سرفصل‌های این مبحث

بردار در صفحه

مقدمه‌ ای بر بردار

آخرین ویرایش: 10 اسفند 1402

دسته‌بندی: بردار در صفحه

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

کمیت

هر چیزی که قابل اندازه‌گیری باشد را کمیت می‌نامند.

کمیت اسکالر

اسکالر، کمیتی فیزیکی است که فقط اندازه یا مقدار دارد و جهت ندارد.

کمیت‌هایی مانند طول، مساحت، حجم، کار انجام شده، جرم و ... اسکالر هستند.

کمیت برداری

بردار، کمیتی است فیزیکی که هم اندازه و هم جهت دارد.

کمیت‌هایی مانند سرعت، شتاب، نیرو، میدان مغناطیسی و ... کمیت‌های برداری هستند.

بردار

قایق کوچکی را در نقطه‌ای مانند $A$ از یک رودخانه پر آبی بدون حرکت در نظر می‌گیریم:

اگر تصور کنیم که این قایق از نقطه $A$ فقط در اثر جریان آب شروع به حرکت کند و در نقطه‌ای دیگر مانند $B$ متوقف شود، در اصطلاح مسافت طی شده $A B$ را که دارای اندازه و امتداد و جهت است را یک بردار می‌نامیم.

تعریف بردار

بردار پاره خطی است جهت‌دار که دارای ابتدا و انتها می‌باشد.

برداری که ابتدایش $A$ و انتهایش $B$ باشد، به‌صورت $\vec{A B}$ نشان داده می‌شود.
گاهی اوقات نیز بردار را با یک حرف نمایش می‌دهند.

بردار - پیمان گردلو

نکته

خطی که از امتداد بردار پدید می‌آید راستا یا محمل بردار خوانده می‌شود.

مختصات یک بردار

بردار $\vec{A B}$ به‌منزله یک انتقال در صفحه است، انتقالی از نقطه $A$ به نقطه $B$ .

این انتقال را با توجه به مختصات نقاط در صفحه می‌توان به دو انتقال یکی در امتداد افق و دیگری در امتداد قائم تجزیه کرد.

در شکل فوق نقطه $A$ توسط بردار $\vec{A B}$ به نقطه $B$ منتقل شده است.

در این جابه‌جایی به طول $A$ به اندازه $5$ واحد مثبت اضافه شده و از عرض نقطه $A$ به اندازه $4$ واحد کاسته شده است.

در این حالت می‌گوییم مختصات بردار $\vec{A B}$ عبارت است از $[\begin{array}{l} 5 \\ - 4 \end{array}]$ و می‌نویسیم:

$\vec{A B} = [\begin{array}{l} 5 \\ - 4 \end{array}]$

برای هر بردار در صفحه یک مختصات تعریف می‌شود، این مختصات با توجه به توضیحات بالا همان انتقال است که بردار انجام می‌دهد:

$\{\begin{cases} A = [\begin{array}{l} - 2 \\ 3 \end{array}] \\ B = [\begin{array}{l} 3 \\ - 1 \end{array}] \end{cases}$

$B - A = [\begin{array}{l} 3 \\ - 1 \end{array}] - [\begin{array}{l} - 2 \\ 3 \end{array}] = [\begin{array}{l} 3 - (- 2) \\ - 1 - 3 \end{array}] = [\begin{array}{l} 5 \\ - 4 \end{array}] = \vec{A B}$

نکته

برای یافتن مختصات یک بردار که ابتدا و انتهایش مشخص باشد، می‌توانیم مختصات انتها را از مختصات ابتدا کم کنیم، یعنی:

اگر $A = [\begin{array}{l} x_{A} \\ y_{A} \end{array}]$ و $B = [\begin{array}{l} x_{B} \\ y_{B} \end{array}]$ باشد، آن‌گاه:

$\vec{A B} = [\begin{array}{l} x_{B} \\ y_{B} \end{array}] - [\begin{array}{l} x_{A} \\ y_{A} \end{array}]$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$A = [\begin{array}{l} 2 \\ - 3 \end{array}], \vec{a} = [\begin{array}{l} - 1 \\ 4 \end{array}]$

نقطه $A$ را تحت بردار $\vec{a}$ انتقال می‌دهیم تا نقطه $B$ به‌دست آيد.

مختصات نقطه $B$ را بیابید.

$\begin{array}{l} \vec{a} = B - A \\ \Rightarrow \vec{a} = [\begin{array}{l} x_{B} \\ y_{B} \end{array}] - [\begin{array}{l} x_{A} \\ y_{A} \end{array}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [\begin{array}{l} - 1 \\ 4 \end{array}] = [\begin{array}{l} x_{B} \\ y_{B} \end{array}] - [\begin{array}{l} 2 \\ - 3 \end{array}] \\ \Rightarrow [\begin{array}{l} x_{B} \\ y_{B} \end{array}] = [\begin{array}{l} - 1 \\ 4 \end{array}] + [\begin{array}{l} 2 \\ - 3 \end{array}] \\ \Rightarrow [\begin{array}{l} x_{B} \\ y_{B} \end{array}] = [\begin{array}{l} - 1 + 2 \\ 4 + (- 3) \end{array}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [\begin{array}{l} x_{B} \\ y_{B} \end{array}] = [\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}] \\ \Rightarrow B = [\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}] \end{array}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$A = [\begin{array}{l} - 2 \\ 0 \end{array}], B = [\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}], C = [\begin{array}{l} - 4 \\ 4 \end{array}]$

نقاط $A, B, C$ را در يک دستگاه مختصات مشخص كنيد و بردارهای $\vec{C A}$ و $\vec{C B}$ و حاصل جمع آنها را رسم كرده و مختصات آنها را به‌دست آوريد.

$\begin{array}{l} \vec{C A} = [\begin{array}{l} - 2 \\ 0 \end{array}] - [\begin{array}{l} - 4 \\ 4 \end{array}] = [\begin{array}{l} - 2 - (- 4) \\ 0 - 4 \end{array}] = [\begin{array}{l} 2 \\ - 4 \end{array}] \end{array}$

$\vec{C B} = [\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}] - [\begin{array}{l} - 4 \\ 4 \end{array}] = [\begin{array}{l} 2 - (- 4) \\ 2 - 4 \end{array}] = [\begin{array}{l} 6 \\ - 2 \end{array}]$

حاصل جمع دو بردار فوق را رسم كرده و مختصات آنها را به‌دست آوريد.

$\vec{C A} + \vec{C B} = [\begin{array}{l} 2 \\ - 4 \end{array}] + [\begin{array}{l} 6 \\ - 2 \end{array}] = [\begin{array}{l} 8 \\ - 6 \end{array}]$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$\vec{A B} = [\begin{array}{l} 4 \\ - 5 \end{array}], A = [\begin{array}{l} - 3 \\ 2 \end{array}]$

در بردار $\vec{A B}$ اگر ابتدا نقطه $A$ باشد، متناظر با آن يک جمع و يک تفريق بنويسيد.

$\begin{array}{l} \vec{A B} = B - A \\ \Rightarrow \vec{A B} + A = B \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [\begin{array}{l} 4 \\ - 5 \end{array}] + [\begin{array}{l} - 3 \\ 2 \end{array}] = B \\ \Rightarrow B = [\begin{array}{l} 1 \\ - 3 \end{array}] \end{array}$

$B - A = \vec{A B} \Rightarrow [\begin{array}{l} 1 \\ - 3 \end{array}] - [\begin{array}{l} 4 \\ - 5 \end{array}] = [\begin{array}{l} - 3 \\ 2 \end{array}]$

بردار $\vec{B C} = [\begin{array}{l} 3 \\ 7 \end{array}]$ را رسم كنيد.

حاصل جمع دو بردار $\vec{A B}$ و $\vec{B C}$ را رسم كنيد.

$\begin{array}{l} \vec{B C} = C - B \\ \Rightarrow [\begin{array}{l} 3 \\ 7 \end{array}] = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}] - [\begin{array}{l} 1 \\ - 3 \end{array}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{l} 3 \\ 7 \end{array}] + [\begin{array}{l} 1 \\ - 3 \end{array}] \\ \Rightarrow [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{l} 4 \\ 4 \end{array}] \\ \Rightarrow C = [\begin{array}{l} 4 \\ 4 \end{array}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \vec{A C} = C - A = [\begin{array}{l} 4 \\ 4 \end{array}] - [\begin{array}{l} - 3 \\ 2 \end{array}] = [\begin{array}{l} 4 - (- 3) \\ 4 - 2 \end{array}] = [\begin{array}{l} 7 \\ 2 \end{array}] \end{array}$

$\vec{A B} + \vec{B C} = [\begin{array}{l} 4 \\ - 5 \end{array}] + [\begin{array}{l} 3 \\ 7 \end{array}] = [\begin{array}{l} 7 \\ 2 \end{array}] = \vec{A C}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

بردار مکان یک نقطه

نقطه $A = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}]$ را در صفحه مختصات در نظر بگیرید.

بردار $\vec{O A}$ که ابتدای آن مبدا مختصات و انتهای آن نقطه $A$ می‌باشد، بردار مکان نقطه $A$ نامیده می‌شود.

شکل فوق نشان می‌دهد که مختصات بردار $\vec{O A}$ همان مختصات نقطه $A$ است.

$\vec{O A} = A - O = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}] - [\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}] = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}] = A \Rightarrow \vec{O A} = A$

نکته

معمولا اگر ابتدا یا انتهای برداری در دسترس نباشد و فقط مختصات بردار را داشته باشیم، ابتدای بردار را مبدا مختصات در نظر می‌گیریم.

تمرین

نقطه $A = [\begin{array}{l} 3 \\ - 4 \end{array}]$ و بردار $\vec{C A} = [\begin{array}{l} 4 \\ - 5 \end{array}]$ داده شده‌اند:

مختصات نقطه $C$ را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} \vec{C A} = A - C \\ \Rightarrow [\begin{array}{l} 4 \\ - 5 \end{array}] = [\begin{array}{l} 3 \\ - 4 \end{array}] - C \\ \Rightarrow C = [\begin{array}{l} 3 \\ - 4 \end{array}] - [\begin{array}{l} 4 \\ - 5 \end{array}] \\ \Rightarrow C = [\begin{array}{l} - 1 \\ 1 \end{array}] \end{array}$

از مبدا مختصات بردار $\vec{O B}$ را مساوی $\vec{C A}$ رسم کنید.

$\vec{C A} = [\begin{array}{l} 4 \\ - 5 \end{array}] = \vec{O B}$

مختصات بردار $\vec{O B}$ و نیز مختصات نقطه $B$ را حساب کنید.

مختصات بردار $\vec{O B}$ با مختصات نقطه $B$ یکسان است.

$\vec{O B} = B = [\begin{array}{l} 4 \\ - 5 \end{array}]$

دو بردار موازی

دو بردار را موازی گویند، هرگاه راستای‌شان موازی یا منطبق باشند.

نکته

برای این‌که سه نقطه $A$ و $B$ و $C$ بر روی یک خط راست قرار گیرند، کافی است داشته باشیم:

$\vec{A B} = k \cdot \vec{B C}; (k \in R)$

اندازه یک بردار

طول پاره خطی که دو سر آن ابتدا و انتهای یک بردار باشند، اندازه بردار نامیده می‌شود.

اندازه بردار $\vec{A B}$ را با نماد $|\vec{A B}|$ نشان می‌دهند.

نکته

اگر $\vec{A B} = [\begin{array}{l} x \\ y \end{array}]$ باشد، اندازه بردار $\vec{A B}$ از فرمول زیر به‌دست می‌آید:

$|\vec{A B}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

تمرین

اندازه بردار زیر را تعیین ‌کنید:

$\vec{A B} = [\begin{array}{l} 3 \\ - 4 \end{array}]$

$\vec{A B} = \sqrt{{(3)}^{2} + {(- 4)}^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

ضرب یک عدد در یک بردار

منظور از ضرب عدد حقیقی $k$ در برداری مانند $\vec{a}$ که آن را با نماد $k . \vec{a}$ نشان می‌دهند، عبارت است از:

حالت اول

اگر $k > 0$ باشد:

$k . \vec{a}$ برداری است که امتدادش موازی امتداد $\vec{a}$ و اندازه‌اش $k$ برابر اندازه $\vec{a}$ و جهت آن، هم‌جهت با $\vec{a}$ است.

بردار - پیمان گردلو

حالت دوم

اگر $k < 0$ باشد:

$k . \vec{a}$ برداری است که امتدادش موازی امتداد $\vec{a}$ و اندازه‌اش $k$ برابر اندازه $\vec{a}$ و جهت آن، مختلف‌الجهت با $\vec{a}$ است.

بردار - پیمان گردلو

حالت سوم

اگر $- 1 < k < 1$ باشد:

$k . \vec{a}$ برداری است که طولش از طول بردار $\vec{a}$ کوچک‌تر است.

بردار - پیمان گردلو

حالت چهارم

اگر $k > 1$ یا $k < - 1$ باشد:

$k . \vec{a}$ برداری است که طولش از طول بردار $\vec{a}$ بزرگ‌تر است.

بردار - پیمان گردلو

حالت پنجم

اگر $k = - 1$ باشد:

$k . \vec{a}$ برداری است که قرینه بردار $\vec{a}$ است.

بردار - پیمان گردلو

نکته

1- اگر $\vec{a} = [\begin{array}{l} x \\ y \end{array}]$ و $k$ عددی حقیقی باشد، آن‌گاه:

$k \cdot \vec{a} = k \cdot [\begin{array}{l} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{l} k x \\ k y \end{array}]$

2- به‌ازای هر دو بردار هندسی $\vec{a}$ و $\vec{b}$ و اعداد حقیقی $α$ و $β$ داریم:

$\begin{array}{l} (α β) \vec{a} = α (β \vec{a}) \end{array}$

$\begin{array}{l} (α + β) \vec{a} = α \vec{a} + β \vec{a} \end{array}$

$α (\vec{a} + \vec{b}) = α \vec{a} + α \vec{b}$

3- شرط لازم و کافی برای آن‌که دو بردار هندسی ناصفر $\vec{a}$ و $\vec{b}$ موازی باشند آن است که عددی حقیقی مانند $k \neq 0$ وجود داشته باشد به‌طوری‌که $\vec{a} = k \vec{b}$ .

بنابراین اگر $A$ و $B$ و $C$ سه نقطه متمایز باشند به‌طوری‌که $\vec{A B} = λ \vec{A C}$ آن‌گاه سه نقطه روی یک خط هستند.

تمرین

اگر $\vec{a}$ یک بردار و $m > 1$ عددی حقیقی باشد:

1- بردارهای $m \vec{a}$ و $\vec{a}$ هم‌جهت‌اند و طول $m \vec{a}$ از طول $\vec{a}$ کوچک‌تر است.

2- بردارهای $m \vec{a}$ و $\vec{a}$ هم‌جهت‌اند و طول $m \vec{a}$ از طول $\vec{a}$ بزرگ‌تر است.

3- بردارهای $m \vec{a}$ و $\vec{a}$ مختلف‌الجهت‌اند و طول $m \vec{a}$ از طول $\vec{a}$ کوچک‌تر است.

4- بردارهای $m \vec{a}$ و $\vec{a}$ مختلف‌الجهت‌اند و طول $m \vec{a}$ از طول $\vec{a}$ بزرگ‌تر است.

کدام‌یک از جملات فوق درست است؟

گزینه $(2)$ صحیح است.

اگر $\vec{a}$ یک بردار و $- 1 < m < 0$ عددی حقیقی باشد، کدام‌یک از جملات فوق درست است؟

گزینه $(3)$ صحیح است.

بردار یکانی یک محور

بردار یکانی یک محور، برداری موازی و هم‌جهت با محور است که اندازه آن برابر با واحد است.

بردار یکانی محور طول را با نماد $\vec{i}$ و بردار یکانی محور عرض را با نماد $\vec{j}$ یا مختصرا با $i$ و $j$ نشان می‌دهند، پس می‌توان گفت:

$i = [\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}], j = [\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}]$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

بردارهای شکل فوق را با استفاده از بردار یکانی یک محورها نمایش دهید:

$\begin{array}{l} \vec{a} = [\begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}] = 3 i + 2 j \\ \vec{b} = [\begin{array}{l} 4 \\ 0 \end{array}] = 4 [\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}] = 4 i \\ \vec{c} = [\begin{array}{l} 0 \\ - 3 \end{array}] = - 3 [\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}] = - 3 j \end{array}$

نکته

هر بردار $\vec{A} = [\begin{array}{l} x_{A} \\ y_{A} \end{array}]$ در فضای $ℝ^{2}$ را می‌توان بر حسب بردارهای پایه $ℝ^{2}$ نوشت، لذا در $ℝ^{2}$ داریم:

$\vec{A} = [\begin{array}{l} x_{A} \\ y_{A} \end{array}] = [\begin{array}{l} x_{A} \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{l} 0 \\ y_{A} \end{array}] = x_{A} [\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}] + y_{A} [\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}] = x_{A} . \vec{i} + y_{A} . \vec{j}$

تمرین

اگر $\vec{a} = [\begin{array}{l} - 3 \\ 6 \end{array}]$ باشد، مختصات بردارهای زیر را تعيين کنید و به‌صورت مضاربی از $i, j$ بنویسید.

$\begin{array}{l} - \vec{a} \end{array}$

$\begin{array}{l} - \vec{a} = - [\begin{array}{l} - 3 \\ 6 \end{array}] = [\begin{array}{l} - (- 3) \\ - 6 \end{array}] = [\begin{array}{l} 3 \\ - 6 \end{array}] = 3 i + (- 6 j) = 3 i - 6 j \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 \vec{a} \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 \vec{a} = 2 [\begin{array}{l} - 3 \\ 6 \end{array}] = [\begin{array}{l} 2 (- 3) \\ 2 (6) \end{array}] = [\begin{array}{l} - 6 \\ 12 \end{array}] = - 6 i + 12 j \end{array}$

$\frac{1}{3} \vec{a}$

$\frac{1}{3} \vec{a} = \frac{1}{3} [\begin{array}{l} - 3 \\ 6 \end{array}] = [\begin{array}{l} \frac{1}{3} (- 3) \\ \frac{1}{3} (6) \end{array}] = [\begin{array}{l} - 1 \\ 2 \end{array}] = (- 1) i + 2 j = - i + 2 j$

تمرین

بردار $\vec{a} = [\begin{array}{l} - 3 \\ 0 \end{array}]$ را به‌صورت مضربی از $i$ بنويسيد.

$\vec{a} = [\begin{array}{l} - 3 \\ 0 \end{array}] = - 3 [\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}] = - 3 \vec{i}$

بردار $\vec{b} = [\begin{array}{l} 0 \\ - 3 \end{array}]$ را به‌صورت مضربی از $j$ بنويسيد.

$\vec{b} = [\begin{array}{l} 0 \\ - 3 \end{array}] = - 3 [\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}] = - 3 \vec{j}$

تمرین

اگر داشته باشيم:

$2 i - 3 j + 2 \vec{X} = 3 [\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}] - 2 [\begin{array}{l} - 1 \\ 4 \end{array}]$

$\vec{X}$ بر حسب بردارهای واحد محورهای مختصات چگونه نوشته می‌شود؟

$\begin{array}{l} 2 i - 3 j + 2 \vec{X} = 3 [\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}] - 2 [\begin{array}{l} - 1 \\ 4 \end{array}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 i - 3 j + 2 \vec{X} = 3 (i + 2 j) - 2 (- i + 4 j) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 i - 3 j + 2 \vec{X} = 3 i + 6 j + 2 i - 8 j \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 \vec{X} = 3 i + 6 j + 2 i - 8 j - 2 i + 3 j \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 \vec{X} = 3 i + j \\ \Rightarrow \vec{X} = \frac{3}{2} i + \frac{1}{2} j \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

قرینه یک بردار

اگر $\vec{a}$ یک بردار باشد، قرینه $\vec{a}$ را با $- \vec{a}$ نمایش می‌دهیم و آن عبارت است از برداری که موازی $\vec{a}$ بوده، اندازه آن مساوی $|\vec{a}|$ است ولی جهت آن با جهت بردار $\vec{a}$ متفاوت است.

تمرین

قرینه بردار $\vec{a} = [\begin{array}{l} - 3 \\ 5 \end{array}]$ را ابتدا از نقطه $[\begin{array}{l} 0 \\ 3 \end{array}]$ رسم ‌کنید.

ابتدای بردار $\vec{a}$ مشخص نیست، مبدا مختصات را ابتدای بردار در نظر می‌گیریم.

بردار صفر

برداری که انتقالی را در صفحه انجام ندهد، بردار صفر نامیده می‌شود ( به‌عبارتی ابتدا و انتهایش بر هم منطبق باشد) و با نماد $\vec{0}$ نشان داده می‌شود.

بدیهی است که اندازه بردار $\vec{0}$ برابر صفر است و مختصات آن به‌صورت $[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}]$ می‌باشد.

دو بردار مساوی (همسنگ)

دو بردار $\vec{A B}$ و $\vec{C D}$ را مساوی می‌نامیم، هرگاه سه شرط زیر برقرار باشند:

بردارهای $\vec{A B}$ و $\vec{C D}$ موازی باشند.

دو بردار هم‌راستا و هم‌جهت باشند.

اندازه بردار $\vec{A B}$ که آن را با $|\vec{A B}|$ نشان می‌دهیم با اندازه بردار $\vec{C D}$ یعنی $|\vec{C D}|$ مساوی باشد:

$|\vec{A B}| = |\vec{C D}|$

در شکل زیر دو بردار مساوی $\vec{A B}$ و $\vec{C D}$ نشان داده شده است.

بردار - پیمان گردلو

جهت بردار $\vec{A B}$ از $A$ به $B$ است و اگر جهت بردار از $B$ به $A$ باشد، آن را به‌صورت $\vec{B A}$ نمایش می‌دهیم.

نکته

1- دو بردار مساوی، یک انتقال را در صفحه انجام می‌دهند.

بدیهی است که با مشخص بودن یک بردار در صفحه می‌توان یک‌دسته از بردارهایی را مساوی با آن بردار در نظر گرفت.

در شکل زیر همه بردارهای رسم شده با $\vec{a}$ برابرند.

بردار - پیمان گردلو

2- دو بردار مساوی در واقع هم‌جهت و هم‌اندازه می‌باشند، پس می‌توان گفت دو بردار از نظر مختصاتی برابرند که طول آنها با هم و عرض‌های آنها با هم برابر باشند:

$\{\begin{array}{l} \vec{a} = [\begin{array}{l} x \\ y \end{array}] \\ \vec{b} = [\begin{array}{l} z \\ t \end{array}] \end{array}〉 i f \vec{a} = \vec{b} \Rightarrow \{\begin{cases} x = z \\ y = t \end{cases}$

تمرین

مقادير $m, n$ را چنان بيابيد كه دو بردار زیر برابر باشند.

$\vec{a} = [\begin{array}{l} m - n \\ 2 - m \end{array}], \vec{b} = [\begin{array}{l} 3 - 3 m \\ n - 5 \end{array}]$

$\vec{a} = \vec{b} \Rightarrow [\begin{array}{l} m - n \\ 2 - m \end{array}] = [\begin{array}{l} 3 - 3 m \\ n - 5 \end{array}]$

$\begin{array}{l} m - n = 3 - 3 m \Rightarrow m - n + 3 m = 3 \Rightarrow 4 m - n = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 - m = n - 5 \Rightarrow n + m = 2 + 5 \Rightarrow m + n = 7 \end{array}$

$\{\begin{cases} 4 m - n = 3 \\ m + n = 7 \end{cases}〉 5 m = 10 \Rightarrow m = 2 \Rightarrow n = 5$

تمرین

بردار مكان نقاط $M, N$ عبارت است از:

$\vec{O M} = [\begin{array}{l} 4 \\ - 3 \end{array}], \vec{O N} = [\begin{array}{l} - 3 \\ 5 \end{array}]$

مطلوب است مختصات بردار $\vec{M N}$ .

$\begin{array}{l} \vec{O M} = M = [\begin{array}{l} 4 \\ - 3 \end{array}] \\ \vec{O N} = N = [\begin{array}{l} - 3 \\ 5 \end{array}] \end{array}$

$\vec{M N} = N - M = [\begin{array}{l} - 3 \\ 5 \end{array}] - [\begin{array}{l} 4 \\ - 3 \end{array}] = [\begin{array}{l} - 3 - 4 \\ 5 + 3 \end{array}] = [\begin{array}{l} - 7 \\ 8 \end{array}]$

تمرین

دو بردار زیر باهم برابر هستند:

$\vec{a} = [\begin{array}{l} - 3 + 2 m \\ 2 n - 1 \end{array}], \vec{b} = [\begin{array}{l} m + 5 \\ 9 - 3 n \end{array}]$

حاصل $m^{n}$ را بیابید.

$\begin{array}{l} \vec{a} = \vec{b} \\ \Rightarrow [\begin{array}{l} m + 5 \\ 9 - 3 n \end{array}] = [\begin{array}{l} - 3 + 2 m \\ 2 n - 1 \end{array}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} m + 5 = - 3 + 2 m \\ 9 - 3 n = 2 n - 1 \end{cases} \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} m = 8 \\ n = 2 \end{cases}〉 m^{n} = 8^{2} = 64$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

مقدمه‌ای بر بردار

2,400تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

بردار در صفحه

مقدمه‌ ای بر بردار

کمیت

کمیت اسکالر

کمیت برداری

بردار

تعریف بردار

مختصات یک بردار

بردار مکان یک نقطه

دو بردار موازی

اندازه یک بردار

ضرب یک عدد در یک بردار

حالت اول

حالت دوم

حالت سوم

حالت چهارم

حالت پنجم

بردار یکانی یک محور

قرینه یک بردار

بردار صفر

دو بردار مساوی (همسنگ)

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟