مختصات نقطه و بردار

آخرین ویرایش: 15 دی 1402
دسته‌بندی: بردار در فضا
امتیاز:

برای نمایش سه‌تایی مرتب x0,y0,z0 در دستگاه مختصات 3 کافی است ابتدا مانند شکل 1 نقطه x0,y0 را در صفحه xy بیابیم و سپس ارتفاع آن را به‌اندازه z0 در راستای موازی با محور zها (یعنی به‌طور عمودی) تغییر دهیم تا شکل 2 حاصل شود.

  

می‌توان سه نقطه به طول‌های x0,y0,z0 به‌ترتیب بر روی محورهای x,y,z در نظر گرفت و سپس:

  • صفحه گذرنده از x0 و موازی با yz در نظر بگیریم.
  • صفحه گذرنده از y0 و موازی با xz در نظر بگیریم.
  • صفحه گذرنده از z0 و موازی با xy در نظر بگیریم.

 محل تقاطع این سه صفحه یک نقطه به‌طول x0، عرض y0، ارتفاع z0 است.

به‌عنوان نمونه در شکل زیر نقطه P2,4,1 نشان داده شده است:

    

مختصات نقطه در دستگاه فضایی

به هر نقطه از فضای 3 برداری که از مبدا شروع می‌شود، نظیر کرد.

فرض کنید M=x,y,z نقطه‌ای غیر از مبدا 3 باشد، در این‌صورت پاره خط جهت داری که از مبدا مختصات O=0,0,0 شروع شده و در نقطه M پایان می‌یابد.

یک بردار در 3 را مشخص می‌کند  و آن را با OM=x,y,z نشان می‌دهیم.

در بردار OM مقادیر x,y,z را مولفه‌های بردار OM می‌گویند.

هم‌چنین قرارداد می‌کنیم مبدا مختصات O=0,0,0 نمایش‌گر بردار O=0,0,0 است که بردار صفر نامیده می‌شود.       

در شکل زیر چند بردار در 3 نمایش داده شده است:

مختصات نقطه و بردار در دستگاه فضایی سه بعدی - پیمان گردلو   

تعریف

فرض کنیم M=x,y,z نقطه‌ای در دستگاه مختصات باشد:

برای این‌که نقطه M را روی محورهای مختصات تصویر قائم نماییم.

ابتدا بردار OM را به دو مولفه OH و OR تجزیه می‌کنیم.

سپس OH را به دو مولفه OP و OQ تجزیه کرده و نقاط P و Q و R را تصاویر قائم نقطه M بر محورها می‌نامیم:

در مستطیل ROHM داریم:

OH=OP+OQ

در مستطیل OQHP داریم:

OM¯+OH¯=OH¯+OR¯+OP¯+OQ¯OM¯=OP¯+OQ¯+OR¯

OP¯=xOQ¯=yOR¯=zOM¯=xi+yj+zk

تمرین

نقطه M=2,3,5 را در دستگاه مختصات مشخص کنید.

مختصات نقطه و بردار در دستگاه فضایی سه بعدی - پیمان گردلو


روی محور xها نقطه A را به‌طول 2 و روی محور yها نقطه B را به عرض 3 اختیار می‌کنیم.


نقطه C روی صفحه xy به‌طول 2 و عرض 3 و ارتفاع 0 مشخص می‌شود یعنی C2,3,0.


اکنون چون ارتفاع نقطه M برابر 5 است از C خط عمودی را بر صفحه xy رسم می‌کنیم.


سپس در جهت مثبت محور zها (چون 5 مثبت است) M را روی این خط چنان مشخص می‌کنیم که طول CM برابر 5 باشد، به این ترتیب جای نقطه M مشخص می‌شود. 

نقاط A=2,3,1 و B=1,2,2 و C=3,4,0 را در دستگاه مختصات مشخص کنید. 

فاصله نقطه از مبدا در دستگاه مختصات فضایی

برای یافتن فاصله یک نقطه از فضای 3 مانند M=x,y,z از مبدا مختصات، کافی است از نقطه M عمودی بر صفحه xy رسم کرده و پای عمود را M' بنامیم.

 

از قضیه فیثاغورس، طول پاره‌خط OM' به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

OM'=x2+y2

اکنون در مثلث قائم‌الزاویه OMM' از قضیه فیثاغورس برای محاسبه طول وتر OM استفاده می‌کنیم:

OM=OM'2+z2=x2+y2+z2

طول هربردار مانند OM به مختصات x,y,z در 3 از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

OM=x2+y2+z2

تمرین

در شکل زیر اتاقی به ابعاد داده شده را مشاهده می‌کنید:

طول قطر این اطاق را از یک گوشه آن به گوشه مقابلش را محاسبه کنید.

قطر مستطیل کف اتاق:

42+52=41


قطر اتاق:

d=412+32=41+9=50=52

نکته

رابطه فوق را می‌توان با توجه به‌شکل برای فاصله دو نقطه دل‌خواه از 3 مانند P=x0,y0,z0 و Q=x1,y1,z1 به‌صورت زیر تعمیم داد:  

PQ=x0x12+y0y12+z0z12

مختصات نقطه و بردار در دستگاه فضایی سه بعدی - پیمان گردلو

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

فاصله دو نقطه A,B را محاسبه کنید.

AB=xAxB2+yAyB2+zAzB2

AB=832+252+672


AB=25+9+1AB=25+9+1AB=35

نکته

اگر Ax1,y1,z1 و Bx2,y2,z2 دو نقطه باشد:

1- بردار AB به‌وسیله مختصات چنین است:

AB=x2x1,y2y1,z2z1


2- 
مختصات نقطه M وسط AB به‌صورت زیر است: 

M12x1+x2  ,  12y1+y2  ,  12z1+z2


3- 
طول یا اندازه بردار AB برابر است با:   

AB=x2x12+y2y12+z2z12


4-
 فاصله دو نقطه A و B را طول پاره‌خط AB گویند و به‌صورت AB نشان می‌دهیم. 

فاصله بین دو نقطه یا طول یک پاره خط واحد دارای چهار شرط زیر است:

AB0A=BAB=0AB=BAAB+BCAC

نامساوی اخیر به نامساوی مثلثی معروف است.

تمرین

نقاط زیر را در نظر بگیرید:

A1,m1,2  ,  B3,1,1

كم ترين مقدار طول AB  چقدر است؟

AB=xBxA2+yByA2+zBzA2


AB=3+12+1m+12+122


AB=16+2m2+9AB=25+2m2


توجه شود AB  وقتی مینیموم است كه m=2 شود.


minAB=25=5

تمرین

نقاط زیر را در نظر بگیرید:

P3,4,3  ,  Q1,9,0

فرض كنيم u=PQ.

اگر QM=u باشد، مختصات نقطه M را بیابید.

u=PQQM=uPQ=QM


PQ=QM


13,94,0+3=xm+1,ym9,zm0


4,5,3=xm+1,ym9,zm


xm+1=4xm=5ym9=5ym=14zm=3M5,14,3

تمرین

نقاط زیر را در نظر بگیرید:

Ax1,y1,z1  ,  Bx2,y2,z2

ثابت كنيد طول پاره خط AB از رابطه زير محاسبه می‌شود.

AB=x2x12+y2y12+z2z12


AN=A'N'=x2x12+y2y12


AB2=AN2+NB2


AB2=x2x12+y2y12+z2z12


AB=x2x12+y2y12+z2z12

تمرین

نقاط زیر را در فضای R3 در نظر بگیرید:

Ax1,y1,z1  ,  Bx2,y2,z2

مختصات M وسط پاره خط AB را پيدا كنيد.


با توجه به شكل مشاهده می‌كنيم كه اگر تصاوير A,B,M  روی سه محور مختصات پيدا كنيم.


تصوير وسط AB روی هر محور، وسط پاره خط تصوير روی آن محور است.


xM=xM'=xA1+xB12=xA+xB2=x1+x22


بنابراين مختصات M وسط AB به‌صورت زير است:


M  12x1+x2,12y1+y2,12z1+z2

تمرین

نقاط زیر را در فضای R3 در نظر بگیرید:

A1,1,2  ,  B1,0,1

اگر V=2,1,0 باشد، طول بردار زیر را به‌دست آوريد.

R=2AB3V+OA

AB=x2x1,y2y1,z2z1


A1,1,2B1,0,1AB=2,1,12AB=4,2,2


A1,1,2O0,0,0OA1,1,2


V=2,1,03V=6,3,0


R=2AB3V+OA


R=4,2,26,3,0+1,1,2


R=9,2,0R=81+4+0R=85

دریافت مثال

نکته

اگر V1=x1,y1,z1 و V2=x2,y2,z2 دو بردار باشند: 

1- مجموع دو بردار، برداری است به‌صورت زیر:

V=x1+x2,y1+y2,z1+z2

V1+V2=x1,y1,z1+x2,y2,z2=x1+x2,y1+y2,z1+z2=V


2- 
جمع دو بردار V1=x1i+y1j+z1kV2=x2i+y2j+z2k با فرمول زیر معین می‌شود:

V1+V2=x1+x2i+y1+y2j+z1+z2k


3- 
برای هر عدد حقیقی r حاصل‌ضرب r در بردار V1=x1,y1,z1 را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم: 

rV1=rx1,y1,z1=rx1,ry1,rz1

اگر r>1 باشد V1 و rV1 هم‌راستا هستند و شکل زیر را خواهیم داشت:  

مختصات نقطه و بردار در دستگاه فضایی سه بعدی - پیمان گردلو


4-
تفاضل دو بردار، برداری است به‌صورت زیر:

V=x1x2,y1y2,z1z2

V1V2=x1,y1,z1x2,y2,z2=x1x2,y1y2,z1z2=V


5-
 تفاضل دو بردار V1=x1i+y1j+z1kV2=x2i+y2j+z2k با فرمول زیر معین می‌شود: 

V1V2=x1x2i+y1y2j+z1z2k

تمرین

m,n,p سه عدد حقيقی اند به‌طوری که حداقل يكی از آنها مخالف صفر است و داشته باشیم:

m+n+p=0

O,A,B,C نقاطی هستند به‌طوری که:

mOA+nOB+pOC=0

ثابت كنيد A,B,C روی يک خط هستند.

فرض كنيم m مخالف صفر باشد، بنابر نتيجه بردار تفاضل چنين داريم:


mOA+nOB+pOC=0    ;    p=nm


mOA+nOB+mnOC=0


mOAOC+nOBOC=0


mCA+nCB=0CA=nmCB


A,B,C روی يک خط هستند.

تمرین

اگر داشته باشیم:

 v=1,3,m

 u=4,2,1

 vu=35

آن‌گاه مقدار m چقدر است؟

vu=3,5,m1


vu=9+25+m12    ;   vu=35


35=34+m1235=34+m12


m12=1m1=±1m=0m=2

تمرین

بردارهای زیر مفروضند:

 u=2,3,3

 v=1,2,3

تصوير برداری uv  را روی صفحه yz و طول آن را بیابید.

uv=2,3,31,2,3=1,5,6


0,5,6    ;    0+25+36=61

تصوير برداری  vu  را روی محور oz و طول آن را بیابید.

vu=1,2,32,3,3=1,5,6


0,0,6    ;    0+0+36=6

دریافت مثال

نکته

اگر V=x,y,z برداری در دستگاه مختصات باشد:

1- z,y,x را مختصات بردار یا اندازه جبری تصاویر V بر محورها می‌نامیم. 


2- 
z,y,x را اندازه تصاویر بردار V بر محورها می‌نامیم.  


3-
 zk  yj  xi را تصاویر بردار V بر محورها می‌نامیم.  


4-
 V=xi+yj+zk را مجموعه مولفه‌های V بر محورها می‌نامیم.   


5-
 طول یا اندازه بردار V برابر است با: 

V=x2+y2+z2


6-
 تصویر بردار V=x,y,z روی صفحات xy و xz و yz عبارتند از: 

تصویر V روی صفحه xOy

OPx,y,0=xi+yjOP=x2+y2

تصویر V روی صفحه yOz

OP0,y,z=yj+zkOP=y2+z2

تصویر V روی صفحه xOz

OPx,0,z=xi+zkOP=x2+z2


7-
 کسینوس‌های هادی بردار:

جهت یا راستای بردار V=x,y,z به‌وسیله زوایای γ,β,α که بردار با محورها می‌سازد، مشخص می شود. 

کسینوس‌های این زوایا را کسینوس‌های هادی بردار نامیده و از فرمول‌های زیر به‌دست می‌آوریم.

cosα=xV=xx2+y2+z2cosβ=yV=yx2+y2+z2cosγ=zV=zx2+y2+z2

روابط بین کسینوس‌های هادی برای هر بردار به‌صورت زیر است:

cos2α+cos2β+cos2γ=1

تمرین

بردار زیر  مفروض است:

 V=3i2j3k

مختصات بردار را بنویسید.

x=3  ,  y=2  ,  z=3

اندازه تصوير اين بردار روی محور z ها را بنویسید.

3=3

اندازه جبری تصوير اين بردار روی محور y ها را بنویسید.

y=2

تصوير اين بردار روی محور x ها را بنویسید.

+3i

طول يا اندازه اين بردار را بنویسید.

V=9+4+3=16=4

تمرین

i,j,k بردارهای يكه سه محور می‌باشند.

i+2jk چقدر است؟

V=1,2,1V=1+4+1i+2jk=6

تمرین

اگر α,β دو عدد حقيقی باشد و داشته باشیم:

a=cosαcosβ,cosαsinβ,sinα

a را بیابید.

a=cos2αcos2β+cos2αsin2β+sin2α


a=cos2αcos2β+sin2β+sin2α


a=cos2α+sin2αa=1a=1

تمرین

راس مكعب مستطيلی مطابق شكل روی مبدا و OA,OC,OH سه يال گذرنده از اين راس روی سه محور می‌باشند.

اگر داشته باشیم:

Ap,0,0  ,  C0,q,0  ,  H0,0,r

مختصات M مركز مكعب مستطيل را پيدا كنيد و ثابت كنيد تمام اقطار مكعب مستطيل در يک نقطه يعنی M هم‌راس هستند.

با توجه به شكل می‌توانيد مختصات تمام رئوس مكعب مستطيل را بر حسب p,q,r محاسبه كنيم:


Bp,q,0Fp,q,rG0,q,rEp,0,r


اگر M  وسط OF باشد، بنابر رابطه ای كه ثابت كرديم:


M0+p2,0+q2,0+r2=Mp2,q2,r2


اگر مختصات وسط قطر مثلا HB را پيدا كنيم، داريم:


p+02,q+02,r+02=p2,q2,r2


مشاهده می‌شود كه وسط HB نيز همان M است، بقيه به‌همين صورت ثابت می‌شوند.

زاويه بين قطر OF و يال OH را محاسبه كنيد.

مثلث OFH قائم الزاويه و با زاويه قائمه H است.


اندازه زاويه HOF را α می‌ناميم.


cosα=rOF=1p2+q2+r2


α زاويه بين خط‌ OF با محور z ها می‌باشد.

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

مختصات نقطه و بردار

3,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید