مقدمه
مفهوم مجموعه نقش بسیار مهمی در همه شاخه‌های ریاضیات نوین بازی می‌کند.
درک واقعی هر شاخه از ریاضیات نوین، به آگاهی از نظریه مجموعهها نیاز دارد، زیرا این نظریه بیان مشترک زمینه‌های گوناگون ریاضیات است.
مجموعهها را برای گروه‌بندی چیزهای متمایز به کار می‌گیرند.
چیزهایی که به مجموعهای تعلق دارند باید خوش تعریف باشند، به این معنی که در تشخیص این‌که آن چیز خاص به مجموعهای تعلق دارد یا نه، نباید هیچ ابهامی وجود داشته باشد.
لزومی ندارد اشیایی که به یک مجموعه تعلق دارند دارای خاصیتی مشترک باشند.
تعریف یک مجموعه
مجموعه از مفاهیم تعریف نشده در ریاضیات است؛ یعنی تعریف دقیق و مشخصی از آن نمی‌توان ارائه کرد.
اما اگر کمی بیشتر در مورد ویژگی‌های آن صحبت کنیم، منظورمان از کلمه مجموعه روشن‌تر می‌شود.
مجموعه را می‌توان دسته یا گروهی از اشیا، اعداد، حروف یا ... گردآوری شده دانست.
هر مجموعه را با حروف بزرگ انگلیسی نشان می‌دهند و این چیزها که مجموعه را تشکیل داده‌اند، عضوهای مجموعه یا عناصر نامیده می‌شوند.
عضوهای مجموعه باید مشخص و متمایز باشند و عضوهای تکراری را یک عضو در نظر گرفت.
برای نخستین بار مفهوم مجموعه به وسیله یک ریاضیدان آلمانی، به نام گئورک کانتور در اواخر قرن نوزدهم ارائه شد.
نظریه مجموعه‌‌های متکی بر دیدگاه او را نظریه طبیعی مجموعهها می‌نامند.
نکته
در بسیاری از کتب ریاضی، از مجموعه به‌عنوان گروه یا دسته‌ای از اشیا نام برده شده است.
اگر بگوییم مجموعه، گروهی از اشیا است، باید بگوئیم گروه چیست؟ آیا می‌توانیم گروه را تعریف کنیم؟
در واقع چاره‌ای نیست جز آن‌که مانند سیمورلیپ شوتز ریاضی دان معاصر بگوییم:
در همه شاخه‌های ریاضی مجموعه یک مفهوم بنیادی است.
به‌عبارت دیگر مجموعه جز نخستین تعریف نشده‌ها است، مانند مفاهیمی چون نقطه و خط در هندسه، که برای آنها تعریف دقیقی نداریم ولی آنها را با اثر خود می‌شناسیم.
تمرین
آیا پنج حرف نخست الفبای انگلیسی، مجموعهای تشکیل می‌دهند؟
بله.
می‌توان آن را در قالب نمادها به‌صورت مجموعه زیر نمایش داد.
یک شی دل‌خواه به این مجموعه تعلق دارد اگر و فقط اگر یکی از این پنج حرف باشد.
در این نمایش، این پنج شی متمایز مذکور می‌توانند به هر ترتیبی ظاهر شوند، به‌عبارت دیگر این مجموعه را با نیز می‌توان نمایش داد.
آیا حروف الفبای فارسی بی‌‌نقطه، مجموعهای تشکیل می‌دهند؟
بله.
ا ، ی ، م ، ک ، گ، ل، س، ص، ع ، ه ، ح ، ط ، ر ، د ، و
آیا سیارات منظومه شمسی، مجموعهای تشکیل می‌دهند؟
بله.
عطارد ، زهره ، زمین ، مریخ ، مشتری ، زحل ، اورانوس ، نپتون
آیا اعداد طبیعی یک رقمی زوج، مجموعهای تشکیل می‌دهند؟
بله.
آیا انسا‌ن‌های قد بلند، مجموعهای تشکیل می‌دهند؟
خیر.
انسا‌ن‌های قد بلند مجموعهای را مشخص نمی‌کند، زیرا چنین انسان‌هایی به‌طور دقیق مشخص نشده‌اند و برای برخی انسان‌ها نمی‌توانیم بگوییم قد بلند هستند یا نه.
آیا اعداد طبیعی و تک رقمی، مجموعهای تشکیل می‌دهند؟
بله.
اعداد طبیعی و تک رقمی یک مجموعه را مشخص می‌کند و این مجموعه به‌صورت زیر می‌باشد:
آیا عبارت چهار شاعر ایرانی، مجموعهای تشکیل می‌دهند؟
خیر.
عبارت چهار شاعر ایرانی یک مجموعه را مشخص نمی‌کند، زیرا اعضای آن کاملا مشخص نمی‌باشد.
آیا عبارت دو عدد اول کوچک‌تر از ، مجموعهای تشکیل می‌دهند؟
خیر.
عبارت دو عدد اول کوچک‌تر از یک مجموعه را مشخص نمی‌کند، زیرا اعضای آن کاملا مشخص نمی‌باشد.
آیا عبارت چهار عدد فرد متوالی، مجموعهای تشکیل می‌دهند؟
خیر.
عبارت چهار عدد فرد متوالی یک مجموعه را مشخص نمی‌کند، زیرا اعضای آن کاملا مشخص نمی‌باشد.
آیا عبارت سه عدد طبیعی زوج متوالی با شروع از ، مجموعه ای تشکیل می‌دهند؟
بله.
این مجموعه به‌صورت است.
آیا عبارت اعداد اول کوچک‌تر از ، مجموعهای تشکیل می‌دهند؟
بله.
این مجموعه به‌صورت زیر است:
آیا عبارت اعداد طبیعی بین و ، مجموعهای تشکیل می‌دهند؟
بله.
این مجموعه به‌صورت مجموعه تهی مشخص می‌شود.
تمرین
معلم پرسید:
آیا عبارت "چهار عدد زوج متوالی" یک مجموعه را نشان می‌دهد؟
دانش آموز گفت بله، مثلا .
به‌نظر شما آیا پاسخ او صحیح بوده است؟
ما بی‌نهایت مجموعه داریم که چهار عدد زوج متوالی را نشان می‌دهد.
درست است که مجموعه چهار عدد زوج متوالی است اما کدام چهار عدد زوج متوالی؟ جواب دانش‌آموز صحیح نیست.
اگر معلم می‌پرسد چهار عدد زوج متوالی طبیعی یک‌رقمی را نشان دهید، آن‌گاه جواب دانش‌آموز صحیح است.
