سرفصل‌های این مبحث

مجموعه در ریاضی

استفاده از علائم ریاضی

آخرین ویرایش: 17 بهمن 1402

دسته‌بندی: مجموعه در ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

در زیر متناظر با هر عبارت، یک مجموعه را مشخص می کنیم:

اعداد طبیعی مضرب $5$ و کوچک تر از $100$

$\{5, 10, 15, 20, ..., 95\}$

اعداد طبیعی بزرگ تر از $4$ و کوچک تر از $5$

$\{\} = \emptyset$

همان‌طور که مشاهد کردید، برای عبارات فوق از علائم ریاضی استفاده کردیم.

تعریف

برای استفاده از علائم ریاضی، از یک متغیر و گزاره‌نمایی که بیان کننده خاصیت مشترک اعضای مجموعه است در داخل آکولاد استفاده می‌شود و آن را به‌صورت زیر نشان می‌دهیم:

$A = \{x |p (x)\}$

اعضای $A$ عناصری هستند که در گزاره‌نمای $p (x)$ صدق می‌کنند.

به عنوان نمونه در مجموعه زیر:

$A = \{x |x = 2 k, k \in z\}$

گزاره‌نما به صورت زیر تعریف می‌شود:

$x = 2 k; k \in z$

نکته

گزاره‌‌نما

هر عبارتی که شامل متغیر باشد، گزاره‌‌نما نامیده می‌شود.

هرگاه به‌جای متغیری، عضوی مانند $a \in M$ را قرار دهیم گزاره‌نما تبدیل به یک گزاره می‌شود که ممکن است درست یا نادرست باشد.

مجموعه جواب

اگر بخواهیم از روی مجموعه با نماد ریاضی، مجموعه‌ای را با اعضای آن به شکل تفضیلی نشان دهیم، کافی است که گزاره‌ نمای داخل آکولاد را حل کنیم و مجموعه جواب آن را به دست آوریم.

این مجموعه جواب همان مجموعه با نمایش تفضیلی است.

تذکر

به مجموعه $A = \{x | x \in W, 2^{x} \in W\}$ توجه کنید، گاهی اوقات می‌توان مجموعه را به‌صورت زیر هم نشان داد:

$A = \{2^{x} | x \in W\}$

تمرین

هر یک از عبارات زیر را با نماد ریاضی بنویسید و با نوشتن اعضای آن، آنها را مشخص کنید.

مجموعه اعداد صحیحی که دو برابر آنها بزرگ‌تر از $(- 4)$ و کوچک‌تر از $(5)$ است.

$\begin{matrix} A \\ = \{ x |x \in ℤ, - 4 < 2 x < 5\} \\ = \{ - 1, 0, 1, 2\} \end{matrix}$

مجموعه اعداد صحیحی که قدر مطلق آنها برابر $2$ است.

$\begin{matrix} B \\ = \{ x |x \in ℤ, |x| = 2\} \\ = \{ 2, - 2\} \end{matrix}$

تمرین

هر یک از مجموعه‌های زیر را با نماد (علائم) ریاضی بنویسید.

$A = \{ 2, 4, 8, 16, 32, ...\}$

$A = \{ 2^{1}, 2^{2}, 2^{3}, 2^{4}, 2^{5}, ...\} = \{ 2^{x} |x \in ℕ\}$

$B = \{ 3, 6, 9, 12, 15, 18\}$

$B = \{ 3 \times 1, 3 \times 2, 3 \times 3, 3 \times 4, 3 \times 5, 3 \times 6\} = \{ 3 x |x \in ℕ, x \leq 6\}$

$F = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$

$F$ مجموعه مقسوم عليه های عدد $12$ است:

$F = \{x | x \in N, \frac{12}{x} \in N\}$

$A = \{2, 4, 6, 8, 10, ...\}$

$A = \{x |x = 2 k, k \in N\}$

$D = \{0, 1.4, 9, ....\}$

$D = \{x |x \in w, x^{2} \in w\}$

$H = \{4, 8, 12, ...\}$

$\begin{array}{l} x = m k + c \Rightarrow \{\begin{array}{l} i f k = 1 \Rightarrow 4 = m + c \\ i f k = 2 \Rightarrow 8 = 2 m + c \end{array}〉 \{\begin{array}{l} x = 0 \\ m = 4 \end{array}〉 x = 4 k \end{array}$

$H = \{x |x = 4 k; k \in N\}$

$A = \{- 25, - 5, - 1, 1, 5, 25\}$

$A = \{x |x \in Z, \frac{25}{x} \in Z\}$

$A = \{1, 2, 4, 8, 16, \cdot \cdot \cdot\}$

دقيقا نمی‌توان برای اين گونه مثال ها روش كلی ارائه كرد.

از روی اعداد داده شده بايد ارتباط بين آنها را حدس زد.

در اينجا تمام اعداد متعلق به $A$ را می‌توان به‌صورت توانی از عدد $2$ نوشت:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} 1 = 2^{0} \\ 2 = 2^{1} \\ 4 = 2^{2} \\ 8 = 2^{3} \\ 16 = 2^{4} \end{cases} \\ A = \{2^{x} | x \in W\} \end{array}$

یادآوری) مجموعه زیر را مجموعه حسابی گويند.

$W = \{0, 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot\}$

$B = \{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \cdot \cdot \cdot\}$

$B = \{\frac{x}{x + 1} | x \in N\}$

$C = \{0, 3, 6, 9, \cdot \cdot \cdot\}$

$C = \{3 k | k \in W\}; W = \{0, 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot\}$

$D = \{\cdot \cdot \cdot, - 10, - 5, 0, 5, 10, \cdot \cdot \cdot\}$

$D = \{5 k | k \in Z\}$

$G = \{\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8\}$

$\begin{array}{l} G = \{\frac{1}{2^{3}}, \frac{1}{2^{2}}, \frac{1}{2^{1}}, 2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, 2^{3}\} = \{2^{- 3}, 2^{- 2}, 2^{- 1}, 2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, 2^{3}\} \end{array}$

$G = \{2^{x} | x \in Z, - 3 \leq x \leq 3\}$

$\begin{array}{l} E = \{9, 99, 999, ...\} \end{array}$

$E = \{10^{x} - 1| x \in N\}$

$E = \{2, 11, 101, 1001, ...\}$

$F = \{10^{x} + 1 |x \in W\}$

$E = \{1, 5, 9, 13, \cdot \cdot \cdot\}$

$E = \{4 k + 1 | k \in W\}$

$H = \{\frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \cdot \cdot \cdot\}$

$H = \{{(\frac{2}{3})}^{n} | n \in N\}$

$\begin{array}{l} I = \{\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, \cdot \cdot \cdot\} \end{array}$

$I = \{2^{n} | n \in Z, n \geq - 2\}$

$J = \{2, 6, 12, 20, \cdot \cdot \cdot\}$

$J = \{n (n + 1) | n \in N\}$

$\begin{array}{l} K = \{\frac{1}{3}, \frac{3}{5}, \frac{5}{7}, \frac{7}{9}, \cdot \cdot \cdot\} \end{array}$

$K = \{\frac{2 n - 1}{2 n + 1} | n \in N\}$

$\begin{array}{l} B = \{\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}\} \end{array}$

$B = \{\frac{1}{2^{x}} |x \in N, 1 \leq x \leq 4\}$

$C = \{\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, ...\}$

$C = \{\frac{1}{x (x + 1)} |x \in N\}$

$B = \{0, 1, 3, 7, ..\}$

$B = \{2^{x} - 1 |x \in W\}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

استفاده از علائم ریاضی

5,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

مجموعه

استفاده از علائم ریاضی

مقدمه

تعریف

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟