بردارهای واحد

آخرین ویرایش: 24 مهر 1404
دسته‌بندی: بردار در فضا
امتیاز:
نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف بردار واحد (یکه)

اگر V→ برداری باشد به‌طوری‌که V→=1 آن‌گاه V→ را بردار یکه یا واحد می‌نامیم.

معمولا بردار یکه را با e نشان می‌دهیم.

نکته

1- اگر V→≠0 بردار مفروض باشد، V→V→ برداری یکه است، یعنی طول این بردار واحد است.  

V→V→=1V→⋅V→=1

بنابراین بردار یکه V→V→ برداری هم‌جهت و هم‌راستا با بردار V→ است و e=V→V→ جهت V→ را مستقل از طول آن نشان می‌دهد.     

به‌همین ترتیب e=-V→V→ نیز برداری یکه هم‌راستا اما در جهت متقابل با V→ است.     

−V→V→=−V→V→=V→V→=1

بنابراین به‌ازای هر بردار V→ دو بردار یکه هم‌راستا با آن می‌توان مشخص کرد. 


2- هرگاه در دستگاه O−xyz برداری‌های یکه محورهای oz,oy,ox و k→,j→,i→ نشان دهیم، آن‌گاه:

e1=i→=1,0,0e2=j→=0,1,0e3=k→=0,0,1


3- هر بردار در فضای ℝ3 را می‌توان برحسب بردارهای پایه ℝ3 نوشت، لذا در ℝ3 داریم:   

V→=x,y,z=x,0,0+0,y,0+0,0,z=x1,0,0+y0,1,0+z0,0,1=xi→+yj→+zk→

بنابراین نمایش دیگری از بردار برحسب بردارهای یکه یا پایه محورها به‌صورت زیر به‌دست می‌آید و در هر بردار داریم:

V→=x,y,z=x i→+y j→+z k→    ;   x i→=x,0,0y j→=0,y,0z k→=0,0,z

تمرین

بردار a→=3,4,5 را برحسب بردارهای یکه k→,j→,i→ نشان دهید و آن را در دستگاه مختصات فضایی رسم کنید.  

 a→=3,4,5=3i→+4j→+5k→


اگر v→=−1,1,2u→=1,2,0 دو بردار باشند، بردار یکه را در راستای بردار w→=u→−2 v→ به‌دست ‌آورید.

w→=u→−2v→=1,2,0−2−1,1,2=1,2,0+2,−2,−4=3,0,−4


e=±w→w→=±19+163,0,−4=±153,0,−4=±35,0,−45


با علامت مثبت، در جهت w→ و با علامت منفی، خلاف جهت آن است.

بردار یکه موازی بردار u→=3,−1,22 و غیر هم‌جهت با آن را بیابید.

−u→u→=−3,−1,229+1+8=−1323,−1,22=−12,132,−23

برای ارسال نظر وارد سایت شوید