سرفصل‌های این مبحث

بردار در فضا

مختصات نقطه و بردار

آخرین ویرایش: 15 دی 1402

دسته‌بندی: بردار در فضا

امتیاز:

برای نمایش سه‌تایی مرتب $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ در دستگاه مختصات $ℝ^{3}$ کافی است ابتدا مانند شکل $(1)$ نقطه $(x_{0}, y_{0})$ را در صفحه $x y$ بیابیم و سپس ارتفاع آن را به‌اندازه $z_{0}$ در راستای موازی با محور $z$ ها (یعنی به‌طور عمودی) تغییر دهیم تا شکل $(2)$ حاصل شود.

می‌توان سه نقطه به طول‌های $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ به‌ترتیب بر روی محورهای $x, y, z$ در نظر گرفت و سپس:

صفحه گذرنده از $x_{0}$ و موازی با $y z$ در نظر بگیریم.
صفحه گذرنده از $y_{0}$ و موازی با $x z$ در نظر بگیریم.
صفحه گذرنده از $z_{0}$ و موازی با $x y$ در نظر بگیریم.

محل تقاطع این سه صفحه یک نقطه به‌طول $x_{0}$ ، عرض $y_{0}$ ، ارتفاع $z_{0}$ است.

به‌عنوان نمونه در شکل زیر نقطه $P (2, 4, 1)$ نشان داده شده است:

مختصات نقطه در دستگاه فضایی

به هر نقطه از فضای $ℝ^{3}$ برداری که از مبدا شروع می‌شود، نظیر کرد.

فرض کنید $M = (x, y, z)$ نقطه‌ای غیر از مبدا $ℝ^{3}$ باشد، در این‌صورت پاره خط جهت داری که از مبدا مختصات $O = (0, 0, 0)$ شروع شده و در نقطه $M$ پایان می‌یابد.

یک بردار در $ℝ^{3}$ را مشخص می‌کند و آن را با $\vec{O M} = (x, y, z)$ نشان می‌دهیم.

در بردار $\vec{O M}$ مقادیر $x, y, z$ را مولفه‌های بردار $\vec{O M}$ می‌گویند.

هم‌چنین قرارداد می‌کنیم مبدا مختصات $O = (0, 0, 0)$ نمایش‌گر بردار $\vec{O} = (0, 0, 0)$ است که بردار صفر نامیده می‌شود.

در شکل زیر چند بردار در $ℝ^{3}$ نمایش داده شده است:

مختصات نقطه و بردار در دستگاه فضایی سه بعدی - پیمان گردلو

تعریف

فرض کنیم $M = (x, y, z)$ نقطه‌ای در دستگاه مختصات باشد:

برای این‌که نقطه $M$ را روی محورهای مختصات تصویر قائم نماییم.

ابتدا بردار $\vec{O M}$ را به دو مولفه $O H$ و $O R$ تجزیه می‌کنیم.

سپس $O H$ را به دو مولفه $O P$ و $O Q$ تجزیه کرده و نقاط $P$ و $Q$ و $R$ را تصاویر قائم نقطه $M$ بر محورها می‌نامیم:

در مستطیل $R O H M$ داریم:

$\vec{O H} = \vec{O P} + \vec{O Q}$

در مستطیل $O Q H P$ داریم:

$\bar{O M} + \bar{O H} = \bar{O H} + \bar{O R} + \bar{O P} + \bar{O Q} \Rightarrow \bar{O M} = \bar{O P} + \bar{O Q} + \bar{O R}$

$\{\begin{array}{l} \bar{O P} = x \\ \bar{O Q} = y \\ \bar{O R} = z \end{array}〉 \bar{O M} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$

تمرین

نقطه $M = (2, 3, 5)$ را در دستگاه مختصات مشخص کنید.

مختصات نقطه و بردار در دستگاه فضایی سه بعدی - پیمان گردلو

روی محور $x$ ها نقطه $A$ را به‌طول $2$ و روی محور $y$ ها نقطه $B$ را به عرض $3$ اختیار می‌کنیم.

نقطه $C$ روی صفحه $x y$ به‌طول $2$ و عرض $3$ و ارتفاع $0$ مشخص می‌شود یعنی $C (2, 3, 0)$ .

اکنون چون ارتفاع نقطه $M$ برابر $5$ است از $C$ خط عمودی را بر صفحه $x y$ رسم می‌کنیم.

سپس در جهت مثبت محور $z$ ها (چون $5$ مثبت است) $M$ را روی این خط چنان مشخص می‌کنیم که طول $C M$ برابر $5$ باشد، به این ترتیب جای نقطه $M$ مشخص می‌شود.

نقاط $A = (2, 3, 1)$ و $B = (- 1, 2, 2)$ و $C = (3, 4, 0)$ را در دستگاه مختصات مشخص کنید.

فاصله نقطه از مبدا در دستگاه مختصات فضایی

برای یافتن فاصله یک نقطه از فضای $ℝ^{3}$ مانند $M = (x, y, z)$ از مبدا مختصات، کافی است از نقطه $M$ عمودی بر صفحه $x y$ رسم کرده و پای عمود را $M^{'}$ بنامیم.

از قضیه فیثاغورس، طول پاره‌خط $O M^{'}$ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$|O M^{'}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

اکنون در مثلث قائم‌الزاویه $O M M^{'}$ از قضیه فیثاغورس برای محاسبه طول وتر $O M$ استفاده می‌کنیم:

$|O M| = \sqrt{{|O M^{'}|}^{2} + z^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

طول هربردار مانند $\vec{O M}$ به مختصات $(x, y, z)$ در $ℝ^{3}$ از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

$|\vec{O M}| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

تمرین

در شکل زیر اتاقی به ابعاد داده شده را مشاهده می‌کنید:

طول قطر این اطاق را از یک گوشه آن به گوشه مقابلش را محاسبه کنید.

قطر مستطیل کف اتاق:

$\sqrt{4^{2} + 5^{2}} = \sqrt{41}$

قطر اتاق:

$d = \sqrt{{(\sqrt{41})}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{41 + 9} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$

نکته

رابطه فوق را می‌توان با توجه به‌شکل برای فاصله دو نقطه دل‌خواه از $ℝ^{3}$ مانند $P = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ و $Q = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ به‌صورت زیر تعمیم داد:

$|P Q| = \sqrt{{(x_{0} - x_{1})}^{2} + {(y_{0} - y_{1})}^{2} + {(z_{0} - z_{1})}^{2}}$

مختصات نقطه و بردار در دستگاه فضایی سه بعدی - پیمان گردلو

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

فاصله دو نقطه $A, B$ را محاسبه کنید.

$\begin{array}{l} |A B| = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2} + {(z_{A} - z_{B})}^{2}} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow |A B| = \sqrt{{(8 - 3)}^{2} + {(2 - 5)}^{2} + {(6 - 7)}^{2}} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow |A B| = \sqrt{25 + 9 + 1} \\ \Rightarrow |A B| = \sqrt{25 + 9 + 1} \\ \Rightarrow |A B| = \sqrt{35} \end{array}$

نکته

اگر $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ و $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ دو نقطه باشد:

1- بردار $\vec{A B}$ به‌وسیله مختصات چنین است:

$\vec{A B} = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1})$

2- مختصات نقطه $M$ وسط $\vec{A B}$ به‌صورت زیر است:

$M [\frac{1}{2} (x_{1} + x_{2}), \frac{1}{2} (y_{1} + y_{2}), \frac{1}{2} (z_{1} + z_{2})]$

3- طول یا اندازه بردار $\vec{A B}$ برابر است با:

$|\vec{A B}| = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$

4- فاصله دو نقطه $A$ و $B$ را طول پاره‌خط $A B$ گویند و به‌صورت $|\vec{A B}|$ نشان می‌دهیم.

فاصله بین دو نقطه یا طول یک پاره خط واحد دارای چهار شرط زیر است:

$\begin{array}{l} |\vec{A B}| \geq 0 \\ A = B \Leftrightarrow |\vec{A B}| = 0 \\ |\vec{A B}| = |\vec{B A}| \\ |\vec{A B}| + |\vec{B C}| \geq |\vec{A C}| \end{array}$

نامساوی اخیر به نامساوی مثلثی معروف است.

تمرین

نقاط زیر را در نظر بگیرید:

$A (- 1, m - 1, 2), B (3, 1, - 1)$

كم ترين مقدار طول $A B$ چقدر است؟

$\begin{array}{l} |A B| = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow |A B| = \sqrt{{(3 + 1)}^{2} + {(1 - m + 1)}^{2} + {(- 1 - 2)}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow |A B| = \sqrt{16 + {(2 - m)}^{2} + 9} \\ \Rightarrow |A B| = \sqrt{25 + {(2 - m)}^{2}} \end{array}$

توجه شود $|A B|$ وقتی مینیموم است كه $m = 2$ شود.

$\min |A B| = \sqrt{25} = 5$

تمرین

نقاط زیر را در نظر بگیرید:

$P (3, 4, - 3), Q (- 1, 9, 0)$

فرض كنيم $\vec{u} = \vec{P Q}$ .

اگر $\vec{Q M} = \vec{u}$ باشد، مختصات نقطه $M$ را بیابید.

$\{\begin{array}{l} \vec{u} = \vec{P Q} \\ \vec{Q M} = \vec{u} \end{array}〉 \vec{P Q} = \vec{Q M}$

$\begin{array}{l} \vec{P Q} = \vec{Q M} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (- 1 - 3, 9 - 4, 0 + 3) = (x_{m} + 1, y_{m} - 9, z_{m} - 0) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (- 4, 5, 3) = (x_{m} + 1, y_{m} - 9, z_{m}) \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x_{m} + 1 = - 4 \Rightarrow x_{m} = - 5 \\ y_{m} - 9 = 5 \Rightarrow y_{m} = 14 \\ z_{m} = 3 \end{cases}〉 M (- 5, 14, 3)$

تمرین

نقاط زیر را در نظر بگیرید:

$A (x_{1}, y_{1}, z_{1}), B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$

ثابت كنيد طول پاره خط $A B$ از رابطه زير محاسبه می‌شود.

$|A B| = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$

$\begin{array}{l} |A N| = |A^{'} N^{'}| = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} {|A B|}^{2} = {|A N|}^{2} + {|N B|}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {|A B|}^{2} = {(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2} \end{array}$

$\Rightarrow |A B| = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$

تمرین

نقاط زیر را در فضای $R^{3}$ در نظر بگیرید:

$A (x_{1}, y_{1}, z_{1}), B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$

مختصات $M$ وسط پاره خط $A B$ را پيدا كنيد.

با توجه به شكل مشاهده می‌كنيم كه اگر تصاوير $A, B, M$ روی سه محور مختصات پيدا كنيم.

تصوير وسط $A B$ روی هر محور، وسط پاره خط تصوير روی آن محور است.

$x_{M} = x_{M^{'}} = \frac{x_{A_{1}} + x_{B_{1}}}{2} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$

بنابراين مختصات $M$ وسط $A B$ به‌صورت زير است:

$M [\frac{1}{2} (x_{1} + x_{2}), \frac{1}{2} (y_{1} + y_{2}), \frac{1}{2} (z_{1} + z_{2})]$

تمرین

نقاط زیر را در فضای $R^{3}$ در نظر بگیرید:

$A (1, 1, - 2), B (- 1, 0, - 1)$

اگر $\vec{V} = (2, - 1, 0)$ باشد، طول بردار زیر را به‌دست آوريد.

$\vec{R} = 2 \vec{A B} - 3 \vec{V} + \vec{O A}$

$\vec{A B} = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1})$

$\begin{array}{l} \{\begin{array}{l} A (1, 1, - 2) \\ B (- 1, 0, - 1) \end{array}〉 \vec{A B} = (- 2, - 1, 1) \Rightarrow 2 \vec{A B} = (- 4, - 2, 2) \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{array}{l} A (1, 1, - 2) \\ O (0, 0, 0) \end{array}〉 \vec{O A} (1, 1, - 2) \end{array}$

$\vec{V} = (2, - 1, 0) \Rightarrow 3 \vec{V} = (6, - 3, 0)$

$\begin{array}{l} \vec{R} = 2 \vec{A B} - 3 \vec{V} + \vec{O A} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{R} = (- 4, - 2, 2) - (6, - 3, 0) + (1, 1, - 2) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{R} = (- 9, 2, 0) \\ \Rightarrow |\vec{R}| = \sqrt{81 + 4 + 0} \\ \Rightarrow |\vec{R}| = \sqrt{85} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

اگر ${\vec{V}}_{1} = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ و ${\vec{V}}_{2} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ دو بردار باشند:

1- مجموع دو بردار، برداری است به‌صورت زیر:

$\begin{array}{l} \vec{V} = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}, z_{1} + z_{2}) \end{array}$

${\vec{V}}_{1} + {\vec{V}}_{2} = (x_{1}, y_{1}, z_{1}) + (x_{2}, y_{2}, z_{2}) = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}, z_{1} + z_{2}) = \vec{V}$

2- جمع دو بردار $\{\begin{cases} {\vec{V}}_{1} = x_{1} \vec{i} + y_{1} \vec{j} + z_{1} \vec{k} \\ V_{2} = x_{2} \vec{i} + y_{2} \vec{j} + z_{2} \vec{k} \end{cases}$ با فرمول زیر معین می‌شود:

${\vec{V}}_{1} + {\vec{V}}_{2} = (x_{1} + x_{2}) \vec{i} + (y_{1} + y_{2}) \vec{j} + (z_{1} + z_{2}) \vec{k}$

3- برای هر عدد حقیقی $r$ حاصل‌ضرب $r$ در بردار ${\vec{V}}_{1} = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$r {\vec{V}}_{1} = r (x_{1}, y_{1}, z_{1}) = (r x_{1}, r y_{1}, r z_{1})$

اگر $r > 1$ باشد ${\vec{V}}_{1}$ و $r {\vec{V}}_{1}$ هم‌راستا هستند و شکل زیر را خواهیم داشت:

مختصات نقطه و بردار در دستگاه فضایی سه بعدی - پیمان گردلو

4- تفاضل دو بردار، برداری است به‌صورت زیر:

$\begin{array}{l} \vec{V} = (x_{1} - x_{2}, y_{1} - y_{2}, z_{1} - z_{2}) \end{array}$

${\vec{V}}_{1} - {\vec{V}}_{2} = (x_{1}, y_{1}, z_{1}) - (x_{2}, y_{2}, z_{2}) = (x_{1} - x_{2}, y_{1} - y_{2}, z_{1} - z_{2}) = \vec{V}$

5- تفاضل دو بردار $\{\begin{cases} {\vec{V}}_{1} = x_{1} \vec{i} + y_{1} \vec{j} + z_{1} \vec{k} \\ V_{2} = x_{2} \vec{i} + y_{2} \vec{j} + z_{2} \vec{k} \end{cases}$ با فرمول زیر معین می‌شود:

${\vec{V}}_{1} - {\vec{V}}_{2} = (x_{1} - x_{2}) \vec{i} + (y_{1} - y_{2}) \vec{j} + (z_{1} - z_{2}) \vec{k}$

تمرین

$m, n, p$ سه عدد حقيقی اند به‌طوری که حداقل يكی از آنها مخالف صفر است و داشته باشیم:

$m + n + p = 0$

$O, A, B, C$ نقاطی هستند به‌طوری که:

$m \vec{O A} + n \vec{O B} + p \vec{O C} = \vec{0}$

ثابت كنيد $A, B, C$ روی يک خط هستند.

فرض كنيم $m$ مخالف صفر باشد، بنابر نتيجه بردار تفاضل چنين داريم:

$\begin{array}{l} m \vec{O A} + n \vec{O B} + p \vec{O C} = \vec{0}; p = - n - m \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m \vec{O A} + n \vec{O B} + (- m - n) \vec{O C} = \vec{0} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m (\vec{O A} - \vec{O C}) + n (\vec{O B} - \vec{O C}) = \vec{0} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m \vec{C A} + n \vec{C B} = \vec{0} \\ \Rightarrow \vec{C A} = - \frac{n}{m} \vec{C B} \end{array}$

$A, B, C$ روی يک خط هستند.

تمرین

اگر داشته باشیم:

$\begin{array}{l} \vec{v} = (1, - 3, m) \end{array}$

$\begin{array}{l} \vec{u} = (4, 2, 1) \end{array}$

$|\vec{v} - \vec{u}| = \sqrt{35}$

آن‌گاه مقدار $m$ چقدر است؟

$\begin{array}{l} \vec{v} - \vec{u} = (- 3, - 5, m - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow |\vec{v} - \vec{u}| = \sqrt{9 + 25 + {(m - 1)}^{2}}; |\vec{v} - \vec{u}| = \sqrt{35} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{35} = \sqrt{34 + {(m - 1)}^{2}} \\ \Rightarrow 35 = 34 + {(m - 1)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(m - 1)}^{2} = 1 \\ \Rightarrow m - 1 = \pm 1 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} m = 0 \\ m = 2 \end{cases} \end{array}$

تمرین

بردارهای زیر مفروضند:

$\begin{array}{l} \vec{u} = (2, 3, - 3) \end{array}$

$\vec{v} = (1, - 2, 3)$

تصوير برداری $\vec{u} - \vec{v}$ را روی صفحه $y z$ و طول آن را بیابید.

$\vec{u} - \vec{v} = (2, 3, - 3) - (1, - 2, 3) = (1, 5, - 6)$

$(0, 5, - 6); \sqrt{0 + 25 + 36} = \sqrt{61}$

تصوير برداری $\vec{v} - \vec{u}$ را روی محور $o z$ و طول آن را بیابید.

$\begin{array}{l} \vec{v} - \vec{u} = (1, - 2, 3) - (2, 3, - 3) = (- 1, - 5, 6) \end{array}$

$(0, 0, - 6); \sqrt{0 + 0 + 36} = 6$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

اگر $\vec{V} = (x, y, z)$ برداری در دستگاه مختصات باشد:

1- $z, y, x$ را مختصات بردار یا اندازه جبری تصاویر $\vec{V}$ بر محورها می‌نامیم.

2- $|z|, |y|, |x|$ را اندازه تصاویر بردار $\vec{V}$ بر محورها می‌نامیم.

3- $z \vec{k} y \vec{j} x \vec{i}$ را تصاویر بردار $\vec{V}$ بر محورها می‌نامیم.

4- $\vec{V} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ را مجموعه مولفه‌های $\vec{V}$ بر محورها می‌نامیم.

5- طول یا اندازه بردار $\vec{V}$ برابر است با:

$|\vec{V}| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

6- تصویر بردار $\vec{V} = (x, y, z)$ روی صفحات $x y$ و $x z$ و $y z$ عبارتند از:

تصویر $\vec{V}$ روی صفحه $x O y$ :

$\vec{O P} (x, y, 0) = x \vec{i} + y \vec{j} \Rightarrow |\vec{O P}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

تصویر $\vec{V}$ روی صفحه $y O z$ :

$\vec{O P} (0, y, z) = y \vec{j} + z \vec{k} \Rightarrow |\vec{O P}| = \sqrt{y^{2} + z^{2}}$

تصویر $\vec{V}$ روی صفحه $x O z$ :

$\vec{O P} (x, 0, z) = x \vec{i} + z \vec{k} \Rightarrow |\vec{O P}| = \sqrt{x^{2} + z^{2}}$

7- کسینوس‌های هادی بردار:

جهت یا راستای بردار $\vec{V} = (x, y, z)$ به‌وسیله زوایای $γ, β, α$ که بردار با محورها می‌سازد، مشخص می شود.

کسینوس‌های این زوایا را کسینوس‌های هادی بردار نامیده و از فرمول‌های زیر به‌دست می‌آوریم.

$\begin{array}{l} \cos α = \frac{x}{|\vec{V}|} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \\ \cos β = \frac{y}{|\vec{V}|} = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \\ \cos γ = \frac{z}{|\vec{V}|} = \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \end{array}$

روابط بین کسینوس‌های هادی برای هر بردار به‌صورت زیر است:

$\cos^{2} α + \cos^{2} β + \cos^{2} γ = 1$

تمرین

بردار زیر مفروض است:

$\vec{V} = 3 \vec{i} - 2 \vec{j} - \sqrt{3} \vec{k}$

مختصات بردار را بنویسید.

$\begin{array}{l} x = 3, y = - 2, z = - \sqrt{3} \end{array}$

اندازه تصوير اين بردار روی محور $z$ ها را بنویسید.

$\begin{array}{l} |- \sqrt{3}| = \sqrt{3} \end{array}$

اندازه جبری تصوير اين بردار روی محور $y$ ها را بنویسید.

$\begin{array}{l} y = - 2 \end{array}$

تصوير اين بردار روی محور $x$ ها را بنویسید.

$\begin{array}{l} + 3 \vec{i} \end{array}$

طول يا اندازه اين بردار را بنویسید.

$|\vec{V}| = \sqrt{9 + 4 + 3} = \sqrt{16} = 4$

تمرین

$\vec{i} \vec{, j}, \vec{k}$ بردارهای يكه سه محور می‌باشند.

$|\vec{i} + 2 \vec{j} - \vec{k}|$ چقدر است؟

$\begin{array}{l} V = (1, 2, - 1) \\ \Rightarrow |V| = \sqrt{1 + 4 + 1} \\ \Rightarrow |\vec{i} + 2 \vec{j} - \vec{k}| = \sqrt{6} \end{array}$

تمرین

اگر $α, β$ دو عدد حقيقی باشد و داشته باشیم:

$\vec{a} = (\cos α \cos β, \cos α \sin β, \sin α)$

$|\vec{a}|$ را بیابید.

$\begin{array}{l} |a| = \sqrt{\cos^{2} α \cos^{2} β + \cos^{2} α \sin^{2} β + \sin^{2} α} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow |a| = \sqrt{\cos^{2} α (\cos^{2} β + \sin^{2} β) + \sin^{2} α} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow |a| = \sqrt{\cos^{2} α + \sin^{2} α} \\ \Rightarrow |a| = \sqrt{1} \\ \Rightarrow |a| = 1 \end{array}$

تمرین

راس مكعب مستطيلی مطابق شكل روی مبدا و $O A, O C, O H$ سه يال گذرنده از اين راس روی سه محور می‌باشند.

اگر داشته باشیم:

$A (p, 0, 0), C (0, q, 0), H (0, 0, r)$

مختصات $M$ مركز مكعب مستطيل را پيدا كنيد و ثابت كنيد تمام اقطار مكعب مستطيل در يک نقطه يعنی $M$ هم‌راس هستند.

با توجه به شكل می‌توانيد مختصات تمام رئوس مكعب مستطيل را بر حسب $p, q, r$ محاسبه كنيم:

$\{\begin{cases} B (p, q, 0) \\ F (p, q, r) \\ G (0, q, r) \\ E (p, 0, r) \end{cases}$

اگر $M$ وسط $O F$ باشد، بنابر رابطه ای كه ثابت كرديم:

$M (\frac{0 + p}{2}, \frac{0 + q}{2}, \frac{0 + r}{2}) = M (\frac{p}{2}, \frac{q}{2}, \frac{r}{2})$

اگر مختصات وسط قطر مثلا $H B$ را پيدا كنيم، داريم:

$(\frac{p + 0}{2}, \frac{q + 0}{2}, \frac{r + 0}{2}) = (\frac{p}{2}, \frac{q}{2}, \frac{r}{2})$

مشاهده می‌شود كه وسط $H B$ نيز همان $M$ است، بقيه به‌همين صورت ثابت می‌شوند.

زاويه بين قطر $O F$ و يال $O H$ را محاسبه كنيد.

مثلث $O F H$ قائم الزاويه و با زاويه قائمه $H$ است.

اندازه زاويه $H O F$ را $α$ می‌ناميم.

$\cos α = \frac{r}{O F} = \frac{1}{\sqrt{p^{2} + q^{2} + r^{2}}}$

$α$ زاويه بين خط‌ $O F$ با محور $z$ ها می‌باشد.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

مختصات نقطه و بردار

1,500تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

بردار در فضا

مختصات نقطه و بردار

مختصات نقطه در دستگاه فضایی

تعریف

فاصله نقطه از مبدا در دستگاه مختصات فضایی

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟