انواع مجموعه

آخرین ویرایش: 26 دی 1402
دسته‌بندی: مجموعه در ریاضی
امتیاز:
نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مجموعه تهی  

مجموعه‌ای را که دارای هیچ عضوی نباشد، مجموعه تهی گویند.

مجموعه‌های زیر همگی مجموعه تهی هستند زیرا هیچ عضوی ندارند:

  • مجموعه انسان‌های پرنده
  • مجموعه اعداد دو رقمی بزرگ‌تر از 100
  • عدد اولی که هم زوج باشد و هم دو رقمی باشد.
  • اعداد طبیعی کوچک ‌تر از صفر
  • اعداد طبیعی یک رقمی و اول که مضرب عدد 4 باشند.
  • اعداد اول زوج که بزرگ تر از عدد 2 باشند.

تذکر

مجموعه تهی را با  یا ∅ نمایش می‌دهند و داریم:

∅=xx≠x

توجه کنید مجموعه تهی را به‌صورت ∅ نمایش نمی‌دهند بلکه این مجموعه دارای عضوی به‌‌نام ∅ است.

تمرین

کدام یک از مجموعه های زیر، مجموعه تهی می‌باشد.

مجموعه انسان‌هایی که در کره ماه زندگی می‌کنند.

هیچ انسانی در کره‌ ماه زندگی نمی‌کند.


بنابراین مجموعه A مساوی مجموعه‌ تهی است که هیچ عضوی ندارد.

A=   =∅

B=x|x∈N,x+1=0

x+1=0⇒x=-1∉N


مجموعه فوق مساوی مجموعه‌ تهی است و هیچ عضوی ندارد.

B=   =∅

C=x|x∈N,−4<x<−7

مجموعه فوق مساوی مجموعه‌ تهی است و هیچ عضوی ندارد.


هیچ عدد طبیعی در بازه فوق، وجود ندارد.

C=   =∅

D={x∈Z|3x−2=5x−4}

⇒3x−2=5x−4⇒3x-5x=-4+2⇒-2x=-2        ⇒x=1                


D=1


این مجموعه، یک مجموعه تک عضوی است و مجموعه تهی نمی‌باشد.

E=W−N

مجموعهW را مجموعه حسابی می‌نامیم که همان مجموعه اعداد طبیعی شامل عدد 0 می‌باشد.

E={0,1,2,3,.....}-{1,2,3,.....}={0}


این مجموعه، یک مجموعه تک عضوی است و مجموعه تهی نمی‌باشد.

مجموعه یکانی

مجموعه‌‌ ای را که فقط دارای یک عضو باشد، مجموعه یکانی (مجموعه تک عضوی) گویند.

مجموعه‌های زیر همگی مجموعه یکانی هستند زیرا فقط یک عضو دارند:

  • عددهای طبیعی بین 25 و 27 یعنی مجموعه 26 که فقط یک عضو دارد.
  • عددهای طبیعی زوج که اول باشند یعنی مجموعه 2 که فقط یک عضو دارد.
  • شمارنده‌های اول عدد 13 یعنی مجموعه 13 که فقط یک عضو دارد.

تذکر

1- تعداد عضوهای مجموعه A را به‌صورت nA نمایش می‌دهند که به آن عدد اصلی مجموعه A گفته می‌شود.

بدیهی است که n∅=0 است. 

2- مجموعه تهی، هیچ عضوی ندارد و تعداد اعضای آن، صفر است. به همین دلیل، مجموعه تهی یک مجموعه یکانی نیست.  

مجموعه متناهی و نامتناهی

تعریف مجموعه متناهی

مجموعه A را متناهی گویند هرگاه اعضای آن قابل شمارش تا انتها باشد.

مجموعه‌های زیر همگی مجموعه متناهی هستند:

  • مجموعه‌ اعداد طبیعی یک رقمی، متناهی است و 9 عضو دارد.
  • مجموعه‌ حروف الفبای فارسی، متناهی است و 32 عضو دارد.
  • مجموعه‌ سیارات منظومه شمسی، متناهی است و 8 عضو دارد. 

تذکر

مجموعه‌ تهی، یک مجموعه متناهی محسوب می‌شود و تعداد اعضای آن صفر است.

نکته

برخی مجموعه‌ها اگر چه متناهی هستند، اما مجموعه های بزرگی هستند که تعداد اعضای آنها را نمی‌دانیم، مانند:

مجموعه‌ مورچگان کره زمین 

مجموعه اتم‌ های مواد تشکیل دهنده کره زمین

مجموعه انسان ‌هایی که در کل تاریخ زیسته‌اند.

مجموعه درختان کره زمین

 تعریف مجموعه نامتناهی

مجموعه A را نامتناهی گویند هرگاه اعضای آن قابل شمارش تا انتها نباشد.

مجموعه‌های زیر همگی مجموعه نامتناهی هستند:

  • مجموعه نقاط یک خط راست، نامتناهی است.
  • مجموعه اعداد طبیعی زوج، نامتناهی است.
  • مجموعه اعداد حقیقی در بازه 0,1 یک مجموعه نامتناهی است. 

متناهی یا نامتناهی بودن هر یک از مجموعه های زیر را مشاهده می‌کنید:

تمرین

متناهی یا نامتناهی بودن مجموعه‌های زیر را مشخص کنید.

A=​4n    n∈ℕ

​41,42,43,...=​4,8,12,...


این مجموعه نامتناهی است.

مجموعه اعداد طبیعی 100 رقمی

مجموعه، متناهی است زیرا قابل شمارش است.

مجموعه اعداد اول

P=​2,3,5,7,11,13,...


مجموعه اعداد اول، نامتناهی است.

مجموعه اعداد اعشاری بین دو عدد 0.1 و 0.3

این مجموعه نامتناهی است.

A=x|x∈Z ,  x2<10

A=-3,-2,-1,0,1,2,3


مجموعه، متناهی است زیرا قابل شمارش است.

B=x|x∈Z ,  1<x<10

B=2,3,4,5,6,7,8,9


مجموعه، متناهی است زیرا قابل شمارش است.

C=x|x∈R   ,  −1<x<1 

مجموعه، نامتناهی است زیرا غیر قابل شمارش است.

مجموعه مرجع

در هر بحث ریاضی، تمام مجموعه‌های مورد نظر را می‌توان زیر مجموعه یک مجموعه در نظر گرفت که این مجموعه را مجموعه مرجع می‌نامیم و آن را با M یا U نشان می‌دهند.

به عنوان نمونه:

  • مجموعه اعداد حقیقی R برای بررسی همه اعداد (به غیر از اعداد مختلط) یک مجموعه مرجع به حساب می‌آید.
  • مجموعه حروف الفبای فارسی، برای بررسی همه حروف فارسی، یک مجموعه مرجع به حساب می‌آید. 
  • مجموعه تمام مضرب های طبیعی عدد 5 یک مجموعه مرجع به حساب می‌آید. 

تذکر

1- مجموعه مرجع (مجموعه جهانی) یک مجموعه ای است که تمام مجموعه ‌های دیگر یا اشیائی که می‌خواهیم معرفی کنیم یا روی آنها عملیاتی انجام دهیم باید عضو آن مجموعه باشند.

2- به‌ وضوح پیداست که مجموعه مرجعِ چند مجموعه خاص، لزوما منحصربه‌فرد نیست. 

مجموعه راسل Russlls  Paradox

بيشتر مجموعه‌ها عناصری از نوع خودشان ندارند.

برای نمونه مجموعه همه اعداد صحيح يک عدد صحيح نمی‌باشد يا مجموعه همه اسب های شناسايی شده، يک اسب نيست.

با اين وجود برخی از مجموعه ها دارای عناصری از نوع خودشان هستند برای نمونه، مجموعه همه ايده‌های افراد يک ايده می‌باشد.

اجازه دهيد S مجموعه‌ای از همه مجموعه‌هایی باشد كه عناصرشان از نوع خودشان نمی‌باشند:

S=A/A  is a set an d A∈A

سوالی كه مطرح می‌شود اين است كه آيا S يک عنصر از خودش است يا نه؟ جواب اين سوال نه مثبت است و نه منفی.

زيرا اگر S∈S باشد، آن‌گاه S خواص تعريف شده برای S را دارا می‌باشد، يعنی S∈S.

اما اگر S∈S آن‌گاه S يک مجموعه‌ای است كه S∈S و S خواص تعريف شده برای S را دارا می‌باشد يعنی S∈S.

توجه كنيد كه يكی از Sها عنصر و ديگری مجموع می‌باشد. به يک تناقض رسيديم يعنی S∈S و S∈S اين تناقض به پاردوکس راسل معروف است.                

برای ارسال نظر وارد سایت شوید