سرفصل‌های این مبحث

بردار در صفحه

جمع بردارها

آخرین ویرایش: 15 دی 1402

دسته‌بندی: بردار در صفحه

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مفهوم انتقال در جمع بردارها

فرض کنید می‌خواهیم نقاط یک صفحه را ابتدا تحت بردار زیر:

$\vec{x} = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}]$

و سپس تحت بردار زیر انتقال می‌دهیم.

$\vec{y} = [\begin{array}{l} c \\ d \end{array}]$

بدیهی است که می‌خواهیم طول هر نقطه از صفحه را از ابتدا $a$ واحد و سپس $c$ واحد جابه‌جا کنیم که کافی است این کار را یک‌سره به‌اندازه $a + c$ انجام دهیم.

در مورد عرض نقاط نیز می‌توان یک‌سره به‌اندازه $b + d$ واحد انتقال داد، پس نتیجه جمع دو بردار $\vec{x}$ و $\vec{y}$ برداری مانند زیر است:

$\vec{x} + \vec{y} = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}] + [\begin{array}{l} c \\ d \end{array}] = [\begin{array}{l} a + c \\ b + d \end{array}] = \vec{z}$

نکته

1- اگر $\vec{x} = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}]$ و $\vec{y} = [\begin{array}{l} c \\ d \end{array}]$ دو بردار باشند:

جمع دو بردار خاصیت جابه‌جایی دارد.

$\begin{array}{l} \vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x} \end{array}$

$\vec{x} + \vec{y} = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}] + [\begin{array}{l} c \\ d \end{array}] = [\begin{array}{l} a + c \\ b + d \end{array}] = [\begin{array}{l} c + a \\ d + b \end{array}] = [\begin{array}{l} c \\ d \end{array}] + [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}] = \vec{y} + \vec{x}$

جمع هر بردار با قرینه‌اش، بردار صفر است.

$\begin{array}{l} \vec{x} + (- \vec{x}) = \vec{0} \end{array}$

$\vec{x} + (- \vec{x}) = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}] + (- [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}]) = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}] + [\begin{array}{l} - a \\ - b \end{array}] = [\begin{array}{l} a + (- a) \\ b + (- b) \end{array}] = [\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}] = \vec{0}$

2- اگر نقطه $A = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}]$ را $k$ بار با بردار $\vec{u} = [\begin{array}{l} m \\ n \end{array}]$ انتقال دهیم، نقطه $A^{'} = [\begin{array}{l} a + k m \\ b + k n \end{array}]$ به‌دست می‌آید:

$\begin{matrix} k \vec{u} = k [\begin{array}{l} m \\ n \end{array}] = [\begin{array}{l} k m \\ k n \end{array}] \end{matrix}$

$A + k \vec{u} = A^{'} \Rightarrow A^{'} = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}] + [\begin{array}{l} k m \\ k n \end{array}] \Rightarrow A^{'} = [\begin{array}{l} a + k m \\ b + k n \end{array}]$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$\vec{a} = [\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}], \vec{b} = [\begin{matrix} - 3 \\ 4 \end{matrix}]$

مختصات بردارهای زیر را بیابید:

$\begin{array}{l} \vec{a} + \vec{b} \end{array}$

$\begin{array}{l} \vec{a} + \vec{b} = [\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}] + [\begin{array}{l} - 3 \\ 4 \end{array}] = [\begin{array}{l} 2 + (- 3) \\ 3 + 4 \end{array}] = [\begin{array}{l} - 1 \\ 7 \end{array}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \vec{b} + \vec{a} \end{array}$

$\vec{b} + \vec{a} = [\begin{array}{l} - 3 \\ 4 \end{array}] + [\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}] = [\begin{array}{l} - 3 + 2 \\ 4 + 3 \end{array}] = [\begin{array}{l} - 1 \\ 7 \end{array}]$

$\begin{array}{l} \vec{a} + (- \vec{a}) \end{array}$

$\vec{a} + (- \vec{a}) = [\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}] + (- [\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}]) = [\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}] + [\begin{array}{l} - 2 \\ - 3 \end{array}] = [\begin{array}{l} 2 + (- 2) \\ 3 + (- 3) \end{array}] = [\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}]$

$\begin{array}{l} 2 \vec{a} + 3 \vec{b} \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 \vec{a} + 3 \vec{b} = 2 [\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}] + 3 [\begin{array}{l} - 3 \\ 4 \end{array}] = [\begin{array}{l} 2 (2) \\ 2 (3) \end{array}] + [\begin{array}{l} 3 (- 3) \\ 3 (4) \end{array}] = [\begin{array}{l} 4 \\ 6 \end{array}] + [\begin{array}{l} - 9 \\ 12 \end{array}] = [\begin{array}{l} 4 + (- 9) \\ 6 + 12 \end{array}] = [\begin{array}{l} - 5 \\ 18 \end{array}] \end{array}$

$- 3 \vec{a} - 5 \vec{b}$

$- 3 \vec{a} - 5 \vec{b} = - 3 [\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}] + (- 5 [\begin{array}{l} - 3 \\ 4 \end{array}]) = [\begin{array}{l} - 6 \\ - 9 \end{array}] + [\begin{array}{l} 15 \\ - 20 \end{array}] = [\begin{array}{l} - 6 + 15 \\ - 9 + (- 20) \end{array}] = [\begin{array}{l} 9 \\ - 29 \end{array}]$

تمرین

نقاط زیر مفروض هستند:

$A = [\begin{array}{l} 5 \\ - 3 \end{array}], B = [\begin{array}{l} 2 \\ - 3 \end{array}], C = [\begin{array}{l} 4 \\ - 2 \end{array}]$

مختصات رئوس مثلث $A B C$ را توسط بردار زیر در صفحه مختصات انتقال داده‌ايم تا مثلث $A' B' C'$ به‌دست آيد.

$\vec{a} = [\begin{array}{l} - 3 \\ 5 \end{array}]$

مختصات $A^{'} B^{'} C^{'}$ را مشخص كنيد.

$\begin{array}{l} A^{'} = A + \vec{a} = [\begin{array}{l} 5 \\ - 3 \end{array}] + [\begin{array}{l} - 3 \\ 5 \end{array}] = [\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}] \Rightarrow A^{'} = [\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}] \end{array}$

$\begin{array}{l} B^{'} = B + \vec{a} = [\begin{array}{l} 2 \\ - 3 \end{array}] + [\begin{array}{l} - 3 \\ 5 \end{array}] = [\begin{array}{l} - 1 \\ 2 \end{array}] \Rightarrow B^{'} = [\begin{array}{l} - 1 \\ 2 \end{array}] \end{array}$

$C^{'} = C + \vec{a} = [\begin{array}{l} 4 \\ - 2 \end{array}] + [\begin{array}{l} - 3 \\ 5 \end{array}] = [\begin{array}{l} 1 \\ 3 \end{array}] \Rightarrow C^{'} = [\begin{array}{l} 1 \\ 3 \end{array}]$

مثلث های $A B C$ و $A^{'} B^{'} C^{'}$ را در يک دستگاه مختصات رسم كنيد.

تمرین

مختصات سه راس مثلثی عبارتند از:

$O = [\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}], A = [\begin{array}{l} - 3 \\ - 5 \end{array}], B = [\begin{array}{l} 0 \\ - 5 \end{array}]$

مثلث $A O B$ را ده بار با بردار زیر انتقال دهيد.

$\vec{a} = [\begin{array}{l} - 2 \\ 3 \end{array}]$

$\begin{array}{l} 10 \vec{a} = 10 \times [\begin{array}{l} - 2 \\ 3 \end{array}] = [\begin{array}{l} - 20 \\ 30 \end{array}] \end{array}$

$\begin{array}{l} O^{'} = O + (10 \vec{a}) = [\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{l} - 20 \\ 30 \end{array}] = [\begin{array}{l} - 20 \\ 30 \end{array}] \end{array}$

$\begin{array}{l} A^{'} = A + (10 \vec{a}) = [\begin{array}{l} - 3 \\ - 5 \end{array}] + [\begin{array}{l} - 20 \\ 30 \end{array}] = [\begin{array}{l} - 23 \\ 25 \end{array}] \end{array}$

$B^{'} = B + (10 \vec{a}) = [\begin{array}{l} 0 \\ - 5 \end{array}] + [\begin{array}{l} - 20 \\ 30 \end{array}] = [\begin{array}{l} - 20 \\ 25 \end{array}]$

تمرین

نقاط زیر را در نظر بگیرید:

$A = [\begin{array}{l} 2 \\ - 3 \end{array}], A^{'} = [\begin{array}{l} - 2 \\ 6 \end{array}]$

نقطه $A$ توسط بردار $\vec{A A'}$ به نقطه $A'$ منتقل شده است.

مختصات $\vec{A A'}$ را بیابید.

$\vec{A A^{'}} = A^{'} - A \Rightarrow \vec{A A^{'}} = [\begin{array}{l} - 2 \\ 6 \end{array}] - [\begin{array}{l} 2 \\ - 3 \end{array}] = [\begin{array}{l} - 4 \\ 9 \end{array}]$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$A = [\begin{array}{l} 1 \\ - 2 \end{array}], \vec{u} = [\begin{array}{l} - 3 \\ - 5 \end{array}]$

نقطه $A$ را تحت بردار $\vec{u}$ به طور متوالی $15$ بار انتقال می‌دهيم.

مختصات نقطه جدید را بیابید.

$\begin{array}{l} 15 \vec{u} = 15 [\begin{array}{l} - 3 \\ - 5 \end{array}] = [\begin{array}{l} - 45 \\ - 75 \end{array}] \\ A + (15 \vec{u}) = A^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [\begin{array}{l} 1 \\ - 2 \end{array}] + [\begin{array}{l} - 45 \\ - 75 \end{array}] = A^{'} \\ \Rightarrow A^{'} = [\begin{array}{l} - 44 \\ - 77 \end{array}] \end{array}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$A = [\begin{array}{l} 1 \\ - 1 \end{array}], \vec{a} = [\begin{array}{l} 0 / 2 \\ 0 / 3 \end{array}], \vec{b} = [\begin{array}{l} 1 / 5 \\ 1 \end{array}]$

نقطه $A$ را $20$ بار تحت بردار $\vec{a}$ و $10$ بار تحت بردار $\vec{b}$ انتقال داده‌ايم.

مختصات نقطه جدید را بیابید.

$\begin{array}{l} 20 \vec{a} = 20 \times [\begin{array}{l} 0 / 2 \\ 0 / 3 \end{array}] = [\begin{array}{l} 4 \\ 6 \end{array}] \\ 10 \vec{b} = 10 \times [\begin{array}{l} 1 / 5 \\ 1 \end{array}] = [\begin{array}{l} 15 \\ 10 \end{array}] \end{array}$

$\begin{array}{l} A + 20 \vec{a} = A^{'} \Rightarrow A^{'} = [\begin{array}{l} 1 \\ - 1 \end{array}] + [\begin{array}{l} 4 \\ 6 \end{array}] \Rightarrow A^{'} = [\begin{array}{l} 5 \\ 5 \end{array}] \end{array}$

$A^{'} + 10 \vec{b} = {A^{'}}^{'} \Rightarrow {A^{'}}^{'} = [\begin{array}{l} 5 \\ 5 \end{array}] + [\begin{array}{l} 15 \\ 10 \end{array}] \Rightarrow {A^{'}}^{'} = [\begin{array}{l} 20 \\ 15 \end{array}]$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

جمع نظیر بردار

اگر نقطه $A = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}]$ تحت بردار $\vec{a} = [\begin{array}{l} x \\ y \end{array}]$ به نقطه $B = [\begin{array}{l} c \\ d \end{array}]$ منتقل شده باشد، جمع نظیر $\vec{a}$ به‌صورت زیر است:

$A + \vec{a} = B \Rightarrow [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}] + [\begin{array}{l} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{l} c \\ d \end{array}]$

فرمول فوق بیان می‌کند که مجموع مختصات ابتدا و مختصات بردار، برابر با مختصات انتها است.

نکته

برای یافتن مختصات هر بردار در دستگاه مختصات دکارتی، کل بردار را روی محور $x$ ها تصویر می‌کنیم.

هر تعداد واحدی که تصویرش روی محور $x$ ها بپوشاند را به‌عنوان اندازه طول این بردار در نظر می‌گیریم.

برای تعیین مثبت یا منفی بودن این اندازه، اگر فلش هم‌جهت با قسمت مثبت محور $x$ ها باشد، مثبت در نظر گرفته می‌شود.

در مورد اندازه عرض این بردار هم به‌همین صورت عمل می‌شود.

تمرین

نمودار زیر را در نظر بگیرید:

مختصات هر بردار را تعیین کنید و سپس جمع متناظر با آن را بنویسید.

$\begin{array}{l} \vec{A B} = [\begin{array}{l} 1 \\ 4 \end{array}]; [\begin{array}{l} - 3 \\ 1 \end{array}] + [\begin{array}{l} 1 \\ 4 \end{array}] = [\begin{array}{l} - 2 \\ 5 \end{array}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \vec{C D} = [\begin{array}{l} - 3 \\ 5 \end{array}]; [\begin{array}{l} - 2 \\ - 4 \end{array}] + [\begin{array}{l} - 3 \\ 5 \end{array}] = [\begin{array}{l} - 5 \\ 1 \end{array}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \vec{E F} = [\begin{array}{l} - 5 \\ 0 \end{array}]; [\begin{array}{l} - 2 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{l} - 5 \\ 0 \end{array}] = [\begin{array}{l} - 7 \\ 0 \end{array}] \end{array}$

$\vec{M N} = [\begin{array}{l} 0 \\ - 6 \end{array}]; [\begin{array}{l} - 1 \\ 3 \end{array}] + [\begin{array}{l} 0 \\ - 6 \end{array}] = [\begin{array}{l} - 1 \\ - 3 \end{array}]$

$\begin{array}{l} \vec{G H} = [\begin{array}{l} 1 \\ - 6 \end{array}]; [\begin{array}{l} 3 \\ 7 \end{array}] + [\begin{array}{l} 1 \\ - 6 \end{array}] = [\begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \vec{I J} = [\begin{array}{l} 1 \\ 4 \end{array}]; [\begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}] + [\begin{array}{l} 1 \\ 4 \end{array}] = [\begin{array}{l} 6 \\ 7 \end{array}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \vec{K L} = [\begin{array}{l} 3 \\ 6 \end{array}]; [\begin{array}{l} 2 \\ - 7 \end{array}] + [\begin{array}{l} 3 \\ 6 \end{array}] = [\begin{array}{l} 5 \\ - 1 \end{array}] \end{array}$

$\vec{P Q} = [\begin{array}{l} 0 \\ - 4 \end{array}]; [\begin{array}{l} 0 \\ - 3 \end{array}] + [\begin{array}{l} 0 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{l} 0 \\ - 7 \end{array}]$

جمع دو بردار از دیدگاه هندسی

جمع دو بردار به‌روش مثلث

در این روش، از نقطه دل‌خواهی مانند $A$ برداری برابر با $\vec{u}$ و سپس از انتهای $\vec{u}$ ، برداری برابر $\vec{v}$ رسم می‌کنیم.

برداری که ابتدای بردار $\vec{u}$ را به انتهای بردار $\vec{v}$ وصل می‌کند، حاصل جمع دو بردار $\vec{u}$ و $\vec{v}$ است:

حالت اول) اگر چند بردار متوالی داده شده باشند (منظور از بردارهای متوالی این است که ابتدای هر بردار بر انتهای قبلی منطبق باشد) برای یافتن حاصل جمع این بردارها کافی است ابتدای بردار اول را به انتهای بردار آخر وصل کنیم:

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{e}$

حالت دوم) برای جمع دو بردار که انتهای مشترک دارند، بردار $\vec{a^{'}}$ را چنان رسم می‌کنیم که ابتدای آن انتهای $\vec{b}$ باشد، اینک از ابتدای $\vec{b}$ به‌انتهای $\vec{a^{'}}$ وصل می‌کنیم.

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{a^{'}} + \vec{b} = \vec{c}$

جمع بردارها - پیمان گردلو

جمع دو بردار به‌روش متوازی‌الاضلاع

در این روش از نقطه دل‌خواهی مانند $A$ به‌ترتیب دو بردار $\vec{A B}$ و $\vec{A C}$ را به‌موازات بردار $\vec{u}$ و $\vec{v}$ رسم کرده سپس با استفاده از آنها یک متوازی‌الاضلاع بنا می‌کنیم.

قطر این متوازی‌الاضلاع که از نقطه $A$ می‌گذرد، برابر $\vec{u} + \vec{v}$ است.

$\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{u} + \vec{v} = \vec{A D} = \vec{R}$

نکته

برای حاصل جمع دو بردار که مبدا مشترک دارند، روی این دو بردار یک متوازی‌الاضلاع می‌سازیم و قطری از متوازی‌الاضلاع که از مبدا مشترک این دو بردار رسم می‌شود، حاصل جمع دو بردار را می‌دهد.

تمرین

شكل های زير را در نظر بگیرید.

حاصل جمع بردارها را مشخص كنيد.

تمرین

نويد و دانيال دو طناب را مانند شكل های زير به جعبه‌ای بسته‌اند و می‌خواهند آن را حركت دهند.8

نيروهای وارده از طرف آنها بر جعبه و امتداد كشش آنها در هر حالت تعيين شده است.

جهت حركت جعبه و اندازه نيروی وارد بر جعبه را در شكل های زير نشان دهيد.

تمرین

شكل زیر را در نظر بگیرید:

مختصات بردار $\vec{B C}$ را به‌دست آوريد.

$\begin{array}{l} \vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} = \vec{A D} \\ \Rightarrow [\begin{array}{l} 2 \\ 5 \end{array}] + \vec{B C} + [\begin{array}{l} 5 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{l} 6 \\ - 2 \end{array}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [\begin{array}{l} 7 \\ 1 \end{array}] + \vec{B C} = [\begin{array}{l} 6 \\ - 2 \end{array}] \\ \Rightarrow \vec{B C} = [\begin{array}{l} 6 \\ - 2 \end{array}] - [\begin{array}{l} 7 \\ 1 \end{array}] \\ \Rightarrow \vec{B C} = [\begin{array}{l} - 1 \\ - 3 \end{array}] \end{array}$

تمرین

بیش‌ترین سوانح هوایی، هنگام برخاستن و فرود هواپیماها رخ می‌دهد.

یکی از سخت‌ترین شرایط فرود هنگامی است که باد شدید در جهت اریب(غیر هم راستا) با فرود (مسیر باند فرود) می‌وزد.

در این شرایط خلبان می‌بایست هواپیما را در جهتی قرار دهد که برایند نیروی محرکه هواپیما و نیروی باد در مسیر خط فرود قرار گیرد.

به این نشستن هواپیما فرود خرچنگی می‌گویند.

فرض کنید مسیر فرود (خط فرود) در جهت بردار $\vec{l}$ و حداکثرِ نیروی قابل کنترل در لحظه فرود با اندازه این بردار برابر باشد.

هم‌چنین باد نیرویی در جهتِ بردار $\vec{w}$ به هواپیما وارد می‌کند.

هر یک از دو وضعیت فوق، خلبان هواپیما را در هنگام فرود در جهت کدام بردارهای داده شده می‌تواند قرار دهد، به‌طوری که یک فرود ایمن داشته باشد یعنی برایند نیروی محرکه $\vec{t}$ و نیز $\vec{w}$ در جهت $\vec{l}$ باشد.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

جمع بردارها

2,400تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

بردار در صفحه

جمع بردارها

مفهوم انتقال در جمع بردارها

جمع نظیر بردار

جمع دو بردار از دیدگاه هندسی

جمع دو بردار به‌روش مثلث

جمع دو بردار به‌روش متوازی‌الاضلاع

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟