سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

نسبت‌ های مثلثاتی دو کمان

آخرین ویرایش: 18 آبان 1403
دسته‌بندی: مثلثات
امتیاز:
نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های −α , α 

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

فرض کنیم P انتهای کمان مقابل به زاویه α و M انتهای کمان مقابل به زاویه -α (زاویه‌ای که در خلاف جهت مثلثاتی طی شده) باشد.

دو مثلث قائم الزاویه OPH و OMH به حالت وتر و یک زاویه حاده برابرند و HM¯=−HP¯.

sin−α=HM¯OM¯=HM¯1=−HP¯=−sinα

cos−α=OH¯OM¯=OH¯=cosα

tan−α=sin−αcos−α=−sinαcosα=−tanα

cot−α=cos−αsin−α=cosα−sinα=−cotα

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

sin−α=−sinαcos−α=cosαtan−α=−tanαcot−α=−cotα

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زاویه زیر را محاسبه کنید:

−60∘

sin−60∘=−sin60∘=−32cos−60∘=cos60∘=12

tan−60∘=−tan60∘=−3cot−60∘=−cot60∘=−33

تمرین

مقادیر هر یک از عبارات زیر را به ازای x=π6 به‌دست آورید.

y=−1+34cos2x−π2 

⇒y=−1+34cos2×π6−π2

⇒y=−1+34cosπ3−π2

⇒y=−1+34cos−π6   ;   cos−θ=cosθ

⇒y=−1+34cosπ6⇒y=−1+34×32⇒y=−1+338

y=4−23sin3x−π

⇒y=4−23sin3π6−π⇒y=4−23sinπ2−π

⇒y=4−23sin−π2    ;    sin−θ=−sinθ

⇒y=4−23sin−sinπ2⇒y=4+23sinπ2

⇒y=4+231=4+23=143

تمرین

دو مقدار از θ بین π2 و -π2 پیدا کنید به‌طوری که cosθ=12 باشد.

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

cosπ3=cos−π3=12


تمرین

با استفاده از دایره مثلثاتی، درستی تساوی زیر را بررسی می‌کنیم. (زوایا بر حسب رادیان هستند.)

cos4=cos−4

ابتدا محاسبه می‌کنیم که هر یک رادیان، حدودا چند درجه می‌باشد:

D180=Rπ⇒D180=1π⇒D=180π⇒D≃1803/14⇒D≃57/3


یعنی 1 ran≃57/3° می‌باشد.

cos4rad=cos4×57/8≃cos229°

cos−4rad=cos−4×57/3≃cos−229°


در cos229° به اندازه 229° از نقطه A در جهت منفیِ حرکت عقربه‌های ساعت، دوران می‌کنیم تا انتهای کمان در ربع سوم مثلثاتی قرار می‌گیرد.‌


  در cos-229° به اندازه -229° از نقطه A در جهت مثبت حرکت عقربه‌های ساعت، دوران می‌کنیم تا انتهای کمان در ربع دوم مثلثاتی قرار می‌گیرد.‌




تصویر cos229° و cos-229° روی محور کسینوس‌ ها بر هم منطبق است، یعنی تساوی ‌های زیر همواره درست است:

cos229°=cos−229°⇒cos4rad=cos−4rad

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های π−α,α

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

فرض کنیم α و π-α دو زاویه باشند و داشته باشیم: 

0<α<π2

فرض کنیم P انتهای کمان مقابل به زاویه α و M انتهای کمان مقابل به زاویه π-α باشد.

دو مثلث قائم الزاویه OPH و OMN به حالت وتر و یک زاویه حاده برابرند.

NM¯=HP¯  ,  ON¯=−OH¯

sinπ−α=NM¯=HP¯=sinα

cosπ−α=ON¯=−OH¯=−cosα

tanπ−α=sinπ−αcosπ−α=sinα−cosα=−tanα

cotπ−α=cosπ−αsinπ−α=−cosαsinα=−cotα

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

sinπ−α=sinαcosπ−α=−cosαtanπ−α=−tanαcotπ−α=−cotα

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زوایای زیر را محاسبه کنید:

135∘

sin135∘=sinπ−45∘=sin45∘=22

cos135∘=cosπ−45∘=−cos45∘=−22

tan135∘=tanπ−45∘=−tan45∘=−1

cot135∘=cotπ−45∘=−cot45∘=−1

−3π4

sin−3π4=−sin3π4=−sinπ−π4=−sinπ4=−22

cos−3π4=cos3π4=cosπ−π4=−cosπ4=−22

tan−3π4=−tan3π4=−tanπ−π4=−−tanπ4=tanπ4=1

cot−3π4=−cot3π4=−cotπ−π4=−−cotπ4=cotπ4=1

تمرین

اگر تساوی‌های زیر درست است دلیل درستی و اگر نادرست است با استفاده از دایره مثلثاتی دلیل نادرستی آنها را بیان کنید. 

sin−2π3=sin2π3

sin2π3=sinπ−π3=sinπ3=32

sin−23π=−sin2π3=−32

sin2π3≠−sin2π3


نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

cosπ6=cos5π6

cosπ6=32

cos5π6=cosπ−π6=−cosπ6=−32

cosπ6≠cos5π6


نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

تمرین

با انتخاب یک زاویه دل‌خواه، نشان دهید تساوی زیر نادرست است:

sinπ−θ=sinπ−sinθ

if   θ=π6

sinπ−θ=sinπ−π6=sinπ6=12

sinπ−sinθ=sinπ−sinπ6=0−sinπ6=−12

sinπ−θ≠sinπ−sinθ

تمرین

نسبت مثلثاتی sin3π4 را محاسبه کنید و روی شکل نشان دهید.

  sin3π4=sin4−1π4=sin4π−π4=sin4π4−π4=sinπ−π4=sinπ4=22


نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو


در شکل فوق و در sinπ−π4 کمان از A به اندازه π دوران می‌کند و در موقعیت B قرار می‌گیرد.


سپس کمان به اندازه −π4 موافقِ حرکت عقربه‌‌های ساعت دوران می‌کند، تا انتهای کمان در ربع دوم قرار می‌گیرد.


در این ربع علامت سینوس مثبت است و مقدار sinπ−π4 و sinπ4 برابر با 22 است.     

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌هایπ+α,α 

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

فرض کنیم α و π+α دو زاویه باشند و داشته باشیم:

0<α<π2

فرض کنیم P انتهای کمان مقابل به زاویه α و M انتهای کمان مقابل به زاویه π+α باشد.

دو مثلث قائم الزاویه OPH و OMN به حالت وتر و یک زاویه حاده برابرند.

NM¯=−HP¯   ,  ON¯=−OH¯

sinπ+α=NM¯=−HP¯=−sinα

cosπ+α=ON¯=−OH¯=−cosα

tanπ+α=sinπ+αcosπ+α=−sinα−cosα=tanα

cotπ+α=cosπ+αsinπ+α=−cosα−sinα=cotα

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

sinπ+α=−sinα cosπ+α=−cosαtanπ+α=tanαcotπ+α=cotα

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زاویه زیر را محاسبه کنید:

240∘

sin240∘=sinπ+60∘=−sin60∘=−32

cos240∘=cosπ+60∘=−cos60∘=−12

tan240∘=tanπ+60∘=tan60∘=3

cotg240∘=cotπ+60∘=cot60∘=33

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های 2π−α,α 

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

می‌دانیم:

2π−α=π+π−α

با توجه به مفاهیم گذشته و استفاده از نسبت‌های مثلثاتی π+x و π-x خواهیم داشت:  

sin2π−α=sinπ+π−α=−sinπ−α=−sinα

cos2π−α=cosπ+π−α=−cosπ−α=−−cosα=cosα

tan2π−α=sin2π−αcos2π−α=−sinαcosα=−tanα

cot2π−α=cos2π−αsin2π−α=cosα−sinα=−cotα

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

sin2π−α=−sinαcos2π−α=cosαtan2π−α=−tanαcot2π−α=−cotα

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زاویه زیر را محاسبه کنید.

330∘

sin330∘=sin2π−30∘=−sin30∘=−12

cos330∘=cos2π−30∘=cos30∘=32

tan330∘=tan2π−30∘=−tan30∘=−33

cot330∘=cotg2π−30∘=−cot30∘=−3

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زیر را روی شکل نشان دهید.

cos2π−π6

cos2π−π6=cosπ6=32


نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

در cos2π−π6 کمان از A به اندازه 2π دوران می‌کند و مجددا در موقعیت A قرار می‌گیرد.


سپس کمان به اندازه −π6 موافقِ حرکت عقربه‌‌های ساعت دوران می‌کند، تا انتهای کمان در ربع چهارم قرار می‌گیرد.


در این ربع علامت کسینوس مثبت است و مقدار cos2π−π6 و cosπ6 برابر با 32 است.     

tan11π6

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

tan11π6=tan12−1π6=tan12π−π6=tan12π6−π6=tan2π−π6=−33


در tan2π−π6 کمان از A به اندازه 2π دوران می‌کند و مجددا در موقعیت A قرار می‌گیرد.


سپس کمان به اندازه −π6 موافقِ حرکت عقربه‌‌های ساعت دوران می‌کند، تا انتهای کمان در ربع چهارم قرار می‌گیرد.


در این ربع علامت تانژانت منفی است.

cos7π4

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو


cos7π4=cos8−1π4=cos8π−π4=cos8π4−π4=cos2π−π4=cosπ4=22


در cos2π−π4 کمان از A به اندازه 2π دوران می‌کند و مجددا در موقعیت A قرار می‌گیرد.


سپس کمان به اندازه −π4 موافقِ حرکت عقربه‌‌های ساعت دوران می‌کند، تا انتهای کمان در ربع چهارم قرار می‌گیرد.


در این ربع علامت کسینوس مثبت است و مقدار cos2π−π4 و cosπ4 برابر با 22 است.     

تمرین

فرض کنید sinθ=−12: 

دو مقدار از θ بین 0 تا 2π پیدا کنید به طوری که رابطه فوق درست باشد.



sin210°=sin330°=−12


نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

دو مقدار منفی از θ مشخص کنید که معادله فوق درست باشد. 

برای یافتن مقادیر منفی از θ در شکل فوق کمان از نقطه‌ A به اندازه‌ −30° حرکت کرده تا انتهای کمان در ربع چهارم قرار می‌گیرد:

sin−30°=−12


انتهای کمان در ربع سوم به اندازه‌ −150° از A دوران ایجاد شد، بنابراین:


sin−30°=sin−150°=−12

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های 2π+α,α 

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

می‌دانیم:

2π+α=π+π+α

با توجه به مفاهیم گذشته و استفاده از نسبت‌های مثلثاتی π+x خواهیم داشت:  

sin2π+α=sinπ+π+α=−sinπ+α=−−sinα=sinα

cos2π+α=cosπ+π+α=−cosπ+α=−−cosα=cosα

tan2π+α=sin2π+αcos2π+α=sinαcosα=tanα

cotg2π+α=cos2π+αsin2π+α=cosαsinα=cotgα

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

sin2π+α=sinαcos2π+α=cosαtan2π+α=tanαcot2π+α=cotα

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زوایای زیر را بنویسید.

sin390°cos405°tan420°

sin390∘=sin360∘+30∘=sin30∘=12

cos405∘=cos360∘+45∘=cos45∘=22

tan420∘=tan360∘+60∘=tan60∘=3

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زیر را روی شکل نشان دهید.

sin2π+π3

sin2π+π3=sinπ3=32


نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

در sin2π+π3 کمان از A به اندازه 2π دوران می‌کند و مجددا در موقعیت A قرار می‌گیرد.


سپس کمان به اندازه π3 مخالف حرکت عقربه‌‌های ساعت دوران می‌کند، تا انتهای کمان در ربع اول قرار می‌گیرد.


در این ربع علامت سینوس مثبت است و مقدار sin2π+π3 و sinπ3 برابر با 32 است.     

cos2π+2π3

cos2π+2π3=cos2π3=cosπ−π3=−cosπ3=−12


نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

در cos2π+2π3 کمان از A به اندازه 2π دوران می‌کند و مجددا در موقعیت A قرار می‌گیرد.


سپس کمان به اندازه 2π3 موافق حرکت عقربه‌‌های ساعت دوران می‌کند، تا انتهای کمان در ربع دوم قرار می‌گیرد.


در این ربع علامت کسینوس منفی است و مقدار cos2π+2π3 و -cosπ3 برابر با -12 است.     

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های π2-α,α 

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

فرض کنیم α و π2-α دو زاویه باشند و داشته باشیم:

0<α<π2

فرض کنیم P انتهای کمان مقابل به زاویه α و M انتهای کمان مقابل به زاویه π2-α باشد.

دو مثلث قائم الزاویه OPH و OMN به حالت وتر و یک زاویه حاده برابرند.

OH=ON   ,   HP¯=NM¯

sinπ2−α=ON¯=OH¯=cosα

cosπ2−α=NM¯=PH¯=sinα

tanπ2−α=sinπ2−αcosπ2−α=cosαsinα=cotα

cotπ2−α=cosπ2−αsinπ2−α=sinαcosα=tanα

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

sinπ2−α=cosαcosπ2−α=sinαtanπ2−α=cotαcotπ2−α=tanα

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زوایای زیر را بنویسید.

sin15°cos45°

sin15∘=sin90∘−75∘=cos75∘

cos45∘=cos90∘−45∘=sin45∘=22

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌هایπ2+α,α 

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

فرض کنیم α و π2+α دو زاویه باشند و داشته باشیم:

0<α<π2

فرض کنیم P انتهای کمان مقابل به زاویه α و M انتهای کمان مقابل به زاویه π2+α باشد.

دو مثلث قائم الزاویه OPH و OMN به حالت وتر و یک زاویه حاده برابرند.

ON¯=OH¯  ,    NM¯=−HP¯

sinπ2+α=ON¯=OH¯=cosα

cosπ2+α=NM¯=−HP¯=−sinα

tanπ2+α=sinπ2+αcosπ2+α=cosα−sinα=−cotα

cotπ2+α=cosπ2+αsinπ2+α=−sinαcosα=−tanα

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

sinπ2+α=cosαcosπ2+α=−sinαtanπ2+α=−cotαcotπ2+α=−tanα

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زوایای زیر را بنویسید.

sin120°cos135°tan120°cot150°

sin120∘=sin90∘+30∘=cos30∘=32

cos135∘=cos90∘+45∘=−sin45∘=−22

tan120∘=tan90∘+30∘=−cot30∘=−3

cot150∘=cotg90∘+60∘=−tan60∘=−3

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های 3π2-α,α

3π2−α=π+π2−α

sin3π2−α=sinπ+π2−α=−sinπ2−α=−cosα=−cosα

cos3π2−α=cosπ+π2−α=−cosπ2−α=−sinα=−sinα

tan3π2−α=sin3π2−αcos3π2−α=−cosα−sinα=cotα

cot3π2−α=cos3π2−αsin3π2−α=−sinα−cosα=tanα

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

sin3π2−α=−cosαcos3π2−α=−sinαtan3π2−α=cotαcot3π2−α=tanα

 نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های 3π2+α,α

3π2+α=π+π2+α

sin3π2+α=sinπ+π2+α=−sinπ2+α=−cosα=−cosα

cos3π2+α=cosπ+π2+α=−cosπ2+α=−−sinα=sinα

tan3π2+α=sin3π2+αcos3π2+α=−cosαsinα=−cotα

cot3π2+α=cos3π2+αsin3π2+α=sinα−cosα=−tanα

یادآوری

sin3π2+α=−cosαcos3π2+α=sinαtan3π2+α=−cotαcot3π2+α=−tanα

 خلاصه فرمول‌های نسبت‌های مثلثاتی دو کمان

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

در جدول فوق:

  • برای تعیین نسبت‌های مثلثاتی kπ±α و 2kπ±α کافی است انتهای کمان را مشخص کرده و علامت نسبت مثلثاتی را مشخص کنیم و سپس از kπ و 2kπ صرف نظر کنیم.
  • برای تعیین نسبت‌های مثلثاتی 2k+1π2±α کافی است سینوس به کسینوس و نیز تانژانت به کتانژانت تبدیل ‌شود و برعکس. 

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زوایای زیر را به‌دست آورید:

sin170∘

سینوس در ربع دوم مثبت است:

=sin180∘−10∘=+sin10∘

cos170∘

کسینوس در ربع دوم منفی است:

=cos180∘−10∘=−cos10∘

sin85∘

سینوس در ربع اول مثبت است:

=sin90∘−5∘=+cos5∘

sin750∘

سینوس در ربع اول است:

=sin4π+30∘=sin30∘

نکته

در موقع محاسبه مقدار نسبت مثلثاتی یک زاویه:

1- مضرب های زوج π را می‌توان حذف کرد.

sin73π3=sin72+1π3=sin72π3+π3=sin24π+π3=sinπ3=32

cot11π6=cot12−1π6=cot12π6−π6=cot2π−π6=cot−π6=−cotπ6

sin−32π+θ=sinθ

2- به جای مضرب های فرد π می‌توان عدد π را قرار داد. 

tan−7π6=−tan7π6=−tan6+1π6=−tan6π6+π6=−tanπ+π6=−+tanπ6=−tanπ6

cos51π4=cos52−1π4=cos13π−π4=cosπ−π4=−cosπ4

cos53π3=cos52+1π4=cos13π+π4=cosπ+π4=−cosπ4

cos43π+θ=cosπ+θ=−cosθ

sin−21π+θ=sinπ+θ=−sinθ

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی اردیبهشت 1403

در شکل زیر، مثلث ABC متساوی الساقین است.

مقدار tanα کدام است؟

  1. -25
  2. 25
  3. -72
  4. 72
مشاهده پاسخ تست بستن

pqcg830

تست شماره 2

کنکور تجربی اردیبهشت 1403

در شکل زیر، زاویه α مشخص شده است.

مقدار tanπ2−α کدام است؟

  1. 34
  2. 43
  3. -34
  4. -43
مشاهده پاسخ تستبستن

jpsnp03

تست شماره 3

کنکور تجربی اردیبهشت 1403

حاصل عبارت زیر کدام است؟

3cos248∘−2sin158∘sin202∘−cos292∘

  1. 0.5
  2. -0.5
  3. -2.5
  4. 2.5
مشاهده پاسخ تستبستن

qdj199k

تست شماره 4

مستطیل زیر از مربع هایی به ضلع یک واحد تشکیل شده است.  4

مقدار sinα+cosα کدام است؟

  1. -45
  2. -15
  3. -25
  4. -35
مشاهده پاسخ تست بستن

hea75b2

خرید پاسخ‌ها

نسبت‌های مثلثاتی دو کمان

15,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید