سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

زاویه و واحدهای اندازه‌ گیری

آخرین ویرایش: 18 آبان 1403

دسته‌بندی: مثلثات

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

مثلثات شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی روابط بین زوایا و اضلاع یک مثلث می‌پردازد.

یکی از اهداف این علم، اندازه‌گیری فاصله‌ها به‌صورت غیر مستقیم است.

مثلثات در علوم مهندسی، فیزیک، نقشه‌برداری، دریا‌نوردی، نجوم و غیره کاربرد دارد.

فرض کنید یک هواپیما در ارتفاع $2$ کیلومتری از سطح زمین در حال فرود آمدن است:

زاویه و واحدهای اندازه‌گیری - پیمان گردلو

اگر زاویه هواپیما با افق $13^{°}$ باشد، می‌خواهیم محل دقیق فرود هواپیما را بدانیم.

این مسئله و مسائلی نظیر این، با استفاده از روابط مثلثاتی حل می‌شوند.

تعریف زاویه

از دوران یک نیم خط حول راسش ناحیه‌ای پدید می‌آید که زاویه نامیده می‌شود.

این دوران ممکن است در جهت و یا خلاف جهت عقربه‌های ساعت باشد.

در مثلثات، جهت مثلثاتی، خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت می‌باشد.

قرار داده شده که زوایایی که در خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت پیموده می‌شوند مثبت و زوایایی که در جهت حرکت عقربه‌های ساعت پیموده می‌شوند منفی باشند.

در زیر، زاویه $A \hat{O} B$ خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت و زاویه $M {\hat{O}}^{'} N$ هم‌جهت با حرکت عقربه‌های ساعت دیده می‌شود.

زاویه و واحدهای اندازه‌گیری - پیمان گردلو

اگر نیم‌خط $O A$ حول راس خود در یکی از دو جهت، چنان دوران کند تا دوباره بر نقطه شروع منطبق شود، گوییم یک دوران کامل انجام شده است.

زاویه و واحدهای اندازه‌گیری - پیمان گردلو

از دوران کامل پاره‌خط $O A$ حول نقطه $O$ ، یک دایره پدید می‌آید.

یک زاویه ممکن است از چرخش بیش از یک دور کامل پدید آید.

در شکل زیر، زاویه‌ای را می‌بینید که از چرخش بیش از یک دور کامل، به وجود آمده است.

زاویه و واحدهای اندازه‌گیری - پیمان گردلو

بنابراین در مثلثات اگر ضلع آغازی و پایانی یک زاویه معلوم باشد نمی‌توان اندازه و حتی علامت آن را مشخص کرد.

درشکل زیر، زاویه داده شده، علاوه بر $- 45^{°}$ می‌تواند $315^{°}$ هم باشد.

زاویه و واحدهای اندازه‌گیری - پیمان گردلو

واحدهای اندازه‌گیری زاویه (درجه)

سه واحد اصلی در مثلثات برای اندازه‌گیری زوایا کاربرد دارند که عبارتند از درجه، گراد و رادیان که در زیر به آنها اشاره می‌کنیم.

اگر محیط یک دایره را به $360$ قسمت مساوی تقسیم کنیم، هر قسمت را یک درجه می‌نامند.

به‌عبارت دیگر $\frac{1}{360}$ دوران کامل، زاویه‌ای به اندازه یک درجه پدید می‌آورد.

تمرین

در دایره فوق به سوالات زیر پاسخ دهید.

در یک زاویه قائمه، چند درجه وجود دارد؟

یک زاویه قائمه، یک چهارم دایره و $90 °$ است.

برای طی کردن نصف دایره در خلاف جهت عقربه های ساعت، چند درجه بایستی طی کنیم؟

برای طی کردن نصف دایره بایستی $180 °$ طی کنیم.

چند درجه در یک چرخش کامل وجود دارد؟

یک چرخش کامل یا اصطلاحا یک دایره کامل، $360 °$ می‌باشد.

به نظر شما کدام‌یک از زوایای زیر $30 °$ است؟

زاویه $30 °$ کمتر از زاویه قائمه است، بنابراین زوایه $A$ در شکل فوق $30 °$ است.

به نظر شما کدام‌یک از زوایای زیر $300 °$ است؟

$300 °$ تقریب یک دایره کامل و نزدیک $360 °$ است، بنابراین زوایه $D$ در شکل فوق $300 °$ است.

چند درجه در سه زاویه قائمه وجود دارد؟

سه زاویه قائمه، سه برابر یک زاویه $90 °$ است، بنابراین سه زاویه قائمه $270 °$ است.

نکته

برای نمایش درجه از علامت $(°)$ استفاده می‌شود.

یک درجه، یک $360$ ام محیط دایره است:

$1^{\circ} = \frac{1}{360} \times (2 π) r a d = \frac{π}{180} r a d$

اجزای درجه عبارتند از دقیقه و ثانیه.

هر دقیقه $\frac{1}{60}$ درجه و هر ثانیه $\frac{1}{60}$ دقیقه است.

تمرین

اگر اندازه زاویه‌ای $37$ درجه و $25$ دقیقه و $15$ ثانیه می‌باشد، آن را چگونه می‌نویسیم؟

$37^{\circ}, 25^{'}, 15^{''}$

عبارت $(37^{\circ}, 25^{'}, 15^{''})$ را بر حسب دقیقه بنویسید.

$(37^{\circ}, 25^{'}, 15^{''}) = (37 \times 60) + 25 + \frac{15}{60}$

واحدهای اندازه‌گیری زاویه (گراد)

اگر محیط یک دایره را به $400$ قسمت مساوی تقسیم کنیم، هر قسمت را یک گراد می‌نامند.

به‌عبارت دیگر $\frac{1}{400}$ دوران کامل، زاویه‌ای به اندازه یک گراد پدید می‌آورد.

برای نمایش درجه از علامت $(g r)$ استفاده می‌شود، لذا:

محیط دایره $1 g r = \frac{1}{400} \times$

اجزای گراد عبارتند از دسی‌ گراد، سانتی گراد، میلی گراد.

دسی‌گراد $\frac{1}{10}$ گراد است، سانتی‌گراد $\frac{1}{100}$ گراد و میلی‌گراد $\frac{1}{1000}$ گراد است.

واحدهای اندازه‌گیری زاویه (رادیان)

دایره‌ای به شعاع $r$ را در نظر بگیرید، می‌دانیم محیط این دایره $2 πr$ است.

زاویه و واحدهای اندازه‌گیری - پیمان گردلو

یک رادیان در هر دایره دل‌خواه، اندازه زاویه مرکزی است که طول کمان رو به رو به آن برابر طول شعاع دایره است:

$α = \frac{r}{r} = 1 r a d$

در زیر زوایای مختلفی از رادیان در دایره‌ ای به شعاع دل‌خواه $r$ رسم شده‌اند.

در هر شکل به نسبت طول کمان روبه‌رو به هر زاویه، به شعاع دقت کنید:

برای نمایش رادیان از کلمه $(r a d)$ استفاده می‌شود.

محیط هر دایره بر حسب رادیان $2 π$ رادیان است، لذا:

$1 r a d = \frac{1}{2 π} \times (360^{\circ}) = \frac{180^{\circ}}{π}; \{\begin{cases} 1 r a d = \frac{180 °}{π} \\ 1 ° = \frac{π}{180} r a d \end{cases}$

تمرین

زوایای زیر برحسب درجه بیان شده است، آنها را بر حسب رادیان بنویسید.

$40^{\circ}$

$\begin{array}{l} = (40) 1^{\circ} \\ = 40 (\frac{π}{180}) r a d \\ = \frac{2 π}{9} r a d \end{array}$

$- 270^{\circ}$

$\begin{array}{l} = (- 270) 1^{\circ} \\ = - 270 (\frac{π}{180}) r a d \\ = - \frac{3 π}{2} r a d \end{array}$

$135^{\circ}$

$\begin{array}{l} = (135) 1^{\circ} \\ = 135 (\frac{π}{180}) r a d \\ = \frac{3 π}{4} r a d \end{array}$

$45^{\circ}$

$\begin{array}{l} = 45 (1 °) \\ = 45 \times (\frac{π}{180}) r a d \\ = \frac{π}{4} r a d \end{array}$

$150^{\circ}$

$\begin{array}{l} = 150 (1 °) \\ = 150 \times (\frac{π}{180}) r a d \\ = \frac{5 π}{6} r a d \end{array}$

$240^{\circ}$

$\begin{array}{l} = 240 (1 °) \\ = 240 \times (\frac{π}{180}) r a d \\ = \frac{4 π}{3} r a d \end{array}$

تمرین

زوایای زیر بر حسب رادیان بیان شده است، آنها را بر حسب درجه بنویسید.

$3 r a d$

$\begin{array}{l} = 3 (1 r a d) \\ = 3 ({\frac{180}{π}}^{\circ}) \\ = {\frac{540}{π}}^{\circ} \end{array}$

$\frac{9 π}{2} r a d$

$\begin{array}{l} = \frac{9 π}{2} (1 r a d) \\ = \frac{9 π}{2} ({\frac{180}{π}}^{\circ}) \\ = 810^{\circ} \end{array}$

$\frac{3 π}{2} r a d$

$\begin{array}{l} = \frac{3 π}{2} (1 r a d) \\ = \frac{3 π}{2} ({\frac{180}{π}}^{\circ}) \\ = 270 ° \end{array}$

$- \frac{π}{6} r a d$

$\begin{array}{l} = - \frac{π}{6} (1 r a d) \\ = - \frac{π}{6} ({\frac{180}{π}}^{\circ}) \\ = - 30 ° \end{array}$

$\frac{π}{3} r a d$

$\begin{array}{l} = \frac{π}{3} (1 r a d) \\ = \frac{π}{3} ({\frac{180}{π}}^{\circ}) \\ = 60 ° \end{array}$

$\frac{11 π}{6} r a d$

$\begin{array}{l} = \frac{11 π}{6} (1 r a d) \\ = \frac{11 π}{6} ({\frac{180}{π}}^{\circ}) \\ = 330 ° \end{array}$

تمرین

اندازه زاويه مرکزی مقابل به کمانی از دايره که طول آن کمان $\frac{1}{6}$ محيط دايره است.

این زاویه چند راديان می‌باشد؟

طول کمان در محیط یک دایره $2 πr$ است.

همچنین اندازه زاویه در یک دور کامل دایره $2 π$ رادیان است.

تناسب مستقیم زیر را در نظر می‌گیریم:

$\begin{matrix} 2 π L & 2 π (r a d) \\ \frac{1}{6} (2 π L) & x \end{matrix}$

مقدار $x$ برابر است با:

$x = \frac{\frac{1}{6} (2 π L) .2 π}{2 π L} = \frac{π}{3} r a d$

فرمول تبدیل واحدهای اندازه گیری

قضیه

از رابطه زیر برای تبدیل واحدهای اندازه گیری به هم استفاده می‌شود:

$\frac{D}{180} = \frac{G}{200} = \frac{R}{π}$

اثبات

دایره‌ای به شعاع $r$ و زاویه $A O B = θ$ در این دایره را در نظر بگیرید.

زاویه و واحدهای اندازه‌گیری - پیمان گردلو

اندازه زاویه بر حسب درجه طول کمان

$\begin{array}{l} ↓ ↓ \\ 2 π r 360^{\circ} \\ \overset{⏜}{A B} D \Rightarrow \overset{⏜}{A B} = \frac{2 π r D}{360} \Rightarrow \overset{⏜}{A B} = \frac{π r D}{180} \end{array}$

اندازه زاویه بر حسب گراد طول کمان

$\begin{array}{l} ↓ ↓ \\ 2 π r 400 \\ \overset{⏜}{A B} G \Rightarrow \overset{⏜}{A B} = \frac{2 π r G}{400} \Rightarrow \overset{⏜}{A B} = \frac{π r G}{200} \end{array}$

اندازه زاویه بر حسب رادیان طول کمان

$\begin{array}{l} ↓ ↓ \\ 2 π r 2 π \\ \overset{⏜}{A B} R \Rightarrow \overset{⏜}{A B} = \frac{2 π r R}{2 π} \Rightarrow \overset{⏜}{A B} = r R \end{array}$

چون طول کمان $A B$ مقداری ثابت است، خواهیم داشت:

$\overset{⏜}{A B} = \frac{π r D}{180} = \frac{π r G}{200} = r R \Rightarrow \frac{D}{180} = \frac{G}{200} = \frac{R}{π}$

تذکر

با توجه به رابطه $\frac{D}{180} = \frac{G}{200} = \frac{R}{π}$ داریم:

$\{\begin{cases} D = \frac{9}{10} G \\ G = \frac{10}{9} D \end{cases}, \{\begin{cases} D = \frac{180}{π} R \\ R = \frac{π}{180} D \end{cases}, \{\begin{cases} G = \frac{200}{π} R \\ R = \frac{π}{200} G \end{cases}$

جدول زیر را به خاطر بسپارید:

زاویه و واحدهای اندازه‌گیری - پیمان گردلو

تمرین

زاویه $200$ درجه برحسب رادیان، چقدر است؟

$\begin{matrix} \frac{R}{π} = \frac{D}{180} \end{matrix}$

$\Rightarrow \frac{R}{π} = \frac{200}{180}$

$\Rightarrow \frac{R}{π} = \frac{10}{9}$

$\Rightarrow R = \frac{10 π}{9}$

زاویه $- 72$ درجه برحسب رادیان، چقدر است؟

$\frac{R}{π} = \frac{D}{180}$

$\Rightarrow \frac{R}{π} = \frac{- 72}{180}$

$\Rightarrow \frac{R}{π} = \frac{- 6}{15}$

$\Rightarrow R = \frac{- 6 π}{15}$

مجموع دو زاويه $\frac{5 π}{12}$ و تفاضل آنها $\frac{50}{3} g r$ است، هر يک چند درجه هستند؟

$\{\begin{cases} x + y = \frac{5 π}{12} r a d \\ x - y = \frac{50}{3} g r \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x + y = \frac{5 π}{12} \cdot \frac{180}{π} \\ x - y = \frac{50}{3} \cdot \frac{9}{10} \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x + y = 75^{\circ} \\ x - y = 15^{\circ} \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x = 45^{\circ} \\ y = 30^{\circ} \end{cases}$

مجموع دو زاويه $80 g r$ و تفاضل آنها $18 °$ می‌باشد، مقدار زاويه ها را بر حسب گراد و راديان حساب کنيد.

فرض کنيم دو زاويه $x$ و $y$ باشند.

$\{\begin{cases} x + y = 80 g r \\ x - y = 18^{\circ} \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x + y = 80 \times \frac{9}{10} \\ x - y = 18^{\circ} \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x + y = 72^{\circ} \\ x - y = 18^{\circ} \end{cases}〉$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x = 45^{\circ} \\ y = 27^{\circ} \end{cases}$

$\begin{array}{l} \frac{D}{9} = \frac{G}{10} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f D = 45^{\circ} \Rightarrow \frac{45}{9} = \frac{G}{10} \Rightarrow G = \frac{10 \times 45}{9} \Rightarrow G = 50 g r \end{array}$

$\begin{array}{l} i f D = 27^{\circ} \Rightarrow \frac{27}{9} = \frac{G}{10} \Rightarrow G = \frac{10 \times 27}{9} \Rightarrow G = 30 g r \end{array}$

$\frac{D}{180} = \frac{R}{π}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} i f D = 45^{\circ} \Rightarrow \frac{45}{180} = \frac{R}{π} \Rightarrow R = \frac{45 π}{180} \Rightarrow R = \frac{π}{4} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} i f D = 27^{\circ} \Rightarrow \frac{27}{180} = \frac{R}{π} \Rightarrow R = \frac{27 π}{180} \Rightarrow R = \frac{3 π}{20} \end{array}$

چه کمانی است که اگر به اندازه آن بر حسب درجه عدد $15$ افزوده شود، اندازه آن را بر حسب گراد به‌دست می‌آید؟

$\begin{array}{l} D + 15 = G \\ \Rightarrow D + 15 = \frac{10}{9} D \\ \Rightarrow 15 = \frac{1}{9} D \\ \Rightarrow D = 135^{\circ} \end{array}$

مکمل $7^{\circ}, 30^{'}$ چند راديان است؟

$\begin{array}{l} 7^{\circ}, 30^{'} = 7 + \frac{30}{60} \\ \Rightarrow 7^{\circ}, 30^{'} = 7^{\circ} + {0.5}^{\circ} \\ \Rightarrow 7^{\circ}, 30^{'} = {7.5}^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 7^{\circ}, 30^{'} = {7.5}^{\circ} \times \frac{π}{180} \\ \Rightarrow 7^{\circ}, 30^{'} = \frac{π}{24} \end{array}$

برای به‌دست آوردن مکمل $7^{\circ}, 30^{'}$ داریم:

$π - \frac{π}{24} = \frac{23 π}{24}$

مقدار $165^{\circ}, 35^{'}, 15^{''}$ را بر حسب راديان به‌دست آوريد.

$D = 165^{\circ}, 35^{'}, 15^{''} = 165 + \frac{35}{60} + \frac{15}{3600} = 165 + \frac{7}{12} + \frac{1}{240} = {(\frac{39741}{240})}^{\circ}$

$\begin{array}{l} \frac{D}{180} = \frac{R}{π} \\ \Rightarrow \frac{\frac{39741}{240}}{180} = \frac{R}{π} \\ \Rightarrow R = \frac{39741}{43200} π \end{array}$

تمرین

اندازه زاويه ای $20 g r$ است.

اندازه اين زاويه بر حسب درجه چيست؟

$\begin{array}{l} \frac{D}{180} = \frac{G}{200} \\ \Rightarrow \frac{D}{9} = \frac{G}{10} \\ \Rightarrow \frac{D}{9} = \frac{20}{10} \\ \Rightarrow D = 18^{\circ} \end{array}$

اندازه اين زاويه بر حسب راديان چيست؟

$\begin{array}{l} \frac{G}{200} = \frac{R}{π} \\ \Rightarrow \frac{20}{200} = \frac{R}{π} \\ \Rightarrow R = \frac{20 π}{200} \\ \Rightarrow R = \frac{π}{10} \end{array}$

تمرین

اندازه کمانی بر حسب درجه $15 °$ است.

اندازه آن را بر حسب گراد به‌دست آوريد.

$\begin{array}{l} \frac{D}{180} = \frac{G}{200} \\ \Rightarrow \frac{D}{9} = \frac{G}{10} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{15}{9} = \frac{G}{10} \\ \Rightarrow G = \frac{50}{3} g r \end{array}$

اندازه آن را بر حسب رادیان به‌دست آوريد.

$\begin{array}{l} \frac{D}{180} = \frac{R}{π} \\ \Rightarrow \frac{15}{180} = \frac{R}{π} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow R = \frac{15 π}{180} \\ \Rightarrow R = \frac{π}{12} r a d \end{array}$

تمرین

اندازه زاويه ای بر حسب درجه و گراد به ترتيب $D$ و $G$ می‌باشد.

اگر به زاويه ای به اندازه اش برحسب درجه $15$ واحد افزوده ‌شود، اندازه آن را بر حسب گراد به‌دست آورید.

اگر اندازه زاويه ای بر حسب درجه و گراد به ترتيب $D$ و $G$ باشد، بنا به فرض داريم:

$G = D + 15$

$\begin{array}{l} \frac{D}{180} = \frac{G}{200} \\ \Rightarrow \frac{D}{9} = \frac{G}{10}; G = D + 15 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{D}{9} = \frac{D + 15}{10} \\ \Rightarrow 9 (D + 15) = 10 D \\ \Rightarrow D = 135^{\circ} \end{array}$

تمرین

زوايای مثلثی به نسبت $5, 3, 2$ است.

کوچکترين زاويه مثلث بر حسب راديان چيست؟

$\{\begin{cases} A = 2 x \\ B = 3 x \\ C = 5 x \end{cases}$

مجموع زوايای يک مثلث $180 °$ یا $π$ رادیان است.

$\begin{array}{l} A + B + C = π \\ \Rightarrow 2 x + 3 x + 5 x = π \\ \Rightarrow 10 x = π \\ \Rightarrow x = \frac{π}{10} \end{array}$

کوچکترين زاويه مثلث بر حسب راديان برابر است با:

$i f A = 2 x \Rightarrow A = 2 (\frac{π}{10}) \Rightarrow A = \frac{π}{5}$

تمرین

چهار ضلعی محاطی $A B C D$ را در نظر بگیرید.

اندازه زاويه ای که از برخورد نيمسازهای دو زاويه $A, B$ پديد می‌آيد برابر $\frac{250}{3} g r$ است.

تفاضل اندازه زاويه $A$ و زاويه $B$ برابر با $\frac{π}{18}$ راديان است.

اندازه های زوایای چهار ضلعی را بر حسب درجه حساب کنيد.

$\begin{array}{l} A_{1} = A_{2}, B_{1} = B_{2} \\ A - B = \frac{π}{18} \\ \Rightarrow A - B = \frac{π}{18} \times \frac{180}{π} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A - B = 10 ° \\ \Rightarrow 2 A_{1} - 2 B_{1} = 10^{\circ} \\ \Rightarrow A_{1} - B_{1} = 5^{\circ} \\ \Rightarrow A_{1} = B_{1} + 5^{\circ} \end{array}$

$O_{1} = \frac{250}{3} g r = \frac{250}{3} \cdot \frac{9}{10} = 75^{\circ}$

در مثلث $A O B$ داریم:

$\begin{array}{l} A_{1} + B_{1} + O_{1} = 180^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (B_{1} + 5^{\circ}) + B_{1} + 75^{\circ} = 180^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 B_{1} = 100 \\ \Rightarrow B_{1} = 50^{\circ}; (B = 2 B_{1}) \\ \Rightarrow B = 100^{\circ} \end{array}$

برای محاسبه زاویه $A$ داریم:

$\begin{array}{l} A_{1} = B_{1} + 5^{\circ} \\ \Rightarrow A_{1} = 50^{\circ} + 5^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A_{1} = 55^{\circ}; (A = 2 A_{1}) \\ \Rightarrow A = 2 \times 55 \\ \Rightarrow A = 110^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}{l} A + C = 180^{\circ} \Rightarrow 110^{\circ} + C = 180^{\circ} \Rightarrow C = 70^{\circ} \end{array}$

$B + D = 180^{\circ} \Rightarrow 100^{\circ} + D = 180^{\circ} \Rightarrow D = 80^{\circ}$

تمرین

اندازه زاويه ای بر حسب درجه $a$ و بر حسب گراد $b$ می‌باشد. $a, b \in N$

کوچکترين مقدار $a$ چقدر است؟

$\begin{array}{l} a = \frac{9}{10} b \\ \Rightarrow b = \frac{10}{9} a; (b \in N) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow b = 10 k \\ \Rightarrow \min b = 10; (k = 1) \\ \Rightarrow a = 9^{\circ} \end{array}$

تمرین

مجموع دو زاويه $60 °$ و تفاضل آنها $\frac{100}{3} g r$ است.

نسبت اين دو زاويه چقدر است؟

$\begin{array}{l} x + y = 60^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}{l} x - y = \frac{100}{3} g r \Rightarrow x - y = \frac{100}{3} \times \frac{9}{10} \Rightarrow x - y = 30^{\circ} \end{array}$

$\{\begin{cases} x + y = 60^{\circ} \\ x - y = 30^{\circ} \end{cases}〉 \{\begin{cases} x = 45^{\circ} \\ y = 15^{\circ} \end{cases}〉 \frac{y}{x} = \frac{15}{45} \Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{1}{3}$

تمرین

ستاره قطبی روی دایره ای در خلاف جهت حرکت عقربه های ساعت حرکت می‌کند.

این ستاره در هر $23$ ساعت و $56$ دقیقه و $4.33$ ثانیه، یعنی $0 / 9972723$ شبانه روز یک بار این دایره کوچک را طی می‌کند.

اگر یک دوران کامل خلاف جهت حرکت عقربه های ساعت به اندازه $360 °$ باشد و فرض کنیم هر $24$ ساعت یک بار این دایره به‌وسیله ستاره قطبی طی می‌شود.

$1 \frac{1}{4}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}$ دوران طی چه مدتی صورت می‌پذیرد؟

ستاره‌ قطبی روی دایره ‌ای در خلاف جهت حرکت عقربه ‌های ساعت حرکت می‌کند.

اگر یک دوران کامل در خلاف جهت حرکت عقربه‌ های ساعت به اندازه‌ $360 °$ باشد و فرض کنیم هر $24$ یک بار این دایره به‌وسیله‌ ستاره‌ قطبی طی می‌شود.

1- ستاره‌ قطبی $\frac{1}{2}$ دوران را در مدت زمان زیر انجام می‌دهد:

$\begin{matrix} 24 h & 360 ° \\ x & \frac{1}{2} (360 °) \end{matrix}$

$x = \frac{\frac{1}{2} (360 °) \times 24 h}{360 °} = 12 h$

2- ستاره‌ قطبی $\frac{2}{3}$ دوران را در مدت زمان زیر انجام می‌دهد:

$\begin{matrix} 24 h & 360 ° \\ x & \frac{2}{3} (360 °) \end{matrix}$

$x = \frac{\frac{2}{3} (360 °) \times 24 h}{360 °} = 16 h$

3- ستاره‌ قطبی $1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ دوران را در مدت زمان زیر انجام می‌دهد:

$\begin{matrix} 24 h & 360 ° \\ x & \frac{5}{4} (360 °) \end{matrix}$

$x = \frac{\frac{5}{4} (360 °) \times 24 h}{360 °} = 30 h$

حرکت ستاره قطبی را صفحه مختصات در نظر گرفته و فرض کنید ستاره قطبی از نقطه‌ای روی قسمت مثبت محور $x$ ها به طول $2$ واحد در جهت خلاف حرکت عقربه های ساعت شروع به حرکت کند.

اگر ستاره قطبی به‌اندازه $1 \frac{1}{6}, \frac{1}{6}$ دایره را طی کند، اندازه زاویه طی شده در هریک از نقاط را نسبت به مبدا مختصات مشخص نمایید.

اگر ستاره‌ قطبی به اندازه‌ $\frac{1}{6}$ دایره را طی کند، زاویه ‌ای معادل با زاویه‌ زیر را طی می‌کند:

$\frac{1}{6} (360 °) = 60 °$

اگر ستاره‌ قطبی به اندازه‌ $1 \frac{1}{6}$ دایره را طی کند، زاویه ‌ای معادل با زاویه‌ زیر را طی می‌کند:

$1 \frac{1}{6} (360 °) = \frac{7}{6} (360 °) = 420 ° = 360 ° + 60 °$

تمرین

فرض کنیم در ورزشگاه شهر، یک پیست دوچرخه سواری به‌صورت دایره ای وجود دارد.

معلم ورزش مدرسه از دانش آموزان می‌خواهد که در مسابقه دوچرخه سواری دور پیست دایره ای شکل شرکت کنند.

دانش آموزان از نقطه‌ای که در شکل فوق مشخص شده است درجهت خلاف حرکت عقربه های ساعت شروع به رکاب زدن می‌کنند.

مکان رکاب زدن علی، دایره ای به شعاع یک کیلومتر است که با زاویه ای که علی حول $O$ چرخیده است، مشخص می‌شود.

اگر زاویه ای که علی چرخیده است $90 °$ باشد، او چه مسافتی را پیموده است؟

اگر زاویه ‌ای که علی چرخیده است $90 °$ باشد، یعنی $\frac{1}{4}$ محیط دایره را طی کرده است.

بنابراین $x$ مسافت طی‌ شده به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$x = \frac{1}{4} (2 π r) = \frac{π r}{2} = \frac{π}{2}; r = 1 k m$

اگر او $315 °$ درجه از دایره را طی کرده باشد، چه مسافتی را طی نموده است؟

اگر زاویه ‌ای که علی چرخیده است $315 °$ باشد، یعنی $\frac{7}{8}$ محیط دایره را طی کرده است.

$315 ° = 360 ° - 45 ° = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

بنابراین $x$ مسافت طی‌ شده به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$x = \frac{7}{8} (2 π r) = \frac{7 π r}{4} = \frac{7}{4} π; r = 1 k m$

علی پس از $15 °$ دقیقه به‌اندازه $765 °$ درجه روی دایره را طی نموده است، او چه مسافتی را طی نموده است؟

$\begin{array}{l} r = 1 k m \end{array}$

$\begin{array}{l} 765 ° = 720 ° + 45 ° = 2 (360 °) + 45 ° = 2 (2 π r) + \frac{1}{8} (2 π r) = 4 π r + \frac{π r}{4} = 4 π + \frac{π}{4} = \frac{17 π}{4} \end{array}$

اگر زاویه چرخیدن دوچرخه سوار $θ$ و مسافت طی شده توسط او $L$ باشد، چه رابطه‌ای بین این دو پارامتر وجود دارد؟

اگر متحرکی بر روی دایره مثلثاتی با شعاع واحد $(r = 1)$ از نقطه‌ $A$ شروع به حرکت کند و پس از اندازه‌ زاویه‌ $θ$ برحسب درجه، به نقطه‌ $B$ برسد:

برای محاسبه‌ی مسافت طی‌ شده $L$ داریم:

$\overset{⏜}{A B} = L$

طول کمان دایره $2 πr$ است.

اندازه یک دور کامل دایره $360 °$ درجه است.

$\begin{matrix} 2 π r & 360 ° \\ \overset{⏜}{A B} = L & θ \end{matrix}$

$\overset{⏜}{A B} = L = \frac{2 π r \times θ}{360 °} = \frac{π θ}{180 °}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

زاویه بین دو عقربه ساعت

زاویه و واحدهای اندازه‌گیری - پیمان گردلو

در ساعت $H$ و $M$ دقیقه، زاویه بین دو عقربه ساعت شمار و دقیقه شمار برحسب درجه عبارت است از:

$α = \frac{11 M}{2} - 30 H$

تمرین

در ساعت $3$ و $22$ دقيقه زاويه بين دو عقربه ساعت چند درجه است؟

$H = 3, M = 22$

$\begin{matrix} α = \frac{11 M}{2} - 30 H \\ \Rightarrow α = \frac{11 \times 22}{2} - 30 (3) \\ \Rightarrow α = 31^{\circ} \end{matrix}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

اگر در محاسبه $α > 180^{\circ}$ باشد، می‌توانیم $360^{\circ} - α$ را به‌عنوان زاویه بین دو عقربه در نظر گرفت و در ساعت $12$ و $M$ دقیقه، می‌توان به‌جای $H = 0$ قرار داد.

تمرین

در ساعت $1$ و $50$ دقيقه زاويه بين دو عقربه ساعت چند درجه است؟

$\begin{array}{l} H = 1, M = 50 \end{array}$

$\begin{array}{l} α = \frac{11 M}{2} - 30 H = \frac{11 \times 50}{2} - 30 (1) = 245^{\circ} \end{array}$

$α = 360^{\circ} - 245^{\circ} = 115^{\circ}$

در ساعت $12$ و $17$ دقيقه زاويه بين دو عقربه ساعت چند درجه است؟

اگر عقربه ساعت شمار عدد $12$ را نشان دهد $H = 0$ در نظر می‌گيريم:

$\begin{array}{l} H = 0, M = 17 \end{array}$

$α = \frac{11 M}{2} - 30 H = \frac{11 \times 17}{2} - 30 (0) = {93.5}^{\circ}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

زاویه بین عقربه ساعت شمار را بر حسب درجه و رادیان بیان کنید.

از روی شکل مشخص است که یک واحدی که عقربه‌ ساعت‌ شمار حرکت می‌کند، معادلِ $30 °$ می‌باشد.

چون عقربه‌ ساعت‌ شمار از $1$ به $3$ تغییر مکان داده، بنابراین این دو واحد معادل $60 °$ می‌باشد.

برای محاسبه‌ $60 °$ برحسب رادیان داریم:

$60 ° = 60 (1 °) = 60 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{3}$

مدتی که طول می‌کشد تا عقربه دقیقه شمار به‌اندازه $2.5 π$ رادیان دوران کند.

مقدار $2.5 π$ رادیان را برحسب درجه محاسبه می‌کنیم:

$2 / 5 π r a d = 2 / 5 π \times (1 r a d) = 2 / 5 π \times \frac{180 °}{π} = 450 ° = 360 ° + 90 °$

عقربه دقیقه ‌شمار $360 °$ را در $60$ دقیقه و $90 °$ را در $15$ دقیقه طی می‌کند.

بنابراین $450 °$ را در $60 + 15 = 75$ دقیقه طی می‌کند.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

المپیاد ریاضی

اگر داشته باشیم:

$\begin{array}{l} A B = A C \\ A D = A E \end{array}$

مقدار زاویه $θ$ در شکل زیر، کدام گزینه است؟

$20 °$
$30 °$
$40 °$
$50 °$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

المپیاد ریاضی

مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟

$1.2$
$2.1$
$3.2$
$2.4$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

زاویه و واحدهای اندازه‌گیری

8,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

مثلثات

زاویه و واحدهای اندازه‌ گیری

مقدمه

تعریف زاویه

واحدهای اندازه‌گیری زاویه (درجه)

واحدهای اندازه‌گیری زاویه (گراد)

واحدهای اندازه‌گیری زاویه (رادیان)

فرمول تبدیل واحدهای اندازه گیری

زاویه بین دو عقربه ساعت

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟