بردارهای واحد

آخرین ویرایش: 15 دی 1402

دسته‌بندی: بردار در فضا

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف بردار واحد (یکه)

اگر $\vec{V}$ برداری باشد به‌طوری‌که $|\vec{V}| = 1$ آن‌گاه $\vec{V}$ را بردار یکه یا واحد می‌نامیم.

معمولا بردار یکه را با $e$ نشان می‌دهیم.

نکته

1- اگر $\vec{V} \neq 0$ بردار مفروض باشد، $\frac{\vec{V}}{|\vec{V}|}$ برداری یکه است، یعنی طول این بردار واحد است.

$|\frac{\vec{V}}{|\vec{V}|}| = \frac{1}{|\vec{V}|} \cdot |\vec{V}| = 1$

بنابراین بردار یکه $\frac{\vec{V}}{|\vec{V}|}$ برداری هم‌جهت و هم‌راستا با بردار $\vec{V}$ است و $e = \frac{\vec{V}}{|\vec{V}|}$ جهت $\vec{V}$ را مستقل از طول آن نشان می‌دهد.

به‌همین ترتیب $e = - \frac{\vec{V}}{|\vec{V}|}$ نیز برداری یکه هم‌راستا اما در جهت متقابل با $\vec{V}$ است.

$|\frac{- \vec{V}}{|\vec{V}|}| = \frac{|- \vec{V}|}{|\vec{V}|} = \frac{|\vec{V}|}{|\vec{V}|} = 1$

بنابراین به‌ازای هر بردار $\vec{V}$ دو بردار یکه هم‌راستا با آن می‌توان مشخص کرد.

2- هرگاه در دستگاه $(O - x y z)$ برداری‌های یکه محورهای $o z, o y, o x$ و $\vec{k}, \vec{j}, \vec{i}$ نشان دهیم، آن‌گاه:

$\begin{array}{l} e_{1} = \vec{i} = (1, 0, 0) \\ e_{2} = \vec{j} = (0, 1, 0) \\ e_{3} = \vec{k} = (0, 0, 1) \end{array}$

3- هر بردار در فضای $ℝ^{3}$ را می‌توان برحسب بردارهای پایه $ℝ^{3}$ نوشت، لذا در $ℝ^{3}$ داریم:

$\begin{array}{l} \vec{V} = (x, y, z) = (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1) = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k} \end{array}$

بنابراین نمایش دیگری از بردار برحسب بردارهای یکه یا پایه محورها به‌صورت زیر به‌دست می‌آید و در هر بردار داریم:

$\vec{V} = (x, y, z) = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}; \{\begin{cases} x \vec{i} = (x, 0, 0) \\ y \vec{j} = (0, y, 0) \\ z \vec{k} = (0, 0, z) \end{cases}$

تمرین

بردار $\vec{a} = (3, 4, 5)$ را برحسب بردارهای یکه $\vec{k}, \vec{j}, \vec{i}$ نشان دهید و آن را در دستگاه مختصات فضایی رسم کنید.

$\vec{a} = (3, 4, 5) = 3 \vec{i} + 4 \vec{j} + 5 \vec{k}$

اگر $\{\begin{cases} \vec{v} = (- 1, 1, 2) \\ \vec{u} = (1, 2, 0) \end{cases}$ دو بردار باشند، بردار یکه را در راستای بردار $\vec{w} = \vec{u} - 2 \vec{v}$ به‌دست ‌آورید.

$\begin{array}{l} \vec{w} = \vec{u} - 2 \vec{v} = (1, 2, 0) - 2 (- 1, 1, 2) = (1, 2, 0) + (2, - 2, - 4) = (3, 0, - 4) \end{array}$

$e = \pm \frac{\vec{w}}{|\vec{w}|} = \pm \frac{1}{\sqrt{9 + 16}} (3, 0, - 4) = \pm \frac{1}{5} (3, 0, - 4) = \pm (\frac{3}{5}, 0, \frac{- 4}{5})$

با علامت مثبت، در جهت $\vec{w}$ و با علامت منفی، خلاف جهت آن است.

بردار یکه موازی بردار $\vec{u} = (3, - 1, 2 \sqrt{2})$ و غیر هم‌جهت با آن را بیابید.

$- \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} = - \frac{(3, - 1, 2 \sqrt{2})}{\sqrt{9 + 1 + 8}} = - \frac{1}{3 \sqrt{2}} (3, - 1, 2 \sqrt{2}) = (- \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{3 \sqrt{2}}, - \frac{2}{3})$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

بردار در فضا

بردارهای واحد

تعریف بردار واحد (یکه)

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟