانی که اندازه زاویه مرکزی آن $α$ رادیان باشد به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

$\overset{⏜}{A B} = α . r$

در واقع طول یک کمان نسبت مستقیم با شعاع دایره و زاویه مرکزی روبرو بر حسب $(r a d)$ دارد.

با توجه به $\overset{⏜}{A B} = α . r$ محیط یک دایره به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$= 2 π r$ محیط دایره

نکته

در دایره، طول کمان روبرو به زاویه $1 r a d$ مساوی شعاع دایره است و هر $1 r a d$ تقریبا مساوی $57^{\circ}$ است.

$\frac{R}{π} = \frac{D}{180}$

$\Rightarrow \frac{1}{π} = \frac{D}{180}$

$\Rightarrow D = \frac{180}{π}$

$\Rightarrow D = \frac{180}{3 / 14}$

$\Rightarrow D ≃ 57 / 32$

تمرین

در دايره ای به‌شعاع $5$ طول کمان روبرو به چه زاويه ای $\frac{π}{2}$ است.

$\begin{array}{l} \overset{⏜}{A B} = \frac{π}{2}, R = 5, α = ? \\ \overset{⏜}{A B} = R α \\ \Rightarrow \frac{π}{2} = 5 α \\ \Rightarrow α = \frac{π}{10} \\ \Rightarrow α = 18^{\circ} \end{array}$

تمرین

در شکل زیر، یک تسمه دو قرقره به شعاع های $10$ و $2 / 5$ سانتی متر را به‌هم وصل کرده است.

پیمان گردلو

بررسی کنید که وقتی قرقره بزرگ‌تر $\frac{π}{2}$ رادیان می‌چرخد یعنی نقطه $P$ در موقعیت $P^{'}$ قرار می‌گیرد، قرقره کوچک‌تر چند رادیان میچرخد؟

ابتدا مسافتی را که نقطه $P$ بر روی محیط قرقره بزرگ‌ترطی می‌کند، به‌دست می‌آوریم:

$\begin{array}{l} θ = \frac{\overset{⏜}{P P^{'}}}{r} \\ \Rightarrow \overset{⏜}{P P^{'}} = r . θ \\ \Rightarrow \overset{⏜}{P P^{'}} = 10 \times \frac{π}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overset{⏜}{P P^{'}} = 5 π; π r a d ≃ 3 / 14 r a d \\ \Rightarrow \overset{⏜}{P P^{'}} ≃ 5 \times 3 / 14 \\ \Rightarrow \overset{⏜}{P P^{'}} ≃ 15 / 7 c m \end{array}$

چون هر دو قرقره با یک تسمه به‌هم متصل هستند، پس قرقره کوچک‌تر نیز $5 π c m$ حرکت می‌کند. برای این قرقره داریم:

$θ = \frac{l}{r} = \frac{5 π}{2 / 5} = 2 π r a d$

بنابراین وقتی قرقره بزرگ‌تر ربع دور می‌چرخد، قرقره کوچک‌تر یک دور کامل می‌چرخد و نقطه $Q$ به مکان خود باز می‌گردد.

تمرین

طول برف پاک کن عقب اتومبیلی $24$ سانتی متر است.

فرض کنید برف پاک کن، کمانی به اندازه $120 °$ را طی می‌کند.

اندازه کمان را بر حسب رادیان به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} \frac{D}{180^{\circ}} = \frac{R}{π}; D = 120^{\circ} \\ \frac{120^{\circ}}{180^{\circ}} = \frac{R}{π} \\ \Rightarrow R = \frac{2 π}{3} r a d \end{array}$

طول کمان طی شده توسط نوک برف پاک‌کن چند سانتی متر است؟

$\begin{array}{l} L = r θ \\ \Rightarrow L = 24 \times \frac{2 π}{3} \\ \Rightarrow L = 16 π \\ \Rightarrow L = 50 / 24 c m \end{array}$

تمرین

شکل فضایی و نیز شکل گسترده یک مخروط در زیر داده شده است.

شعاع قاعده مخروط $6 c m$ و ارتفاع آن $8 c m$ می‌باشد.

اندازه زاویه قطاع حاصل از شکل گسترده این مخروط چند رادیان است؟

$\begin{array}{l} d^{2} = h^{2} + r^{2} \\ \Rightarrow d^{2} = 64 + 36 \\ \Rightarrow d^{2} = 100 \\ \Rightarrow d = 10 \end{array}$

طول کمان، همان محیط قاعده‌ مخروط است.

$\begin{array}{l} L = 2 π r = 2 π \times 6 = 12 π \\ θ = \frac{L}{d} = \frac{12 π}{10} = \frac{6}{5} π r a d \end{array}$

تمرین

فاصله دو نقطه $A, B$ از کره زمین، که بر روی یک نصف‌النهار قرار دارند، مطابق شکل زیر برابر طول کمانی از دایره گذرنده از آن دو نقطه است.

با داشتن اندازه شعاع کره زمین فاصله بین دو نقطه داده شده را بیابید.

ابتدا $36 °$ را به رادیان تبدیل می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \frac{D}{180} = \frac{R}{π} \\ \Rightarrow \frac{36}{180} = \frac{R}{π} \\ \Rightarrow R = \frac{36 π}{180} \\ \Rightarrow R = \frac{π}{5} \end{array}$

$\overset{⏜}{A B} = r θ = 6320 \times \frac{π}{5} = 3968.96 ≃ 3969 k m$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

مساحت قطاع دایره

قطاع، قسمتی از دایره است که بین دو شعاع دایره محصور است.

اگر مساحت دایره‌ای را به $360$ قسمت تقسیم کنیم، مساحت هر تیکه $\frac{π r^{2}}{360}$ می‌باشد، در واقع $π r^{2}$ مساحت دایره است.

برای یافتن مساحت قطاع داریم:

$S = \frac{π r^{2}}{360} \times α^{\circ}$

$\Rightarrow S = \frac{{πr}^{2}}{360} \times \frac{180}{π} α (r a d)$

$\Rightarrow S = \frac{α r^{2}}{2} (r a d)$

نکته

در دایره‌ای به شعاع $r$ ، مساحت قطاع $α$ رادیان برابر با:

$S = \frac{1}{2} r^{2} α$

مساحت قطعه دایره

قطعه قسمتی از دایره است که بین وتر و کمان مربوط به وتر محصور شده باشد.

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

اگر $S_{1}$ قطاع دایره و $S_{2}$ مساحت مثلث باشد، $S$ مساحت قطعه، به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\begin{array}{l} S = S_{1} - S_{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{1}{2} r^{2} α - \frac{1}{2} O C \cdot O D \cdot \sin α \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{1}{2} r^{2} α - \frac{1}{2} r \cdot r \cdot \sin α \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{1}{2} r^{2} α - \frac{1}{2} r^{2} \sin α \end{array}$

$\Rightarrow S = \frac{1}{2} r^{2} (α - \sin α)$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید.

در شکل فوق مساحت قسمت هاشور خورده برابر چيست؟

زاويه روبرو به هر قطعه به‌صورت زیر محاسبه می‌شود.

$α = 120^{\circ} = \frac{2 π}{3} (r a d)$

پس مساحت قسمت هاشور خورده برابر است با:

$\begin{array}{l} S = 3 [\frac{1}{2} R^{2} (α - \sin α)] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = 3 [\frac{1}{2} R^{2} (\frac{2 π}{3} - \sin \frac{2 π}{3})] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = 3 [\frac{1}{2} R^{2} (\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2})] \\ \Rightarrow S = R^{2} (π - \frac{3 \sqrt{3}}{4}) \end{array}$

یادآوری می‌کنیم که:

$\sin \frac{2 π}{3} = \sin (π - \frac{π}{3}) = \sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نسبت‌ های مثلثاتی یک زاویه در دایره مثلثاتی

دایره مثلثاتی را که مرکز آن مبدا مختصات و $A$ نقطه شروع کمان‌ها می‌باشد را در نظر بگیرید.

برای هر یک از نسبت‌های مثلثاتی، محوری اختصاص داده شده است.

محور عمودی $(y^{'} O y)$ محور سینوس‌ها است.
محور افقی $(x^{'} O x)$ محور کسینوس‌ها است.
محور $t^{'} A t$ که در نقطه $A$ بر دایره مماس است، محور تانژانت‌ها است.
محور $c^{'} B c$ که در نقطه $B$ بر دایره مماس است، محور کتانژانت‌ها است.

در اشکال زیر نسبت‌های مثلثاتی زوایا در حالات مختلف نشان داده شده است، دایره را دایره مثلثاتی در نظر گرفته‌ایم:

ناحیه اول در دایره مثلثاتی

نقطه $M$ انتهای کمان مقابل به $θ$ در ناحیه اول است:

$\begin{array}{l} s i n θ = \bar{O F} > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} c o s θ = \bar{O H} > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} t a n θ = \bar{A N} > 0 \end{array}$

$c o t θ = \bar{B P} > 0$

فرض کنید $M$ نقطه ای دل‌خواه بر محیط دایره به غیر از نقاط $B^{'}, A^{'}, B, A$ باشد و $θ$ زاویه‌ای باشد که شعاع $O M$ با $O A$ در جهت مثلثاتی می‌سازد.

شعاع $O M$ را از طرف $M$ امتداد داده‌ایم تا محور تانژانت ها و کتانژانت ها را به‌ترتیب در نقاط $N$ و $P$ قطع کند.

از $M$ عمودهای $M F$ و $M H$ را به‌ترتیب بر محورهای سینوس و کسینوس فرود می‌آوریم.

ملاحظه می‌شود که:

$\begin{array}{l} \sin θ = \bar{O F} \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos θ = \bar{O H} \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan θ = \bar{A N} \end{array}$

$\cot θ = \bar{B P}$

تساوی های بالا نشان می‌دهند که اگر $M$ انتهای کمان مقابل به زاویه $θ$ بوده و بخواهیم نسبت‌های مثلثاتی $θ$ را بیابیم:

برای یافتن $\sin θ$ از $M$ بر محور سینوس‌ها که محور عمودی است، عمود $M F$ را رسم کرده و اندازه جبری پاره خط $O F$ را به عنوان $\sin θ$ می‌پذیریم.
برای یافتن $\cos θ$ از $M$ بر محور کسینوس‌ها که محور افقی است، عمود $M H$ را رسم کرده و اندازه جبری پاره خط $O H$ را به عنوان $\cos θ$ می‌پذیریم.
برای یافتن $\tan θ$ پاره خط $O M$ را از یک طرف چنان امتداد می‌دهیم که محور تانژانت‌ها یعنی محور $t^{'} A t$ را در نقطه ای مانند $N$ قطع کند و اندازه جبری پاره خط $A N$ را به عنوان $\tan θ$ می‌پذیریم.
برای یافتن $c o t θ$ پاره خط $O M$ را از یک طرف چنان امتداد می‌دهیم که محور کتانژانت‌ها یعنی محور $c^{'} B c$ را در نقطه‌ای مانند $P$ قطع کند و اندازه جبری پاره خط $B P$ را به عنوان $c o t θ$ می‌پذیریم.

ناحیه دوم در دایره مثلثاتی

نقطه $M$ انتهای کمان مقابل به $θ$ در ناحیه دوم است:

$\begin{array}{l} s i n θ = \bar{O F} > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} c o s θ = \bar{O H} < 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} t a n θ = \bar{A N} < 0 \end{array}$

$c o t θ = \bar{B P} < 0$

ناحیه سوم در دایره مثلثاتی

نقطه $M$ انتهای کمان مقابل به $θ$ در ناحیه سوم است:

$\begin{array}{l} s i n θ = \bar{O F} < 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} c o s θ = \bar{O H} < 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} t a n θ = \bar{A N} > 0 \end{array}$

$c o t θ = \bar{B P} > 0$

ناحیه چهارم در دایره مثلثاتی

نقطه $M$ انتهای کمان مقابل به $θ$ در ناحیه چهارم است:

$\begin{array}{l} s i n θ = \bar{O F} < 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} c o s θ = \bar{O H} > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} t a n θ = \bar{A N} < 0 \end{array}$

$c o t θ = \bar{B P} < 0$

تمرین

با استفاده از دایره مثلثاتی همه مقادیری از $θ$ بین $0$ و $2 π$ را بیاید به‌طوری که روابط زیر برقرار باشد.

$\begin{array}{l} \sin θ = \frac{1}{2} \end{array}$

$\tan θ = - \sqrt{3}$

$\cos θ = 0$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

1- اگر $M$ نقطه‌ای واقع بر محیط دایره مثلثاتی بوده و $θ$ زاویه مقابل به کمان $A M$ در جهت مثلثاتی بر حسب رادیان باشد، ممکن است متحرک از نقطه شروع حرکت یعنی $A$ به اندازه یک دوران کامل طی

کرده و سپس به نقطه $M$ برسد، در این حالت مقدار زاویه $2 π + θ$ است.

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

ممکن است متحرک از نقطه شروع حرکت به اندازه دو دوران کامل طی کرده و سپس به نقطه $M$ برسد، در این حالت مقدار زاویه $2 \times 2 π + θ = 4 π + θ$ است و .... در واقع زاویه به ازای $k \in ℤ$ از فرمول زیر قابل محاسبه است.

$2 k π + θ$

هم‌چنین ممکن است متحرک ابتدا یک دوران کامل در خلاف جهت مثلثاتی زده باشد و سپس به نقطه $M$ برسد، در این حالت مقدار زاویه $- 2 π + θ$ و در دورهای بعد $- 4 π + θ$ و .... می شود.

اگر انتهای کمان مقابل به $θ$ بر حسب رادیان، در نقطه $A$ باشد، اندازه آن $2 k π$ است.

اگر انتهای کمان مقابل به $θ$ بر حسب رادیان، در نقطه $B$ باشد، اندازه آن $2 k π + \frac{π}{2} = (\frac{4 k + 1}{2}) π$ است.

اگر انتهای کمان مقابل به $θ$ بر حسب رادیان، در نقطه $A^{'}$ باشد، اندازه آن $2 k π + π = (2 k + 1) π$ است.

اگر انتهای کمان مقابل به $θ$ بر حسب رادیان، در نقطه $B^{'}$ باشد، اندازه آن $2 k π + \frac{3 π}{2} = \frac{(4 k + 3) π}{2}$ است.

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

2- اگر انتهای کمان مقابل به $θ$ در هر جای محیط دایره مثلثاتی باشد، برای آن زاویه، $\sin θ$ و $\cos θ$ قابل تعریف است و با توجه به دایره مثلثاتی:

$\forall θ : \{\begin{cases} - 1 \leq \sin θ \leq 1 \\ - 1 \leq \cos θ \leq 1 \end{cases}$

3- اگر انتهای کمان مقابل به $θ$ در هر جای محیط دایره مثلثاتی غیر از $B$ و $B^{'}$ باشد، $\tan θ$ قابل تعریف است و مقدار آن هر عدد حقیقی می‌تواند باشد.

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

$θ \neq \frac{(2 k + 1)}{2} π$

4- اگر انتهای کمان مقابل به $θ$ در هر جای محیط دایره مثلثاتی غیر از $A$ و $A^{'}$ باشد، $c o t θ$ قابل تعریف است و مقدار آن هر عدد حقیقی می‌تواند باشد.

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

$θ \neq k π$

5- اگر زاویه چرخیدن متحرکی $θ$ و مسافت طی شده توسط او $L$ باشد، رابطه بین این دو به صورت زیر به‌دست می‌آید:

اگر متحرکی بر روی دایره مثلثاتی با شعاع واحد $(r = 1)$ از نقطه $A$ شروع به حرکت کند و پس از اندازه‌ زاویه $θ$ برحسب درجه، به نقطه‌ $B$ برسد، برای محاسبه‌ مسافت طی‌ شده $L$ داریم:

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

اندازه برحسب درجه طول کمان

$\begin{array}{l} ↓ ↓ \\ 2 π r 360 ° \\ \overset{⏜}{A B} = L θ \Rightarrow \overset{⏜}{A B} = L = \frac{2 π r \times θ}{360 °} = \frac{π θ}{180 °} \end{array}$

تمرین

نسبت های مثلثاتی زاويه زیر را در دايره مثلثاتی محاسبه کنيد.

$150 °$

$\begin{array}{l} \sin 150^{\circ} = \bar{O F} = \bar{H M} \\ \cos 150^{\circ} = \bar{O H} \\ \tan 150^{\circ} = \bar{A N} \\ \cot 150^{\circ} = \bar{B P} \end{array}$

$\begin{array}{l} Δ O M H : \sin 30^{\circ} = \frac{M H}{O M} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{M H}{1} \Rightarrow \bar{M H} = \frac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos 30^{\circ} = \frac{O H}{O M} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{O H}{1} \Rightarrow \bar{O H} = - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} Δ O A N : \tan 30^{\circ} = \frac{A N}{O A} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{A N}{1} \Rightarrow \bar{A N} = - \frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}$

$Δ O B P : \tan 60^{\circ} = \frac{B P}{O B} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{B P}{O B} \Rightarrow \bar{B P} = - \sqrt{3}$

$\begin{array}{l} \sin 150^{\circ} = \bar{H M} = \frac{1}{2} \\ \cos 150^{\circ} = \bar{O H} = - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \tan 150^{\circ} = \bar{A N} = - \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \cot 150^{\circ} = \bar{B P} = - \sqrt{3} \end{array}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$30^{\circ} \leq θ \leq 120^{\circ}$

$\sin θ$ بين کدام دو عدد تغيير می‌کند؟

وقتی $θ = 30 °$ و انتهای کمان مقابل به $θ$ در نقطه $M$ است، داریم:

$\sin θ = \sin 30^{\circ} = \bar{O H} = \frac{1}{2}$

با زياد شدن مقدار زاويه، اندازه جبری پاره خط بزرگتر شده تا وقتی که $θ = 90 °$ می‌شود در اين حالت:

$\sin θ = 1$

با زياد شدن مقدار $θ$ تا رسيدن به نقطه $N$ که در آنجا $θ = 120 °$ است.

بيشترين عددی كه روی محور سينوس ها به‌دست می‌آيد، $1$ و کمترين عدد $\frac{1}{2}$ است به‌عبارتی:

$i f 30^{\circ} \leq θ \leq 120^{\circ} \Rightarrow \frac{1}{2} \leq \sin θ \leq 1$

تمرین

حدود تغييرات $m$ را در دستگاه زیر تعيین کنيد.

$\{\begin{cases} 45^{\circ} \leq θ \leq 225 ° \\ \cos θ = 2 + m \end{cases}$

$i f θ = 45^{\circ} \Rightarrow \cos θ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

با زياد شدن مقدار زاويه، نقطه $H$ روی محور کسينوس ها به سمت چپ حرکت می کند و از $O$ می‌گذرد تا به نقطه $A'$ می‌رسد.

$i f θ = 180^{\circ} \Rightarrow \cos θ = - 1$

از اين به بعد با افزايش مقدار زاويه ، نقطه $H$ به $A'$ رسيده بوده حرکت به سمت راست را آغاز می‌کند تا وقتی که $θ = 225 °$ شود.

در اين لحظه $H$ بر $P$ منطبق شده، پس در اين روند بيشترين مقدار برای $\cos θ$ عدد $\frac{\sqrt{2}}{2}$ و کمترين مقدار عدد $(- 1)$ است.

$\begin{array}{l} i f 45^{\circ} \leq θ \leq 225^{\circ} \\ \Rightarrow - 1 \leq \cos θ \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow - 1 \leq 2 + m \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow - 3 \leq m \leq \frac{\sqrt{2} - 4}{2} \end{array}$

تمرین

حدود تغييرات $m$ را در دستگاه زیر تعيین کنيد.

$\{\begin{cases} \frac{π}{6} \leq θ \leq \frac{2 π}{3} \\ \tan θ = m - 1 \end{cases}$

می‌دانيم:

$\{\begin{cases} \frac{π}{6} r a d = 30^{\circ} \\ \frac{2 π}{3} r a d = 120^{\circ} \\ 30^{\circ} < 90^{\circ} < 120^{\circ} \end{cases}$

چون $\tan 90 °$ تعريف نشده است، لذا بهتر است بررسی مان را در دو قسمت انجام دهيم.

الف) اگر داشته باشیم:

$30^{\circ} \leq θ < 90^{\circ}$

در اين حالت داریم:

$\bar{A N} = \tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

با زياد شدن زاويه در اين قسمت، نقطه $N$ بر روی نيم خط به سمت بالا حرکت می‌کند، لذا در اين‌جا می‌توان گفت:

$\begin{array}{l} \tan θ \geq \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \Rightarrow m - 1 \geq \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \Rightarrow m \geq \frac{\sqrt{3} + 3}{3} \end{array}$

ب) اگرداشته باشیم:

$90^{\circ} < θ \leq 120^{\circ}$

با زياد شدن زاويه (بزرگتر از $\frac{π}{2}$ ) نقطه $N$ از قسمت پائين محور تانژانت ها (اعداد منفی خيلی کوچک) به سمت بالا حرکت می‌کند تا وقتی مقدار $θ = 120 °$ می‌شود.

در نقطه $M$ داریم:

$\tan 120^{\circ} = - \sqrt{3}$

لذا در اين حالت می‌توان گفت:

$\begin{array}{l} \tan θ \leq - \sqrt{3} \\ \Rightarrow m - 1 \leq - \sqrt{3} \\ \Rightarrow m \leq 1 - \sqrt{3} \end{array}$

تمرین

فردی از روی مبدا دایره مثلثاتی، $90 °$ از دایره را طی کرده است.

وی چه مسافتی را طی کرده؟ (شعاع دایره مثلثاتی یک کیلومتر)

اگر زاویه ‌ای که این شخص چرخیده است، $90 °$ باشد، یعنی $\frac{1}{4}$ محیط دایره را طی کرده است.

بنابراین مسافت طی‌شده یعنی $d$ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\begin{array}{l} d = \frac{1}{4} (2 π r) = \frac{π r}{2}; r = 1 k m \\ \Rightarrow d = \frac{π}{2} \end{array}$

تمرین

فردی از روی مبدا دایره مثلثاتی، $315 °$ از دایره را طی کرده است.

وی چه مسافتی را طی کرده؟ (شعاع دایره مثلثاتی یک کیلومتر)

اگر زاویه ‌ای که این شخص چرخیده است، $315 °$ باشد، یعنی $\frac{7}{8}$ محیط دایره را طی کرده است.

$315 ° = 360 ° - 45 ° = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

در تساوی فوق $360 °$ معادل $1$ دور کامل است.

بنابراین مسافت طی‌شده یعنی $d$ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\begin{array}{l} d = \frac{7}{8} (2 π r) \\ \Rightarrow d = \frac{7 π r}{4}; r = 1 k m \\ \Rightarrow d = \frac{7}{4} π \end{array}$

تمرین

فردی از روی مبدا دایره مثلثاتی، $765 °$ از دایره را طی کرده است.

وی چه مسافتی را طی کرده؟ (شعاع دایره مثلثاتی یک کیلومتر)

$\begin{matrix} 765 ° = 720 ° + 45 ° \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow 765 ° = 2 (360 °) + 45 ° \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow 765 ° = 2 (2 π r) + \frac{1}{8} (2 π r) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow 765 ° = 4 π r + \frac{π r}{4}; r = 1 k m \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow 765 ° = 4 π + \frac{π}{4} \end{matrix}$

$\Rightarrow 765 ° = \frac{17 π}{4}$

این فرد روی دایره چه زاویه ای بر حسب رادیان بچرخد تا به جای اول خود باز گردد؟

یک فرد روی دایره باید معادل $360 °$ طی کند تا مجددا به نقطه‌ شروع حرکت باز گردد.

زاویه‌ $360 °$ را با فرمول زیر به رادیان تبدیل می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \frac{R}{π} = \frac{D}{180 °}; D = 360 ° \\ \Rightarrow \frac{R}{π} = \frac{360 °}{180 °} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{R}{π} = 2 \\ \Rightarrow R = 2 π \end{array}$

یعنی $360 °$ معادل $2 π$ رادیان می‌باشد.

تمرین

فرض کنیم سوار چرخ و فلکی شده‌ایم که $40$ کابین دارد و کابین‌های آن شماره‌گذاری شده‌اند.

اگر در آغاز حرکت در جهت خلاف عقربه های ساعت، ما روی کابین شماره $3$ نشسته باشیم:

بعد از $\frac{47 π}{10}$ رادیان دوران، ما در موقعیت کدام کابین قرار گرفته‌ایم؟

چرخ‌ و فلکی در یک مسیر دایره‌ ای‌شکل $360 °$ ، در حال حرکت است.

اگر این چرخ‌ و فلک $40$ کابین داشته باشد، یعنی زاویه‌ هر دو کابین متوالی برحسب درجه به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\frac{360 °}{40} = 9 °$

$\frac{47 π}{10}$ رادیان را برحسب درجه محاسبه می‌کنیم:

$\frac{47 π}{10} r a d = \frac{47 π}{10} \times \frac{180 °}{π} = 846 °$

فاصله‌ بین هر دو کابین متوالی $9 °$ است.

بنابراین $846 °$ از تعداد $94$ شماره‌ کابین عبور می‌کند.

$\frac{846 °}{9 °} = 94$

اگر مبدا حرکت کابین شماره‌ $1$ باشد، بعد از $14$ کابین جابجایی، کابین شماره $1$ در جایگاه $14$ قرار می‌گیرد.

$94 = 2 (40) + 14$

بنابراین کابین شماره $4$ در جایگاه $17$ قرار می‌گیرد.

جدول نسبت‌های مثلثاتی

دایره مثلثاتی - پیمان گردلو

یادآوری

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی تیر 1403

در مثلث $A B C$ ، اگر داشته باشیم:

$\tan (B - C) = \sqrt{3}$

حاصل عبارت $\frac{1 - 2 \cos (B + C)}{4 \sin B . \cos C}$ کدام است؟

$- 1$
$- \frac{1}{2}$
$\tan B$
$\tan C$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

در دایره مثلثاتی زیر، مختصات $A$ به ‌صورت $A (x, - \cot α)$ است.

مقدار $x$ کدام است؟

$\frac{2 - \sqrt{5}}{2}$
$\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$
$- \sqrt{5}$
$\frac{- \sqrt{5}}{2}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 3

المپیاد ریاضی

مساحت رنگی در شکل زیر کدام گزینه است؟

مساحت نیم دایره بزرگ $18 π$ و مساحت نیم دایره کوچک $8 π$ است.

$12 π - 3 \sqrt{3}$
$12 π - 9 \sqrt{3}$
$9 π - 12 \sqrt{3}$
$12 π - 3 \sqrt{5}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 4

المپیاد ریاضی

مساحت ناحیه قرمز رنگ در شکل زیر کدام گزینه است؟

$D E = D C = E C = 2 \sqrt{3} + 9$

$\frac{27 \sqrt{3}}{8}$
$\frac{27 \sqrt{3}}{7}$
$\frac{27 \sqrt{3}}{5}$
$\frac{27 \sqrt{3}}{4}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 5

المپیاد ریاضی

مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟

$8 π - 16$
$7 π - 15$
$6 π - 14$
$5 π - 12$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 6

المپیاد ریاضی

مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟

$π - \sqrt{3}$
$π - \frac{3 \sqrt{3}}{4}$
$π - \frac{\sqrt{3}}{4}$
$π - \frac{5 \sqrt{3}}{4}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 7

المپیاد ریاضی

مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟

$\frac{91 π}{3} - 8 (2 + \sqrt{3})$
$\frac{94 π}{3} - 8 (2 + \sqrt{3})$
$\frac{95 π}{3} - 8 (2 + \sqrt{3})$
$\frac{96 π}{3} - 8 (2 + \sqrt{3})$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 8

المپیاد ریاضی

مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟

$0.4$
$0.5$
$0.6$
$0.7$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 9

المپیاد ریاضی

در مربع زیر مساحت ناحیه سبز رنگ کدام گزینه است؟

$5.32$
$4.32$
$3.32$
$2.32$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

دایره مثلثاتی

14,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تعداد نظرهای ثبت شده (2)

سجاد خاوری

30 فروردين 1403

دایره مثلثاتی یکی ار مباحثیه که خیلیا به یادگیری این مبحث مراجعه میکنند.
توضیحات کامل و مفید بود ممنون
لیلا نوری(مدرسه فشم)

03 فروردين 1403

خیلی مفهومی و واضح توضیح داده شده بود واقعا ممنون ?

مثلثات

دایره مثلثاتی

تعریف دایره مثلثاتی

طول کمان

مساحت قطاع دایره

مساحت قطعه دایره

نسبت‌ های مثلثاتی یک زاویه در دایره مثلثاتی

ناحیه اول در دایره مثلثاتی

ناحیه دوم در دایره مثلثاتی

ناحیه سوم در دایره مثلثاتی

ناحیه چهارم در دایره مثلثاتی

جدول نسبت‌های مثلثاتی

تست‌های این مبحث

تعداد نظرهای ثبت شده (2)

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟