سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

مثلث قائم الزاویه

آخرین ویرایش: 18 آبان 1403

دسته‌بندی: مثلثات

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

نسبت‌ های مثلثاتی در مثلث قائم الزاویه

در مثلث قائم الزاویه $A B C$ در شکل زیر داریم:

سینوس هر زاویه برابر است با ضلع مقابل بر وتر

$\begin{array}{l} \sin \hat{B} = \frac{A C}{B C} = \frac{b}{a}; \sin \hat{C} = \frac{A B}{B C} = \frac{c}{a} \end{array}$

کسینوس هر زاویه برابر است با ضلع مجاور بر وتر

$\begin{array}{l} \cos \hat{B} = \frac{A B}{B C} = \frac{c}{a}; \cos \hat{C} = \frac{A C}{B C} = \frac{b}{a} \end{array}$

تانژانت هر زاویه برابر است با ضلع مقابل بر ضلع مجاور

$\begin{array}{l} \tan \hat{B} = \frac{A C}{A B} = \frac{b}{c}; \tan \hat{C} = \frac{A B}{A C} = \frac{c}{b} \end{array}$

کتانژانت هر زاویه برابر است با ضلع مجاور بر ضلع مقابل

$\cot \hat{B} = \frac{A B}{A C} = \frac{c}{b}; \cot \hat{C} = \frac{A C}{A B} = \frac{b}{c}$

تمرین

مثلث قائم الزاويه متساوی الساقين مفروض است.

نسبت های مثلثاتی زاويه را در این مثلث به‌دست آوريد.

مثلث قائم الزاويه متساوی الساقين $A B C$ به اضلاع زاويه قائم $1$ سانتی متر را در نظر می‌گيريم.

$\begin{array}{l} \hat{B} = \hat{C} = 45^{\circ} \\ A B = A C = 1 \\ B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B C^{2} = 1^{2} + 1^{2} \\ \Rightarrow B C^{2} = 2 \\ \Rightarrow B C = \sqrt{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sin \hat{B} = \frac{A C}{B C} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos \hat{B} = \frac{A B}{B C} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan \hat{B} = \frac{A C}{A B} = \frac{1}{1} = 1 \\ \cot \hat{B} = \frac{A B}{A C} = 1 \end{array}$

تمرین

طول قطر مستطيلی $8 c m$ و زاويه حاده بين دو قطر آن $60 °$ است.

مساحت مستطيل چند سانتی متر مربع است؟

مستطيل $A B C D$ را رسم کنيم.

فرض کنيم $O$ محل برخورد دو قطر باشد.

از $B$ عمود $B H$ را بر قطر $A C$ فرود می‌آوريم.

در مثلث قائم الزاويه $O B H$ داريم:

$\sin 60^{\circ} = \frac{B H}{O B} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{B H}{4} \Rightarrow B H = 2 \sqrt{3}$

مساحت مستطيل $A B C D$ دو برابر مساحت مثلث $A B C$ است:

$\begin{array}{l} S_{A B C D} = 2 \times S_{A B C} \\ \Rightarrow S_{A B C D} = 2 \times \frac{A C \times B H}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{A B C D} = 8 \times 2 \sqrt{3} \\ \Rightarrow S_{A B C D} = 16 \sqrt{3} \end{array}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید.

با اختيار $O P = r = 2$ نسبت های مثلثاتی زاويه زیر را تعیین کنید.

$210 °$

ابتدا مختصات نقطه $P$ را به‌دست می‌آوریم.

در مثلث $O P H$ داریم:

$\begin{array}{l} \sin 30^{\circ} = \frac{P H}{O P} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{P H}{2} \Rightarrow P H = 1 \Rightarrow y = - 1 \end{array}$

$\cos 30^{\circ} = \frac{O H}{O P} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{O H}{2} \Rightarrow O H = \sqrt{3} \Rightarrow x = - \sqrt{3}$

بنابراین نقطه $P (- \sqrt{3}, - 1)$ در ناحیه سوم مشخص شد، لذا داریم:

$\begin{array}{l} \sin 210^{\circ} = \frac{y}{r} = \frac{- 1}{2} \\ \cos 210^{\circ} = \frac{x}{r} = \frac{- \sqrt{3}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan 210^{\circ} = \frac{y}{x} = \frac{- 1}{- \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \cot 210^{\circ} = \frac{x}{y} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1} = \sqrt{3} \end{array}$

تمرین

در شکل زیر یک مثلث قائم الزاویه رسم شده است که طول اضلاع مجاور قائمه آن برابر است.

نشان دهید که زوایای حاده این مثلث $45 °$ است.

در مثلث متساوی‌ الساقین داریم. (این مثلث قائم‌الزاویه هم می‌باشد)

$\begin{array}{l} A B = A C \Rightarrow \hat{B} = \hat{C} \\ \hat{B} = 180 ° - (\hat{A} + \hat{C}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \hat{B} = 180 ° - (90 ° + \hat{B}); \hat{B} = \hat{C} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \hat{B} = 180 ° - 90 ° - \hat{B} \\ \Rightarrow \hat{B} + \hat{B} = 180 ° - 90 ° \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 \hat{B} = 90 ° \\ \Rightarrow \hat{B} = 45 °; \hat{B} = \hat{C} \\ \Rightarrow \hat{C} = 45 ° \end{array}$

طول وتر این مثلث را محاسبه کنید.

$\begin{array}{l} B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} \\ \Rightarrow B C^{2} = {(1)}^{2} + {(1)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B C^{2} = 1 + 1 \\ \Rightarrow B C^{2} = 2 \\ \Rightarrow B C = \sqrt{2} \end{array}$

نسبت های مثلثاتی زاویه $45 °$ را به‌دست آورید.

$\sin 45 °$ برابر است با نسبت طول ضلع مقابل به زاویه $45 °$ به وتر

$\sin 45 ° = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$\cos 45 °$ برابر است با نسبت طول ضلع مجاور به زاویه $45 °$ به وتر

$\cos 45 ° = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan 45 °$ برابر است با نسبت طول ضلع مقابل به زاویه $45 °$ به طول ضلع مجاور به زاویه $45 °$

$\tan 45 ° = \frac{1}{1} = 1$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

در مثلث قائم الزاویه فوق، نسبت های مثلثاتی زاویه راس $A$ را حساب کنید.

سینوس هر زاویه برابر است با ضلع مقابل بر وتر

$1) \sin θ = \frac{B C}{A C}$

در نسبت فوق $B C$ را نداریم، باید آن را از طریق قضیه‌ فیثاغورث پیدا کنیم:

$\begin{array}{l} A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} \\ \Rightarrow {(13)}^{2} = {(5)}^{2} + B C^{2} \\ \Rightarrow 169 = 25 + B C^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B C^{2} = 169 - 25 \\ \Rightarrow B C^{2} = 144 \\ \Rightarrow B C = \sqrt{144} \\ \Rightarrow B C = 12 \end{array}$

$1) \sin θ = \frac{B C}{A C} = \frac{12}{13}$

کسینوس هر زاویه برابر است با ضلع مجاور بر وتر

$2) \cos θ = \frac{A B}{A C} = \frac{5}{13}$

تانژانت هر زاویه برابر است با ضلع مقابل بر ضلع مجاور

$3) \tan θ = \frac{B C}{A B} = \frac{12}{5}$

کتانژانت هر زاویه برابر است با ضلع مجاور بر ضلع مقابل

$4) \cot θ = \frac{A B}{B C} = \frac{5}{12}$

تمرین

در شکل زیر طول وتر یک مثلث قائم الزاویه $10$ سانتی متر و سینوس یکی از زوایای آن $\frac{3}{5}$ است.

محیط این مثلث را بر حسب سانتی متر به‌دست آورید.

$B C = 10, \sin θ = \frac{3}{5}$

محیط مثلث به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$P = A B + A C + B C$

برای محاسبه محیط مثلث لازم است ابتدا مقادیر $A C$ و $A B$ را محاسبه کنیم:

$\begin{array}{l} \sin θ = \frac{3}{5} \\ \Rightarrow \frac{A B}{10} = \frac{3}{5} \\ \Rightarrow 5 \times A B = 3 \times 10 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 5 A B = 30 \\ \Rightarrow A B = \frac{30}{5} \\ \Rightarrow A B = 6 \end{array}$

با داشتن $A B$ و $B C$ و با استفاده از قضیه‌ فیثاغورث $A C$ را محاسبه می‌کنیم:

$\begin{array}{l} B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} \\ \Rightarrow {(10)}^{2} = A C^{2} + {(6)}^{2} \\ \Rightarrow 100 = A C^{2} + 36 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A C^{2} = 100 - 36 \\ \Rightarrow A C^{2} = 64 \\ \Rightarrow A C = \sqrt{64} \\ \Rightarrow A C = 8 \end{array}$

$P = A B + A C + B C = 6 + 8 + 10 = 24 c m^{2}$

تمرین

مثلث زیر را در نظر بگیرید.

مطلوب است طول $B C$ .

$\hat{A} = 60^{\circ}, A B = 7, A C = 12$

$\begin{array}{l} Δ A B H : \cos 60^{\circ} = \frac{A H}{A B} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{A H}{7} \Rightarrow A H = \frac{7}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} A B^{2} = B H^{2} + A H^{2} \\ \Rightarrow B H^{2} = A B^{2} - A H^{2} \\ \Rightarrow B H^{2} = 49 - \frac{49}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B H = \frac{7 \sqrt{3}}{2} \end{array}$

$C H = A C - A H = 12 - \frac{7}{2} = \frac{17}{2}$

$Δ B C H : B C^{2} = B H^{2} + H C^{2} = {(\frac{7 \sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{17}{2})}^{2} = \frac{147}{4} + \frac{289}{4} = \frac{436}{4} = 109 \Rightarrow B C = \sqrt{109}$

تمرین

نردبانی را به دیوار تکیه داده‌ایم.

فاصله پای نردبان تا دیوار $1$ متر و $25$ سانتی متر باشد و زاویه نردبان با سطح زمین $36$ درجه می‌باشد.

طول نردبان را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} \cos 36 ° = \frac{125}{B C} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B C = \frac{125}{\cos 36 °}; \cos 36 ° = 0 / 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B C = \frac{125}{0 / 8} \\ \Rightarrow B C = 156 / 25 c m \end{array}$

ارتفاع دیوار را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} \sin 36 ° = \frac{A B}{B C} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A B = B C \times \sin 36 °; \sin 36 ° = 0 / 58 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A B = 156 / 25 \times 0 / 58 \\ \Rightarrow A B = 90 / 625 c m \end{array}$

تمرین

هواپیمایی می‌خواهد از روی باند بلند شود.

ابتدا $300 m$ متر روی باند حر کت کرده تا سرعت لازم را پیدا کند.

سپس با زاویه $45$ درجه از زمین بلند می‌شود.

وقتی به بالای انتهای باند می‌رسد، $140$ متر ارتفاع گرفته است.

طول کل باند را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} A B = 300 m \\ \hat{B} = 45 ° \\ C D = 140 m \end{array}$

اگر $x$ طول کل باند باشد:

$x = A B + B C$

$B C$ را محاسبه می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \Rightarrow \tan 45 ° = \frac{D C}{B C} \\ \Rightarrow B C = \frac{D C}{\tan 45 °} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B C = \frac{140}{1} \\ \Rightarrow B C = 140 \end{array}$

$x = A B + B C = 300 + 140 = 440 m$

تمرین

فردی با قد یک متر و هفتاد سانتی متر می‌خواهد میله‌ای به طول $3 m$ متر را طبق شکل با زاویه $60 °$ بلند کند.

او ابتدا یک سر میله را به دیوار تکیه می‌دهد و میله را تا قد خود بالا می‌آورد.

او آن‌قدر به سمت دیوار حرکت می‌کند تا زاویه میله تا سطح زمین $60 °$ شود.

محاسبه کنید این شخص چقدر به‌سمت دیوار حرکت کرده است.

$A B = ?$

در مثلث قائم ‌الزاویه‌ $A A' O$ طول $O A$ را با استفاده از قضیه‌ قیثاغورث محاسبه می‌کنیم:

$\begin{array}{l} O {A^{'}}^{2} = A {A^{'}}^{2} + O A^{2} \\ \Rightarrow {(300)}^{2} = {(170)}^{2} + O A^{2} \\ \Rightarrow 90000 = 28900 + O A^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow O A^{2} = 90000 - 28900 \\ \Rightarrow O A^{2} = 61100 \\ \Rightarrow O A = 247 c m \end{array}$

در مثلث قائم ‌الزاویه‌ $B B' O$ طول $O B$ را با استفاده از قضیه‌ قیثاغورث محاسبه می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \tan 60 ° = \frac{B B^{'}}{O B} \\ \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{170}{O B} \\ \Rightarrow O B = \frac{170}{\sqrt{3}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow O B ≃ \frac{170}{1 / 7} \\ \Rightarrow O B ≃ 100 c m \end{array}$

$A B = O A - O B = 247 - 100 = 147 c m$

تمرین

هواپیمایی در ارتفاع $3$ کیلومتری پرواز می‌کند و در حال نزدیک شدن به فرودگاه در محل $R$ است:

فاصله افقی هواپیما با فرودگاه بر حسب زاویه ای که رادار طبق شکل به‌دست می‌آورد را حساب کنید.

$\begin{array}{l} A H = 3 k m \end{array}$

$\{\begin{array}{l} \sin x = \frac{A H}{R H} \\ \cos x = \frac{R A}{R H} \end{array}〉 \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{A H}{R H}}{\frac{R A}{R H}} \Rightarrow \tan x = \frac{A H}{R A} \Rightarrow R A = \frac{A H}{\tan x}$

تمرین

یک موشک در ارتفاع $15$ متری از سطح زمین و با زاویه $30 °$ پرتاب می‌شود.

می‌خواهیم بدانیم پس از طی $2000$ متر با همین زاویه، موشک به چه ارتفاعی از سطح زمین می‌رسد؟

با توجه به شکل فوق، ارتفاع موشک از سطح زمین برابر است با:

$B C + M C = B C + 15$

بنابراین کافی است طول $B C$ را پیدا کنیم.

در مثلث $A B C$ داریم:

$\sin 30 ° = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{B C}{2000} = \frac{1}{2} \Rightarrow B C = 1000$

ارتفاع موشک از سطح زمین:

$1000 + 15 = 1015$

تمرین

در راهپیمایی بهمن، یک بالن اطلاع رسانی توسط دو طناب به زمین بسته شده است.

طول یکی از طناب ها $30$ متراست.

طول طناب دوم را پیدا کنید.

ابتدا اندازه زاویه $B$ را به‌دست می‌آوریم:

می‌دانیم مجموع زوایای داخلی یک مثلث برابر $180 °$ می‌باشد، پس داریم:

$\begin{array}{l} \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 ° \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \hat{B} = 180 ° - (\hat{A} + \hat{C}); A = 60 °, C = 65 ° \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \hat{B} = 180 - (60 ° + 65 °) \\ \Rightarrow \hat{B} = 55 ° \end{array}$

سپس ارتفاع وارد بر ضلع $A C$ را رسم می‌کنیم و آن را $B H$ می‌نامیم.

طول $B H$ را با استفاده ازسینوس زاویه $A$ به‌دست می‌آوریم:

$\begin{array}{l} \sin A = \frac{B H}{A B} \\ \Rightarrow \sin 60 ° = \frac{B H}{A B} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B H = A B \times \sin 60 °; \{\begin{cases} \sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ A B = 30 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B H = \frac{30 \sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow B H = 15 \sqrt{3} \end{array}$

اکنون با استفاده از سینوس زاویه $65 °$ ، طول طناب دوم را پیدا می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \sin 65 ° = \frac{B H}{B C} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B C = \frac{B H}{\sin 65 °}; \{\begin{cases} B H = 15 \sqrt{3} \\ \sin 65 ° = 0 / 9 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B C = \frac{15 \sqrt{3}}{0 / 9} \\ \Rightarrow B C = 28 / 86 \end{array}$

تمرین

مطابق شکل زیر، نردبانی به طول $8$ متر در زیر پنجره ساختمانی قرار گرفته است.

اگر زاویه نردبان با سطح زمین $θ = 30 °$ باشد.

ارتفاع پنجره تا سطح زمین را محاسبه کنید.

$\begin{array}{l} \sin θ = \frac{B C}{8} \\ \Rightarrow \sin 30 ° = \frac{B C}{8} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{B C}{8} \\ \Rightarrow 2 B C = 8 \\ \Rightarrow B C = 4 \end{array}$

فاصله پای نردبان تا ساختمان چه‌قدر است؟

$\begin{array}{l} A B^{2} + B C^{2} = A C^{2} \\ \begin{array}{l} \Rightarrow A B^{2} = A C^{2} - B C^{2} \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A B^{2} = 8^{2} - 4^{2} \\ \Rightarrow A B^{2} = 48 \\ \Rightarrow A B = \sqrt{48} \end{array}$

تمرین

شش ضلعی منتظم زیر را در نظر بگیرید.

مساحت این شش ضلعی را به‌دست آورید.

هر شش ضلعی منتظم از $6$ مثلث متساوی ‌الاضلاع تشکیل شده است.

$\{\begin{cases} \hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = 60 ° \\ A B = B C = A C = 3 c m \end{cases}$

$\sin C ° = \frac{A H}{A C} \Rightarrow \sin 60 ° = \frac{A H}{3} \overset{\sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}}{\to} A H = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \sqrt{3}$

$S_{A B C} = \frac{1}{2} \times A H \times B C = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \sqrt{3} \times 3 = 2 / 25 \sqrt{3} = 3 / 89$

با توجه به این‌که هر شش ضلعی از شش مثلث متساوی الاضلاع تشکیل شده است، داریم:

$6 \times 3 / 89 = 23 / 38$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید.

مساحت مثلث را پیدا کنید.

مثلث فوق یک مثلث متساوی ‌الساقین می‌باشد و هر مثلث متساوی‌ الساقین از دو مثلث قائم ‌الزاویه تشکیل شده است.

برای به‌دست آوردن مساحت مثلث قائم الزاویه ابتدا $A H, B H$ را به‌دست می‌آوریم.

محاسبه $B H$ :

$\begin{array}{l} \sin A = \frac{B H}{A B} \\ \Rightarrow \sin 30 ° = \frac{B H}{A B} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B H = A B \times \sin 30 \\ \Rightarrow B H = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \end{array}$

محاسبه $A H$ :

$\begin{array}{l} \cos A = \frac{A H}{A B} \\ \Rightarrow \cos 30 ° = \frac{A H}{A B} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A H = A B \times \cos 30 ° \\ \Rightarrow A H = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$

مساحت قائم ‌الزاویه $A B H$ برابر است با:

$\begin{array}{l} S_{\overset{△}{A B H}} = \frac{1}{2} \times B H \times A H = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times 3 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{8} \sqrt{3} \end{array}$

$S_{\overset{△}{A B C}} = 2 S_{\overset{△}{A B H}} = 2 \times \frac{9}{8} \sqrt{3} = 3 / 89$

نکته

1- در هر مثلث قائم الزاويه، اندازه ضلع مقابل به زاویه $30$ درجه، $\frac{1}{2}$ وتر است.

2- در هر مثلث قائم الزاويه، اندازه ضلع مقابل به زاویه $60$ درجه، $\frac{\sqrt{3}}{2}$ وتر است.

3- در هر مثلث قائم الزاويه، اندازه ضلع مقابل به زاویه $45$ درجه، $\frac{\sqrt{2}}{2}$ وتر است.

تمرین

نسبت های مثلثاتی زوايای زیر را در مثلث قائم الزاویه به‌دست آورید.

$30 °$

$\begin{array}{l} \sin 30^{\circ} = \frac{\frac{1}{2} r}{r} = \frac{1}{2} \\ \cos 30^{\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} r}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan 30^{\circ} = \frac{\frac{1}{2} r}{\frac{\sqrt{3}}{2} r} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \cot g 30^{\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} r}{\frac{1}{2} r} = \sqrt{3} \end{array}$

$45 °$

$\begin{array}{l} \sin 45^{\circ} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} r}{r} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos 45^{\circ} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} r}{r} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan 45^{\circ} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} r}{\frac{\sqrt{2}}{2} r} = 1 \\ \cot g 45^{\circ} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} r}{\frac{\sqrt{2}}{2} r} = 1 \end{array}$

$60 °$

$\begin{array}{l} \sin 60^{\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} r}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos 60^{\circ} = \frac{\frac{1}{2} r}{r} = \frac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan 60^{\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} r}{\frac{1}{2} r} = \sqrt{3} \\ \cot 60^{\circ} = \frac{\frac{1}{2} r}{\frac{\sqrt{3}}{2} r} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}$

زوایای متمم در مثلث قائم الزاویه

قضیه

اگر مجموع دو زاویه زیر $90 °$ باشد:

$α + θ = 90 °$

آن‌گاه داریم:

$\{\begin{cases} \cos α = \sin θ \\ \cos θ = \sin α \end{cases}$

اثبات

$\{\begin{array}{l} \cos θ = \frac{A C}{B C} \Rightarrow \cos θ = \frac{b}{a} \\ \sin α = \frac{A C}{B C} \Rightarrow \sin α = \frac{b}{a} \end{array}〉 \cos θ = \sin α = \frac{b}{a}$

$\{\begin{array}{l} \cos α = \frac{A B}{B C} \Rightarrow \cos α = \frac{c}{a} \\ \sin θ = \frac{A B}{B C} \Rightarrow \sin θ = \frac{c}{a} \end{array}〉 \cos α = \sin θ = \frac{c}{a}$

نکته

می‌دانیم در مثلث قائم الزاویه فوق، زوایای $α$ و $θ$ متمم هم هستند:

$i f α + θ = 90^{\circ}$

$\begin{array}{l} \sin α = \sin (90 ° - θ) = \cos θ \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos α = \cos (90 ° - θ) = \sin θ \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan α = \tan (90 ° - θ) = \cot θ \end{array}$

$\cot α = c o t (90 ° - θ) = \tan θ$

تمرین

نسبت های مثلثاتی زوايای زیر را در مثلث متساوی الاضلاع به‌دست آوريد.

$30 °$

مثلث متساوی الاضلاع $A B C$ به ضلع $2 c m$ (یا هر اندازه دیگر) را در نظر می‌گيريم.

ارتفاع $H$ را رسم می‌کنيم.

می‌دانيم در مثلث متساوی الاضلاع ارتفاع، نيمساز و ميانه نيز می‌باشد.

در مثلث قائم الزاويه $A H B$ داريم:

$\begin{array}{l} A B = 2, B H = 1 \\ A B^{2} = A H^{2} + B H^{2} \\ \Rightarrow A H^{2} = A B^{2} - B H^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A H^{2} = 4 - 1 \\ \Rightarrow A H^{2} = 3 \\ \Rightarrow A H = \sqrt{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} s i n 30^{\circ} = \frac{B H}{A B} = \frac{1}{2} \\ c o s 30^{\circ} = \frac{A H}{A B} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ t a n 30^{\circ} = \frac{B H}{A H} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ c o t 30^{\circ} = \frac{A H}{B H} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \end{array}$

$60 °$

$\begin{array}{l} s i n 60^{\circ} = \frac{A H}{A B} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ c o s 60^{\circ} = \frac{B H}{A B} = \frac{1}{2} \\ t a n 60^{\circ} = \frac{A H}{B H} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \\ c o t 60^{\circ} = \frac{B H}{A H} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}$

چه نتیجه ای می‌گیرید؟

$\begin{array}{l} s i n 30^{\circ} = \frac{B H}{A B} = \frac{1}{2} = c o s 60^{\circ} \\ c o s 30^{\circ} = \frac{A H}{A B} = \frac{\sqrt{3}}{2} = s i n 60^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}{l} t a n 30^{\circ} = \frac{B H}{A H} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} = c o t 60^{\circ} \\ c o t 30^{\circ} = \frac{A H}{B H} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} = t a n 60^{\circ} \end{array}$

تمرین

با توجه به رابطه بين نسبت های مثلثاتی دو زاويه متمم، طرفین دوم تساوی های زیر را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} \sin 20^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sin 20^{\circ} = \sin (90^{\circ} - 70^{\circ}) = \cos 70^{\circ} \end{array}$

$\cos 32^{\circ}$

$\begin{array}{l} \cos 32^{\circ} = \cos (90^{\circ} - 58^{\circ}) = \sin 58^{\circ} \end{array}$

$\tan (22^{\circ}, 30^{'})$

$\tan (22^{\circ}, 30^{'}) = \tan [90^{\circ} - (67^{\circ}, 30^{'})] = \cot g (67^{\circ}, 30^{'})$

$\cos 30 °$

$\cos 30 ° = \cos (90 ° - 60 °) = \sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

محاسبه مساحت در مثلث قائم الزاویه

قضیه

مثلث دل‌خواه زیر، مفروض است:

مثلث قائم الزاویه - پیمان گردلو

با معلوم بودن مقادیر طول دو ضلع و اندازه زاویه بین آنها، مساحت مثلث به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} A B \times B C \times \sin B$

اثبات

مثلث قائم الزاویه - پیمان گردلو

$S_{A B C} = \frac{1}{2} A H \times B C$

$\begin{array}{l} \sin B = \frac{A H}{A B} \Rightarrow A H = A B \times \sin B \end{array}$

$S_{A B C} = \frac{1}{2} A H \times B C = \frac{1}{2} (A B \times s i n B) \times B C = \frac{1}{2} A B \times B C \times \sin B$

تمرین

مثلث دل‌خواه زیر، مفروض است:

مساحت مثلث را پیدا کنید.

$S_{A B C} = \frac{1}{2} \times B C \times A H$

$\sin 50 ° = \frac{A H}{A B} \Rightarrow \sin 50 ° = \frac{A H}{6} \Rightarrow A H = \sin 50 ° \times 6 \Rightarrow A H = 0 / 76 \times 6 \Rightarrow A H = 4 / 56; \sin 50 ° ≃ 0 / 76$

$S_{A B C} = \frac{1}{2} \times B C \times A H = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 / 56 = 18 / 24$

نکته

به‌طور کلی در مثلث زیر داریم:

مثلثات - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} S = \frac{1}{2} a b \sin C \\ S = \frac{1}{2} a c \sin B \\ S = \frac{1}{2} b c \sin A \end{array}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

مثلثات - پیمان گردلو

مساحت مثلث فوق را محاسبه کنید.

$\begin{array}{l} S = \frac{1}{2} a b \sin C \\ \Rightarrow S = \frac{1}{2} (7) (10) \sin 25^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = 35 \sin 25^{\circ}; \sin 25^{\circ} ≃ 0.4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S ≃ 35 \times 0.4 \\ \Rightarrow S ≃ 14 \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالات کلاسیک حل مثلث قائم الزاویه

برای حل مثلث قائم الزاویه $(\hat{A} = 90^{\circ})$ چهار حالت اصلی وجود دارد که حالات متعارف یا کلاسیک برای حل مثلث قائم الزاویه نامیده می‌شوند.

این چهار حالت از قرار زیر است:

معلوم بودن وتر و یک زاویه حاده
معلوم بودن وتر و یک ضلع
معلوم بودن یک ضلع زاویه قائمه و یک زاویه حاده
معلوم بودن دو ضلع زاویه قائمه

تمرین

مثلث های قائم الزاويه زیر را حل کنید.

منظور از حل مثلث، يافتن جزء های مجهول آن است.

معلوم های مثلث:

$\hat{C} = 90^{\circ}, \hat{B} = 36^{\circ}, A B = 24$

مجهول های مثلث:

$\hat{A}, B C = a, A C = b$

$\begin{array}{l} \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ} \Rightarrow \hat{A} + 36^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \hat{A} = 54^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sin 36^{\circ} = \frac{A C}{A B} \Rightarrow A C = A B . \sin 36^{\circ} = 24 \times \sin 36^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos 36^{\circ} = \frac{B C}{A B} \Rightarrow B C = A B . \cos 36^{\circ} = 24 \times \sin 36^{\circ} \end{array}$

معلوم های مثلث:

$A B = 50, B C = 28, \hat{C} = 90^{\circ}$

مجهول های مثلث:

$\hat{A}, \hat{B}, A C$

$\begin{array}{l} \sin \hat{A} = \frac{B C}{A B} \Rightarrow \sin A = \frac{28}{50} = 0.56 \Rightarrow \hat{A} \approx 34^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}{l} \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ} \Rightarrow 34^{\circ} + \hat{B} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \hat{B} = 56^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sin \hat{B} = \frac{A C}{A B} \Rightarrow A C = A B . \sin \hat{B} \Rightarrow A C = 50 \times \sin 56^{\circ} = 50 \times 0.829 = 41.45 \end{array}$

$\begin{array}{l} \hat{C} = 90^{\circ}, \hat{A} = 52^{\circ}, A C = 42 \\ \hat{B}, B C, A B = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ} \Rightarrow 52^{\circ} + \hat{B} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \hat{B} = 38^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan \hat{A} = \frac{B C}{A C} \Rightarrow B C = A C \cdot \tan \hat{A} \Rightarrow B C = 42 \cdot \tan 52^{\circ} \Rightarrow B C = 42 \times 1.28 \Rightarrow B C = 53.76 \end{array}$

$\cos \hat{A} = \frac{A C}{A B} \Rightarrow A B = \frac{A C}{\cos \hat{A}} \Rightarrow A B = \frac{42}{\cos 52^{\circ}} \Rightarrow A B = \frac{42}{0.615} \Rightarrow A B = 68.29$

$\begin{array}{l} \hat{C} = 90^{\circ}, B C = 18, A C = 7.5 \\ \hat{A}, \hat{B}, A B = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} \tan \hat{B} = \frac{A C}{B C} \Rightarrow \tan \hat{B} = \frac{7.5}{18} \Rightarrow \tan \hat{B} = 0.41 \Rightarrow \hat{B} ≃ 22^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sin \hat{B} = \frac{A C}{A B} \Rightarrow A B = \frac{A C}{\sin \hat{B}} \Rightarrow A B = \frac{7.5}{\sin 22^{\circ}} \Rightarrow A B \approx \frac{7.5}{0.38} \Rightarrow A B = 19.7 \end{array}$

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ} \Rightarrow \hat{A} + 22^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \hat{A} ≃ 68^{\circ}$

تمرین

در شکل زیر یک مثلث متساوی الاضلاع به ضلع $1$ رسم شده است.

ارتفاع، میانه و نیمساز مربوط به هر راس برهم منطبق و یکی از آنها در یکی از راس ها رسم شده است و دو مثلث قائم الزاویه مساوی به‌دست آمده است.

طول اضلاع و زوایای این مثلث های قائم الزاویه را حساب کنید.

در مثلث متساوی ‌الاضلاع هر سه زاویه با هم مساوی است:

$\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = 60 ° \Rightarrow \hat{A_{1}} = \hat{A_{2}} = 30 °$

طول اضلاع و زوایای این مثلث های قائم الزاویه را حساب می‌کنیم:

در مثلث قائم‌ الزاویه $H A C$ :

$H C = \frac{1}{2}, A C = 1, A H = ?$

محاسبه‌ طول اضلاع:

$\begin{array}{l} A C^{2} = A H^{2} + H C^{2} \\ \Rightarrow {(1)}^{2} = A H^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} \\ \Rightarrow 1 = A H^{2} + \frac{1}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A H^{2} = 1 - \frac{1}{4} \\ \Rightarrow A H^{2} = \frac{3}{4} \\ \Rightarrow A H = \sqrt{\frac{3}{4}} \\ \Rightarrow A H = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$

محاسبه زوایا:

$\hat{H} = 90 °, \hat{C} = 60 °, \hat{A_{2}} = 30 °$

در مثلث قائم‌ الزاویه $H A B$ :

$\begin{array}{l} A B = 1, A H = \frac{\sqrt{3}}{2}, H B = \frac{1}{2} \\ \hat{H} = 90 °, \hat{B} = 60 °, \hat{A_{2}} = 30 ° \end{array}$

سینوس و کسینوس زوایای $30$ و $60$ درجه را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} \sin 30 ° = \frac{H B}{A B} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2} \\ \cos 30 ° = \frac{A H}{1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sin 60 ° = \frac{A H}{A B} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos 60 ° = \frac{H B}{A B} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی تیر 1403

مثلث $A B C$ با اضلاع $α, 6, \sqrt{3}$ (زاویه بین آنها) قابل رسم است.

اگر مساحت این مثلث $4.5$ باشد، بیشترین مقدار $α$ چند برابر کمترین مقدار $α$ است؟

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

کنکور ریاضی 1402

در بین مثلث هایی با مساحت $30$ واحد مربع که در ضلعی به اندازه $15$ واحد مشترک هستند، کمترین مقدار محیط کدام است؟

$30$
$32$
$34$
$36$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 3

زاویه $A$ در مثلث $A B C$ برابر $120 °$ است.

مقدار $\frac{\cos (α + 30^{\circ})}{\tan α}$ کدام است؟

$\frac{1}{5}$
$\frac{2}{5}$
$\frac{3}{5}$
$\frac{4}{5}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 4

اگر $α, β$ زوایای حاده باشند و داشته باشیم:

$\begin{array}{l} \tan α = 3 \\ \cos β = \frac{4}{5} \end{array}$

حاصل $\sin (\frac{3 β + 2 α}{4})$ کدام است؟

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
$\frac{3 \sqrt{5}}{5}$
$\frac{4 \sqrt{5}}{5}$
$\frac{\sqrt{5}}{5}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 5

مثلثی به طول اضلاع زیر را در نظر بگیرید:

$2, \sqrt[6]{20 - 14 \sqrt{2}}, \sqrt[6]{20 + 14 \sqrt{2}}$

بزرگ ترین زاویه مثلث چند برابر کوچک ترین زاویه آن است؟

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 6

شکل زیر را در نظر بگیرید:

فاصله نقطه $B$ از محور $x$ ها کدام است؟

$\frac{3}{2} \sqrt{4 \sqrt{3} + 8}$
$\frac{1}{2} \sqrt{4 \sqrt{3} + 8}$
$\sqrt{4 \sqrt{3} + 8}$
$\frac{5}{2} \sqrt{4 \sqrt{3} + 8}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 7

در شکل زیر مقدار $\cos α$ چقدر است؟

$\sqrt{2}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\sqrt{2}}{3}$
$1 + \sqrt{2}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 8

مسابقات جهانی ریاضی

مطابق شکل زیر، قطرهای $A D, B E, C F$ از شش ضلعی محدب $A B C D E F$ در نقطه $T$ هم راس هستند.

عددهای داخل هر ناحیه از شکل، مساحت آن ناحیه را نشان می‌دهد.

مساحت مثلث EFT کدام است؟

$\frac{10}{3}$
$\frac{11}{3}$
$\frac{13}{3}$
$\frac{14}{3}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 9

المپیاد ریاضی

مساحت ناحیه خواسته شده در شکل زیر کدام گزینه است؟

$27$
$28$
$29$
$30$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 10

المپیاد ریاضی

در شکل زیر طول پاره خط $x$ کدام گزینه است؟

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

مثلث قائم الزاویه

14,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

مثلثات

مثلث قائم الزاویه

نسبت‌ های مثلثاتی در مثلث قائم الزاویه

زوایای متمم در مثلث قائم الزاویه

محاسبه مساحت در مثلث قائم الزاویه

حالات کلاسیک حل مثلث قائم الزاویه

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟