بردارهای واحد

آخرین ویرایش: 15 خرداد 1404

دسته‌بندی: بردار در فضا

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

یادآوری

خیلی خوش اومدی به یه گوشه کوچیکی از دنیای بزرگ ما!

برای دسترسی رایگان به ۱۲۶,۰۰۰ محتوای آموزشی در این سایت، فقط این ۳ تا قدم ساده رو بردار و از این اقیانوس عظیم اطلاعات لذت ببر

قدم اول) یه لحظه وقت بذار و رایگان تو سایت ثبت‌نام کن، کلی چیزای خوب منتظرته، پس معطل نکن

قدم دوم) یه سر به پیج اینستاگراممون بزن و فالو کن! اسم و فامیلِ شریفتو که باهاش تو سایت ثبت نام کردی رو تویه دایرکت برامون بفرست، منتظرت هستیم

قدم سوم) کار تمومه، حداکثر ۱۲ ساعت دیگه، می‌تونی به کل محتوای سایت دسترسی داشته باشی، پس آماده باش!

ما به قولمون پایبندیم!

اگه به هر دلیلی محتوایی که قول دادیم برات فعال نشد، راحت باش! می‌تونی خیلی ساده ما رو آنفالو کنی، بدون هیچ دردسری

بیا با هم یه جامعه‌ی بزرگ ریاضی بسازیم! توی یه بستر اجتماعی، عدالت آموزشی رو گسترش بدیم و دست دانش‌آموزای کم‌بضاعت رو بگیریم. با هم تأثیرگذار باشیم!

تعریف بردار واحد (یکه)

اگر $\vec{V}$ برداری باشد به‌طوری‌که $|\vec{V}| = 1$ آن‌گاه $\vec{V}$ را بردار یکه یا واحد می‌نامیم.

معمولا بردار یکه را با $e$ نشان می‌دهیم.

نکته

1- اگر $\vec{V} \neq 0$ بردار مفروض باشد، $\frac{\vec{V}}{|\vec{V}|}$ برداری یکه است، یعنی طول این بردار واحد است.

$|\frac{\vec{V}}{|\vec{V}|}| = \frac{1}{|\vec{V}|} \cdot |\vec{V}| = 1$

بنابراین بردار یکه $\frac{\vec{V}}{|\vec{V}|}$ برداری هم‌جهت و هم‌راستا با بردار $\vec{V}$ است و $e = \frac{\vec{V}}{|\vec{V}|}$ جهت $\vec{V}$ را مستقل از طول آن نشان می‌دهد.

به‌همین ترتیب $e = - \frac{\vec{V}}{|\vec{V}|}$ نیز برداری یکه هم‌راستا اما در جهت متقابل با $\vec{V}$ است.

$|\frac{- \vec{V}}{|\vec{V}|}| = \frac{|- \vec{V}|}{|\vec{V}|} = \frac{|\vec{V}|}{|\vec{V}|} = 1$

بنابراین به‌ازای هر بردار $\vec{V}$ دو بردار یکه هم‌راستا با آن می‌توان مشخص کرد.

2- هرگاه در دستگاه $(O - x y z)$ برداری‌های یکه محورهای $o z, o y, o x$ و $\vec{k}, \vec{j}, \vec{i}$ نشان دهیم، آن‌گاه:

$\begin{array}{l} e_{1} = \vec{i} = (1, 0, 0) \\ e_{2} = \vec{j} = (0, 1, 0) \\ e_{3} = \vec{k} = (0, 0, 1) \end{array}$

3- هر بردار در فضای $ℝ^{3}$ را می‌توان برحسب بردارهای پایه $ℝ^{3}$ نوشت، لذا در $ℝ^{3}$ داریم:

$\begin{array}{l} \vec{V} = (x, y, z) = (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1) = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k} \end{array}$

بنابراین نمایش دیگری از بردار برحسب بردارهای یکه یا پایه محورها به‌صورت زیر به‌دست می‌آید و در هر بردار داریم:

$\vec{V} = (x, y, z) = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}; \{\begin{cases} x \vec{i} = (x, 0, 0) \\ y \vec{j} = (0, y, 0) \\ z \vec{k} = (0, 0, z) \end{cases}$

تمرین

بردار $\vec{a} = (3, 4, 5)$ را برحسب بردارهای یکه $\vec{k}, \vec{j}, \vec{i}$ نشان دهید و آن را در دستگاه مختصات فضایی رسم کنید.

$\vec{a} = (3, 4, 5) = 3 \vec{i} + 4 \vec{j} + 5 \vec{k}$

اگر $\{\begin{cases} \vec{v} = (- 1, 1, 2) \\ \vec{u} = (1, 2, 0) \end{cases}$ دو بردار باشند، بردار یکه را در راستای بردار $\vec{w} = \vec{u} - 2 \vec{v}$ به‌دست ‌آورید.

$\begin{array}{l} \vec{w} = \vec{u} - 2 \vec{v} = (1, 2, 0) - 2 (- 1, 1, 2) = (1, 2, 0) + (2, - 2, - 4) = (3, 0, - 4) \end{array}$

$e = \pm \frac{\vec{w}}{|\vec{w}|} = \pm \frac{1}{\sqrt{9 + 16}} (3, 0, - 4) = \pm \frac{1}{5} (3, 0, - 4) = \pm (\frac{3}{5}, 0, \frac{- 4}{5})$

با علامت مثبت، در جهت $\vec{w}$ و با علامت منفی، خلاف جهت آن است.

بردار یکه موازی بردار $\vec{u} = (3, - 1, 2 \sqrt{2})$ و غیر هم‌جهت با آن را بیابید.

$- \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} = - \frac{(3, - 1, 2 \sqrt{2})}{\sqrt{9 + 1 + 8}} = - \frac{1}{3 \sqrt{2}} (3, - 1, 2 \sqrt{2}) = (- \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{3 \sqrt{2}}, - \frac{2}{3})$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

بردار در فضا

بردارهای واحد

تعریف بردار واحد (یکه)

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟