مجموعه هایی که در زیر به معرفی آنها می‌پردازیم، مجموعه هایی هستند که در ریاضیات با آن سر وکار خواهیم داشت و برای آنها نمادهای بخصوصی وضع می‌کنیم تا با مجموعه های دیگر اشتباه نشوند.
مجموعه اعداد طبیعی
انسان های اولیه برای شمردن اشیاء پیرامون خود، اعدادی را اختراع کردند که وابسته به طبیعت بودند و براین اساس این اعداد را با نام مجموعه اعداد طبیعی می‌شناسیم.
مشخص است که چنین مجموعه اعدادی برای شمارش هویت‌های طبیعی به کار گرفته می‌شود که البته بسیار ملموس نیز هستند.
اعداد طبیعی، اعدادی هستند که برای شمردن به کار می‌روند.
نکته
1- در ریاضیات این مجموعه را با نماد نمایش می‌دهند که ابتدای کلمه است.
2- این مجموعه، نامتناهی بوده ولی شمارش‌پذیر است. به این معنی که انتهایی برای این مجموعه نمی‌توان در نظر گرفت ولی اعضای بین هر دو عضو دل‌خواه آن، شمارش‌پذیر است.
3- در تعریفِ مجموعه اعداد طبیعی، یک رابطه ترتیبی نیز در نظر گرفته شده است. بزرگی و کوچکی اعداد در این مجموعه باعث بوجود آمدن یک ترتیب در آن می‌شود.
4- در مشخص کردن اعضای یک مجموعه، ترتیب قرارگرفتن اعضا مهم نیست ولی اغلب برای نمایش مجموعه اعداد طبیعی، اعضای آن را به‌ترتیب از کوچک به بزرگ، کنار یکدیگر می‌نویسند.
مجموعه اعداد حسابی
اعداد حسابی همان اعداد طبیعی هستند که صفر هم به آنها اضافه شده است.
مجموعه اعداد صحیح
اگر دو عدد طبیعی را از یکدیگر کم کنید، ممکن است حاصلِ تفریق، به مجموعه اعداد طبیعی تعلق نداشته باشد.
به این دلیل ریاضی دانان در صده‌های گذشته، به دنبال مجموعه ای از اعداد بودند که مطمئن باشند، حاصل تفریق دو عدد، در آن مجموعه نیز شناخته شده است.
اعداد صحیح، شامل اعداد طبیعی و قرینه آن اعداد به همراه عدد صفر است.
نکته
1- مجموعه اعداد صحیح با علامت نشان داده می‌شود. علامت از ابتدای کلمه آلمانی به معنی عدد گرفته شده است.
2- این مجموعه اعداد شامل صفر، اعداد طبیعی و اعداد منفی (قرینه اعداد مثبت) است.
3- مجموعه اعداد طبیعی زیر مجموعه ای از اعداد صحیح می‌باشند.
4- عدد صفر، نه مثبت است و نه منفی به همین جهت آن را در مجموعه اعداد صحیح مثبت یا اعداد صحیح منفی مشخص نمی‌کنند.
مجموعه اعداد گویا
اعداد گویا اعدادی هستند که آنها را می‌توان به صورت یک کسر و حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر یکدیگر بیان کرد.
نکته
مجموعه اعداد گویا معمولا با حرف نمایش داده می‌شوند.
انتخاب از ابتدای کلمه ایتالیاییِ به معنای خارج قسمت، اخذ شده است.
مجموعه اعداد گنگ
اعداد گنگ (اصم) اعدادی هستند که آنها را نمی‌توان را به صورت یک کسر نمایش داد و به‌صورت زیر تعریف می‌شوند:
گاهی اعداد گنگ را با نشان می‌دهند.
اعداد زیر، گنگ هستند:
نکته
اعداد گنگ اعدادی هستند که گویا نباشند و نتوان آنها را به‌صورت حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر یکدیگر بیان کرد.
مجموعه اعداد حقیقی
اعداد حقیقی به مجموعه همه اعداد گویا و اعداد گنگ با یکدیگر در دستگاه اعداد گفته می‌شود.
نکته
همان‌طور که ملاحظه می‌شود رابطه زیر ، زیر مجموعه بودن بین این مجموعه‌ها را نمایش می‌دهد:
به عبارت دیگر تمام مجموعه‌های اعدادی که تاکنون با آنها آشنا شده‌ایم، زیر مجموعه‌هایی از اعداد حقیقی‌اند، در نتیجه هر عدد دل‌خواهی را که در نظر بگیریم، باید جایی روی محور اعداد حقیقی داشته باشد و هم‌چنین هر نقطه روی این محور نشان دهنده یک عدد حقیقی مشخص است.
تمرین
مشخص می‌کنیم که هر کدام از موارد زیر متعلق به اعداد طبیعی یا اعداد حقیقی است:
