مختصات وسط پاره‌ خط

آخرین ویرایش: 15 دی 1402

دسته‌بندی: بردار در صفحه

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قضیه

اگر نقاط $A$ و $B$ دو سر پاره خط $A B$ و $M$ با مختصات زیر، وسط پاره خط $A B$ باشد:

$A = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}], B = [\begin{array}{l} c \\ d \end{array}], M = [\begin{array}{l} x \\ y \end{array}]$

به‌کمک روابط برداری، مختصات $M$ را بر حسب $A$ و $B$ تعیین به‌صورت زیر تعیین می‌شود.

$[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{l} \frac{a + c}{2} \\ \frac{b + d}{2} \end{array}]$

اثبات

$\begin{array}{l} \vec{A M} = \vec{M B} \\ \Rightarrow M - A = B - M \\ \Rightarrow [\begin{array}{l} x \\ y \end{array}] - [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{l} c \\ d \end{array}] - [\begin{array}{l} x \\ y \end{array}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [\begin{array}{l} x \\ y \end{array}] + [\begin{array}{l} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}] + [\begin{array}{l} c \\ d \end{array}] \\ \Rightarrow 2 [\begin{array}{l} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{l} a + c \\ b + d \end{array}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [\begin{array}{l} x \\ y \end{array}] = \frac{1}{2} [\begin{array}{l} a + c \\ b + d \end{array}] \\ \Rightarrow [\begin{array}{l} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{l} \frac{a + c}{2} \\ \frac{b + d}{2} \end{array}] \end{array}$

تمرین

اگر $A = [\begin{array}{l} 5 \\ - 3 \end{array}]$ و $B = [\begin{array}{l} - 7 \\ 1 \end{array}]$ دو سر پاره خط $A B$ باشند، مختصات نقطه $M$ وسط پاره خط $A B$ را تعیین کنید.

$M = [\begin{array}{l} \frac{5 + (- 7)}{2} \\ \frac{- 3 + 1}{2} \end{array}] = [\begin{array}{l} \frac{- 2}{2} \\ \frac{- 2}{2} \end{array}] = [\begin{array}{l} - 1 \\ - 1 \end{array}]$

تمرین

نقاط $A = [\begin{array}{l} a \\ b \end{array}]$ و $M = [\begin{array}{l} c \\ d \end{array}]$ داده شده‌اند. مختصات نقطه $A^{'}$ قرینه نقطه $A$ را نسبت به $M$ تعیین کنید.

برای این‌که $A^{'}$ قرینه $A$ نسبت به نقطه $M$ باشد، باید نقطه $M$ وسط $A A^{'}$ قرار گیرد.

فرض کنیم $A^{'} = [\begin{array}{l} x \\ y \end{array}]$ باشد:

$\begin{matrix} c = \frac{a + x}{2} \Rightarrow 2 c = a + x \Rightarrow x = 2 c - a \end{matrix}$

$\begin{matrix} d = \frac{b + y}{2} \Rightarrow 2 d = b + y \Rightarrow y = 2 d - b \end{matrix}$

$A^{'} = [\begin{array}{l} 2 c - a \\ 2 d - b \end{array}]$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

بردار در صفحه

مختصات وسط پاره‌ خط

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟