سرفصل‌های این مبحث

دنباله های ریاضی

مقدمه و تعریف

آخرین ویرایش: 22 تیر 1403

دسته‌بندی: دنباله های ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه‌ای بر دنباله

دنباله ای از اعداد طبیعی زیر را در نظر بگیرید:

$1, 2, 3, .... n, ...$

در هر دنباله، جمله ‌ای که برحسب عبارتی از $n$ بیان شود، جمله عمومی آن دنباله گفته می‌شود.

جمله عمومی این دنباله به‌صورت زیر است:

$a_{n} = n$

جملات دنباله را با یک حرف و یک اندیس در زیر آن نشان می‌دهند، اندیس ‌ها نمایانگر شماره جمله است.

جمله عمومی در دنباله فوق به‌ازای اعداد طبیعی، می‌تواند تک تک جملات این دنباله را به‌صورت زیر تولید کند:

$i f n = 1; a_{1} = 1$

$i f n = 2; a_{2} = 2$

$\begin{matrix} i f n = 3; a_{3} = 3 \\ ⋮ \end{matrix}$

تمرین

دنباله ای از اعداد طبیعی زوج و جمله عمومی از این دنباله را بنویسید.

دنباله ای از اعداد طبیعی زوج را می‌نویسیم:

$\begin{array}{l} 2, 4, 6, 8, \dots \end{array}$

هریک از جملات این دنباله، از الگوی زیر ساخته می‌شود:

$\begin{array}{l} i f n = 1; a_{1} = 2 = 2 (1) \\ i f n = 2; a_{2} = 4 = 2 (2) \\ i f n = 3; a_{3} = 6 = 2 (3) \\ i f n = 4; a_{4} = 8 = 2 (4) \\ ⋮ \\ i f n = n; a_{n} = 2 (n) \end{array}$

جمله عمومی این دنباله به‌صورت زیر است:

$a_{n} = 2 n$

دنباله ای از اعداد طبیعی زوج و جمله عمومی آن به‌صورت زیر می‌باشد:

$2, 4, 6, 8, \dots, 2 n, . . .$

دنباله ای از اعداد طبیعی مربع کامل و جمله عمومی از این دنباله را بنویسید.

دنباله ای از اعداد طبیعی مربع کامل را می‌نویسیم:

$1, 4, 9, 16, \dots$

هریک از جملات این دنباله، از الگوی زیر ساخته می‌شود:

$\begin{array}{l} i f n = 1; a_{1} = 1 = 1^{2} \\ i f n = 2; a_{2} = 4 = 2^{2} \\ i f n = 3; a_{3} = 9 = 3^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f n = 4; a_{4} = 16 = 4^{2} \\ ⋮ \\ i f n = n; a_{n} = n^{2} \end{array}$

جمله عمومی این دنباله به‌صورت زیر است:

$a_{n} = n^{2}$

دنباله ای از اعداد طبیعی مربع کامل و جمله عمومی آن به‌صورت زیر می‌باشد:

$1, 4, 9, 16, \dots, n^{2}, \dots$

تعریف دنباله

یک دنباله نامتناهی، تابعی است مانند $f$ که دامنه آن مجموعه اعداد طبیعی و برد آن زیرمجموعه ای از اعداد حقیقی است:

$\begin{array}{l} \{\begin{matrix} f : & N & \to & R \\ ↓ & ↓ \\ n & \to & f (n) \end{matrix} \\ f (n) = a_{n} \end{array}$

مقدار تابع $f$ به ازای عدد طبیعی $n$ یعنی $f (n)$ را با $a_{n}$ نشان می‌دهیم و آن را جمله عمومی دنباله می‌نامیم.

نکته

دنباله $f$ را به‌صورت اختصاری با استفاده از جمله عمومی با $\{a_{n}\}$ نمایش می‌دهند.

تابع $f$ را برحسب زوج مرتب به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$\begin{array}{l} f = \{(n, a_{n}) |n \in N\} = \{(1, a_{1}), (2, a_{2}), ..., (n, a_{n}), ...\} \\ \begin{matrix} ↓ & ↓ & ↓ \\ f (1) & f (2) & f (n) \end{matrix} \end{array}$

از آنجایی که دامنه دنباله‌ ها، مجموعه اعداد طبیعی $N$ است، معمولا در نمایش دنباله از نوشتن عضوهای دامنه (مولفه اول زوج های مرتب) خودداری می‌کنیم و می‌نویسیم:

$f = \{a_{n} |n \in N\} = \{a, a_{2}, ..., a_{n}, ...\} = {\{a_{n}\}}_{n = 1}^{\infty}$

که به اختصار به‌صورت $\{a_{n}\}$ نمایش می‌دهند.

جملات یک دنباله ممکن است عدد، خط، شکل و یا هر چیز دیگری باشد و اگر جملات یک دنباله عدد باشد، آن را دنباله عددی می‌نامند.

جملات یک دنباله ممکن است عدد، خط، شکل و یا هر چیز دیگری باشد و اگر جملات یک دنباله، عدد باشد، آن را دنباله عددی می‌نامند.

تمرین

چند جمله اول هر یک از دنباله های زیر را بنویسید.

${\frac{n + 1}{n^{2}}}_{n = 1}^{\infty}$

$\begin{array}{l} n = 1 : \frac{1 + 1}{1^{2}} = \frac{2}{1} = 2 \\ n = 2 : \frac{2 + 1}{2^{2}} = \frac{3}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 3 : \frac{3 + 1}{3^{2}} = \frac{4}{9} \\ n = 4 : \frac{4 + 1}{4^{2}} = \frac{5}{16} \\ ⋮ \end{array}$

${\{\frac{n + 1}{n^{2}}\}}_{n = 1}^{\infty} = \{2, \frac{3}{4}, \frac{4}{9}, \frac{5}{16}, \dots\}$

${\frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2^{n}}}_{n = 0}^{\infty}$

$\begin{array}{l} n = 0 : \frac{{(- 1)}^{0 + 1}}{2^{0}} = \frac{- 1}{1} = - 1 \\ n = 1 : \frac{{(- 1)}^{1 + 1}}{2^{1}} = \frac{1}{2} \\ n = 2 : \frac{{(- 1)}^{2 + 1}}{2^{2}} = \frac{- 1}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 3 : \frac{{(- 1)}^{3 + 1}}{2^{3}} = \frac{1}{8} \\ n = 4 : \frac{{(- 1)}^{4 + 1}}{2^{4}} = \frac{- 1}{16} \\ ⋮ \end{array}$

${\frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2^{n}}}_{n = 0}^{\infty} = {- 1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, - \frac{1}{16}, \dots}$

${\frac{4 n}{n^{2} - 7}}_{n = 0}^{\infty}$

$\begin{array}{l} n = 0 : \frac{4 (0)}{{(0)}^{2} - 7} = 0 \\ n = 1 : \frac{4 (1)}{{(1)}^{2} - 7} = \frac{4}{- 6} = - \frac{2}{3} \\ n = 2 : \frac{4 (2)}{{(2)}^{2} - 7} = \frac{8}{- 3} = - \frac{8}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 3 : \frac{4 (3)}{{(3)}^{2} - 7} = \frac{12}{2} = 6 \\ n = 4 : \frac{4 (4)}{{(4)}^{2} - 7} = \frac{16}{9} \\ ⋮ \end{array}$

${\frac{4 n}{n^{2} - 7}}_{n = 0}^{\infty} = {0, - \frac{2}{3}, - \frac{8}{3}, 6, \frac{16}{9}, \dots}$

${\frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2 n + {(- 3)}^{n}}}_{n = 2}^{\infty}$

$\begin{array}{l} n = 2 : \frac{{(- 1)}^{2 + 1}}{2 (2) + {(- 3)}^{2}} = \frac{- 1}{13} = - \frac{1}{13} \\ n = 3 : \frac{{(- 1)}^{3 + 1}}{2 (3) + {(- 3)}^{3}} = \frac{1}{- 21} = - \frac{1}{21} \\ n = 4 : \frac{{(- 1)}^{4 + 1}}{2 (4) + {(- 3)}^{4}} = \frac{- 1}{89} = - \frac{1}{89} \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 5 : \frac{{(- 1)}^{5 + 1}}{2 (5) + {(- 3)}^{5}} = \frac{1}{- 233} = - \frac{1}{233} \\ n = 6 : \frac{{(- 1)}^{6 + 1}}{2 (6) + {(- 3)}^{6}} = \frac{- 1}{741} = - \frac{1}{741} \end{array}$

${\frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2 n + {(- 3)}^{n}}}_{n = 2}^{\infty} = {- \frac{1}{13}, - \frac{1}{21}, - \frac{1}{89}, - \frac{1}{233}, - \frac{1}{741}, \dots}$

نکته

اگر جمله عمومی دنباله ‌ای معلوم باشد، جمله‌‌های دنباله از روی آنها با قرار دادن $n = 1, 2, 3, . . .$ به‌دست می‌آید.

تمرین

جمله های عمومی زیر چه دنباله ای از اعداد را تولید می‌کند؟

$a_{n} = n^{2} + n$

$\begin{array}{l} i f n = 1 : a_{1} = {(1)}^{2} + 1 = 2 \\ i f n = 2 : a_{2} = {(2)}^{2} + 2 = 6 \\ i f n = 3 : a_{3} = {(3)}^{2} + 3 = 12 \\ ⋮ \end{array}$

جمله عمومی فوق، دنباله زیر را تولید می‌کند:

$2, 6, 12, ..., n^{2} + n, . . .$

$a_{n} = \frac{2 n}{n + 1}$

$\begin{array}{l} n = 1 : a_{1} = \frac{2 (1)}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1 \\ n = 2 : a_{2} = \frac{2 (2)}{2 + 1} = \frac{4}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 3 : a_{3} = \frac{2 (3)}{3 + 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \\ n = 4 : a_{4} = \frac{2 (4)}{4 + 1} = \frac{8}{5} \\ ⋮ \end{array}$

جمله عمومی فوق، دنباله زیر را تولید می‌کند:

$1, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}, \frac{8}{5}, . . ., \frac{2 n}{n + 1}, . . .$

$a_{n} = 3 n^{2} - \frac{1}{n}$

$\begin{array}{l} n = 1 : a_{1} = 3 {(1)}^{2} - \frac{1}{1} = 3 - 1 = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 2 : a_{2} = 3 {(2)}^{2} - \frac{1}{2} = 12 - \frac{1}{2} = \frac{23}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 3 : a_{3} = 3 {(3)}^{2} - \frac{1}{3} = 27 - \frac{1}{3} = \frac{80}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 4 : a_{4} = 3 {(4)}^{2} - \frac{1}{4} = 48 - \frac{1}{4} = \frac{191}{4} \\ ⋮ \end{array}$

جمله عمومی فوق، دنباله زیر را تولید می‌کند:

$2, \frac{23}{2}, \frac{80}{3}, \frac{191}{4}, . . ., 3 n^{2} - \frac{1}{n}, . . .$

$a_{n} = 2^{n} - n^{2}$

$\begin{array}{l} n = 1 : a_{1} = 2^{1} - 1^{2} = 2 - 1 = 1 \\ n = 2 : a_{2} = 2^{2} - 2^{2} = 4 - 4 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 3 : a_{3} = 2^{3} - 3^{2} = 8 - 9 = - 1 \\ n = 4 : a_{4} = 2^{4} - 4^{2} = 16 - 16 = 0 \\ ⋮ \end{array}$

جمله عمومی فوق، دنباله زیر را تولید می‌کند:

$1, 0, - 1, 0, . . ., 2^{n} - n^{2}, . . .$

تمرین

دنباله ‌ای با جمله عمومی زیر مفروض است:

$a_{n} = n^{2} - n$

اعداد $125, 72$ نسبت به جملات اين دنباله چه وضعی دارند؟

$\begin{array}{l} a_{n} = n^{2} - n; n = 72 \\ n^{2} - n = 72 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n^{2} - n - 72 = 0 \\ \Rightarrow (n - 9) (n + 8) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} n = 9 \\ n = - 8 \otimes \end{cases} \end{array}$

اگر $n = 2$ باشد به اين مفهوم است كه عدد $72$ جمله $9$ ام اين دنباله است.

$\begin{array}{l} a_{n} = n^{2} - n; n = 125 \\ \Rightarrow n^{2} - n = 125 \\ \Rightarrow n^{2} - n - 125 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 (125)}}{2} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} n = - 10.69 \otimes \\ n = 11.69 \end{cases} \end{array}$

$11.69$ بین $11$ و $12$ است.

نتيجه می‌گيريم كه عدد $125$ بين جملات مرتبه $11$ ام و $12$ ام می‌باشد.

تمرین

در يک دنباله اعداد طبيعی، چهار عدد فرد متوالی به طريقی بيابيد، به‌طور که:

مجموع مربعات آنها از مجموع مربعات اعداد زوج بين آنها $48$ واحد بيش‌تر باشد.

چهار عدد فرد متوالی، دنباله ای از اعداد زیر را ایجاد می‌کند:

$n, n + 2, n + 4, n + 6$

سه عدد زوج متوالی بين‌ آنها، دنباله ای از اعداد زیر را ایجاد می‌کند:

$n + 1, n + 3, n + 5$

$\begin{array}{l} n^{2} + {(n + 2)}^{2} + {(n + 4)}^{2} + {(n + 6)}^{2} = 48 + {(n + 1)}^{2} + {(n + 3)}^{2} + {(n + 5)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n^{2} + 6 n - 27 = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} n = 3 \\ n = - 9 \otimes \end{cases} \end{array}$

این دنباله به‌صورت زیر می‌باشد:

$3, 5, 7, 9$

تمرین

در دنباله زیر، چندمين جمله دنباله برابر $399$ است؟

$a_{n} = n^{2} - 2 n$

$\begin{array}{l} a_{n} = n^{2} - 2 n; a_{n} = 399 \\ \Rightarrow n^{2} - 2 n = 399 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n^{2} - 2 n - 399 = 0 \\ \Rightarrow (n - 21) (n + 19) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} n = 21 \\ n = - 19 \otimes \end{cases} \end{array}$

$n = 21$ قابل قبول است و جمله $21$ ام برابر $399$ است.

تمرین

دنباله زیر را در نظر بگیرید:

$a_{n} = 1 + {(- 1)}^{n} \frac{3}{n}$

اگر $a_{n} < 1.02$ باشد، $n$ چقدر است؟

$\begin{array}{l} 1 + {(- 1)}^{n} \frac{3}{n} < 1.02 \\ \Rightarrow {(- 1)}^{n} \frac{3}{n} < 1.02 - 1 \\ \Rightarrow {(- 1)}^{n} \frac{3}{n} < 0.02 \end{array}$

نامساوی فوق به‌ازای $n$ های فرد، همواره برقرار است.

وقتی $n$ زوج باشد، داريم:

$\begin{array}{l} {(- 1)}^{n} \frac{3}{n} < 0.02; n = 2 k \\ \Rightarrow \frac{3}{n} < \frac{2}{100} \\ \Rightarrow 2 n > 300 \\ \Rightarrow n > 150 \end{array}$

تمرین

کمترین مقدار $n$ را طوری بیابید که نامساوی زیر برقرار باشد.

$\frac{n}{n^{2} + 100} < \frac{1}{100}$

$\begin{array}{l} \frac{n}{n^{2} + 100} < \frac{1}{100} \\ \Rightarrow n^{2} + 100 > 100 n \\ \Rightarrow n^{2} - 100 n + 100 > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n^{2} - 100 n + 100 + (2400) > (2400) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n^{2} - 100 n + 2500 > 2400 \\ \Rightarrow {(n - 50)}^{2} > 2400 \end{array}$

كم‌ترين مقدار $n$ عدد $99$ است:

$i f n = 99; {(99 - 50)}^{2} = {(49)}^{2} = 2401 > 2400$

تمرین

دنباله زیر چند جمله منفی دارد؟

$a_{n} = n^{2} - 6 n - 187$

$n^{2} - 6 n - 187 = 0 \Rightarrow (n - 17) (n + 11) = 0$

پرانتز $(n + 11)$ برای $n \in N$ همواره مثبت.

پرانتز $(n - 17)$ به‌ازای $1 \leq n \leq 16$ منفی هستند.

جملات اول تا شانزدهم اين دنباله اعدادی منفی هستند.

تمرین

جمله پنجم دنباله های زیر رامشخص کنید.

$\{\begin{cases} a_{n + 1} = \frac{1}{3} a_{n} \\ a_{1} = - 2 \end{cases}$

$\begin{array}{l} a_{2} = \frac{1}{3} a_{1} = \frac{1}{3} (- 2) = - \frac{2}{3} \\ a_{3} = \frac{1}{3} a_{2} = \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{9} \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{4} = \frac{1}{3} a_{3} = \frac{1}{3} (- \frac{2}{9}) = - \frac{2}{27} \\ a_{5} = \frac{1}{3} a_{4} = \frac{1}{3} (- \frac{2}{27}) = - \frac{2}{81} \end{array}$

$\{\begin{cases} a_{n + 1} = \frac{1}{1 + a_{n}} \\ a_{1} = 1 \end{cases}$

$\begin{array}{l} a_{2} = \frac{1}{1 + a_{1}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \\ a_{3} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{4} = \frac{1}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{3}{5} \\ a_{5} = \frac{1}{1 + \frac{3}{5}} = \frac{5}{8} \end{array}$

$\{\begin{cases} a_{n + 3} = a_{n} + a_{n + 1} + a_{n + 2} \\ a_{1} = a_{2} = a_{3} = 1 \end{cases}$

$\begin{array}{l} n = 1; a_{1 + 3} = a_{1} + a_{1 + 1} + a_{1 + 2} \Rightarrow a_{4} = a_{1} + a_{2} + a_{3} = 1 + 1 + 1 = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 2; a_{2 + 3} = a_{2} + a_{2 + 1} + a_{2 + 2} \Rightarrow a_{5} = a_{2} + a_{3} + a_{4} = 1 + 1 + 3 = 5 \end{array}$

$\{\begin{cases} a_{n + 1} = a_{n} + {(- 1)}^{n} \\ a_{1} = 1 \end{cases}$

$\begin{array}{l} a_{1 + 1} = a_{1} + {(- 1)}^{1} = 1 + (- 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{2 + 1} = a_{3} = a_{2} + {(- 1)}^{2} = 0 + (1) = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{3 + 1 =} a_{4} = a_{3} + {(- 1)}^{3} = 1 + (- 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{4 + 1 =} a_{5} = a_{4} + {(- 1)}^{4} = 0 + (1) = 1 \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

سوال مهم این است که اگر چند جمله اولیه یک دنباله نامتناهی را داشته باشیم، آیا می‌توانیم جمله عمومی آن را پیدا کنیم؟

پاسخ این سوال گاهی مثبت است و گاهی منفی.

در دست بودن چند جمله اول یک دنباله نامتناهی برای تعریف دنباله و تعیین جمله عمومی آن کافی نیست.

تمرین

جمله عمومی دنباله های زیر را حدس بزنید.

$1, 3, 5, 7, . . . .$

$a_{n} = 2 n - 1$

$3, 9, 27, 81, ....$

$a_{n} = 3^{n}$

$1, 3, 9, 17, 21, ....$

نمی‌توانیم جمله عمومی را پیدا کنیم.

تمرین

با استفاده از چوب کبریت، سه شکل زیر ساخته شده است.

تعداد چوب کبریت‌های به‌کار رفته در شکل $n$ ام چند تا است.

$\begin{array}{l} n = 1 : a_{1} = 4 = 3 (1) + 1 \\ n = 2 : a_{2} = 7 = 3 (2) + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 3 : a_{3} = 10 = 3 (3) + 1 \\ ⋮ \\ n = n : a_{n} = 3 (n) + 1 \end{array}$

تمرین

با استفاده از چوب کبریت، سه شکل زیر ساخته شده است.

تعداد چوب کبریت‌های به‌کار رفته در شکل $n$ ام چند تا است.

$\begin{array}{l} n = 1 : a_{1} = 4 = 4 (1) \\ n = 2 : a_{2} = 8 = 4 (2) \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 3 : a_{3} = 12 = 4 (3) \\ ⋮ \\ n = n : a_{n} = 4 (n) \end{array}$

تمرین

شکل زیر سه ردیف از صندلی های یک سالن تئاتر را نشان می‌دهد.

تعداد صندلی های ردیف بعدی از الگوی افزایش صندلی این سه ردیف پیروی می‌کنند.

تعداد صندلی ها را تا ردیف هفتم به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} n = 1 : a_{1} = 6 = 4 (1) + 2 \\ n = 2 : a_{2} = 10 = 4 (2) + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 3 : a_{3} = 14 = 4 (3) + 2 \\ ⋮ \\ n = n : a_{n} = 4 n + 2 \end{array}$

بر اساس جمله عمومی، صندلی‌ها را تا ردیف هفتم به‌دست می‌آوریم:

$\begin{array}{l} n = 4 : a_{4} = 4 (4) + 2 = 18 \\ n = 5 : a_{5} = 4 (5) + 2 = 22 \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 6 : a_{6} = 4 (6) + 2 = 26 \\ n = 7 : a_{7} = 4 (7) + 2 = 30 \end{array}$

تمرین

جمله $n$ ام دنباله های زیر را بنویسید.

$\begin{array}{l} 2, 7, 12, 17, ... \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 1 : a_{1} = 2 = 5 (1) - 3 \\ n = 2 : a_{2} = 7 = 5 (2) - 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 3 : a_{3} = 12 = 5 (3) - 3 \\ n = 4 : a_{4} = 17 = 5 (4) - 3 \\ ⋮ \\ n = n : a_{n} = 5 n - 3 \end{array}$

$\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1, 1 \frac{1}{4}, 1 \frac{1}{2}, ...$

$\begin{array}{l} n = 1 : a_{1} = \frac{1}{4} = \frac{1}{4} (1) \\ n = 2 : a_{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{4} (2) \\ n = 3 : a_{3} = \frac{3}{4} = \frac{1}{4} (3) \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 4 : a_{4} = 1 = \frac{1}{4} (4) \\ n = 5 : a_{5} = 1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4} = \frac{1}{4} (5) \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 6 : a_{6} = 1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{1}{4} (6) \\ ⋮ \\ n = n : a_{n} = \frac{1}{4} n \end{array}$

$0, \frac{1}{4}, \frac{3}{8}, \frac{7}{16}, ...$

$\begin{array}{l} n = 1 : a_{1} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 2 : a_{2} = \frac{1}{4} = \frac{2 - 1}{2^{2}} = \frac{2^{2 - 1} - 1}{2^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 3 : a_{3} = \frac{3}{8} = \frac{4 - 1}{2^{3}} = \frac{2^{3 - 1} - 1}{2^{3}} \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 4 : a_{4} = \frac{7}{16} = \frac{8 - 1}{2^{4}} = \frac{2^{4 - 1} - 1}{2^{4}} \end{array}$

$\begin{array}{l} ⋮ \\ n = n : a_{n} = \frac{2^{n - 1} - 1}{2^{n}} \end{array}$

$1, 0, 1, 0, 1$

$\begin{array}{l} n = 1 : a_{1} = 1 = \frac{1 - {(- 1)}^{1}}{2} \\ n = 2 : a_{2} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 3 : a_{3} = 1 = \frac{1 - {(- 1)}^{3}}{2} \\ n = 4 : a_{4} = 0 \\ ⋮ \\ n = n : a_{n} = 1 = \frac{1 - {(- 1)}^{n}}{2} \end{array}$

$\frac{1 - {(- 1)}^{n}}{2} = \{\begin{array}{l} 0; n = 2 k \\ 1; n = 2 k + 1 \end{array} k \in N$

$\begin{array}{l} 2, 1, \frac{10}{9}, \frac{17}{13}, \frac{26}{17}, \frac{37}{21}, .... \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 1 : a_{1} = 2 = \frac{2}{1} = \frac{{(1)}^{2} + 1}{4 (1) - 3} \\ n = 2 : a_{2} = 1 = \frac{5}{5} = \frac{{(2)}^{2} + 1}{4 (2) - 3} \\ n = 3 : a_{3} = \frac{10}{9} = \frac{{(3)}^{2} + 1}{4 (3) - 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 4 : a_{4} = \frac{17}{13} = \frac{{(4)}^{2} + 1}{4 (4) - 3} \\ n = 5 : a_{5} = \frac{26}{17} = \frac{{(5)}^{2} + 1}{4 (5) - 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 6 : a_{6} = \frac{37}{21} = \frac{{(6)}^{2} + 1}{4 (6) - 3} \\ ⋮ \\ n = n : a_{n} = \frac{n^{2} + 1}{4 n - 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} 1, \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{4}, 5, \frac{1}{6}, ... \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 1 : a_{1} = 1 \\ n = 2 : a_{2} = \frac{1}{2} \\ n = 3 : a_{3} = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 4 : a_{4} = \frac{1}{4} \\ n = 5 : a_{4} = 5 \\ n = 6 : a_{4} = \frac{1}{6} \end{array}$

$n = n : a_{n} = \{\begin{cases} n; n = 2 k + 1 \\ \frac{1}{n}; n = 2 k \end{cases}$

$5, 4, \frac{11}{3}, \frac{14}{4}, \frac{17}{5}, \dots$

$\begin{array}{l} n = 1 : a_{1} = 5 = \frac{5}{1} = \frac{3 (1) + 2}{(1)} \\ n = 2 : a_{2} = 4 = \frac{8}{2} = \frac{3 (2) + 2}{(2)} \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 3 : a_{3} = \frac{11}{3} = \frac{3 (3) + 2}{(3)} \\ n = 4 : a_{4} = \frac{14}{4} = \frac{3 (4) + 2}{(4)} \\ ⋮ \\ n = n : a_{n} = \frac{3 (n) + 2}{(n)} \end{array}$

تمرین

آیا جمله عمومی $a_{n} = - \frac{1}{2} + n$ می‌تواند قانون دنباله زیر باشد؟

$\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}, ....$

$\begin{array}{l} n = 1 \Rightarrow a_{1} = - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \\ n = 2 \Rightarrow a_{2} = - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2} \neq \frac{2}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 3 \Rightarrow a_{3} = - \frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2} \neq \frac{3}{4} \\ n = 4 \Rightarrow a_{4} = - \frac{1}{2} + 4 = \frac{7}{2} \neq \frac{5}{6} \end{array}$

جملات دوم، سوم، چهارم دنباله تولید نمی‌شود.

جمله عمومی $a_{n} = - \frac{1}{2} + n$ نمی‌تواند قانون دنباله فوق باشد.

یادآوری

اگر چند جمله اول یک دنباله معلوم باشد و بتوانیم جمله عمومی آن را پیدا کنیم، نمی‌توان گفت جمله عمومی به‌دست آمده منحصر به فرد است، دنباله می‌تواند جمله عمومی دیگری هم داشته باشد.

تمرین

به شکل زیر و تعداد چوب کبریت‌های به کار رفته در هر یک از آنها توجه کنید:

جمله عمومی الگوی فوق را بیابید.

تعداد چوب کبریت‌های شکل اول برابر $5$ است، در واقع عدد $5$ جمله اول الگوست و به همین ترتیب الی آخر.

$\begin{array}{l} a_{1} = 5 = 3 (1) + 2 \\ a_{2} = 8 = 3 (2) + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{3} = 11 = 3 (3) + 2 \\ a_{4} = 14 = 3 (4) + 2 \\ ⋮ \\ a_{n} = 3 (n) + 2 \end{array}$

آیا الگوی فوق می‌تواند جمله عمومی دیگری هم داشته باشد؟

$\begin{array}{l} a_{1} = 5 = 5 + 3 (1 - 1) = 5 + 3 (0) \\ a_{2} = 8 = 5 + 3 (2 - 1) = 5 + 3 (1) \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{3} = 11 = 5 + 3 (3 - 1) = 5 + 3 (2) \\ a_{4} = 14 = 5 + 3 (4 - 1) = 5 + 3 (3) \\ ⋮ \\ a_{n} = 5 + 3 (n - 1) \end{array}$

یادآوری

هرگاه دنباله فاقد ضابطه و قانون مشخص باشد، یعنی جمله عمومی آن را نتوانیم با فرمول ساده و معین بیان کنیم، چاره ای نداریم جز آن‌که جملات دنباله را یکی‌یکی و به دنبال هم نام ببریم و از نماد دنباله نمی‌توانیم استفاده کنیم.

تمرین

جمله عمومی دنباله زیر را به‌دست آورید.

$3, 3.14, 3.1428, .......$

برای این دنباله هیچ قاعده و یا قانونی که بر طبق آن بتوان جملات دنباله را تولید کرد، وجود ندارد.

اعداد این دنباله به عدد $π$ گرایش دارند.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

ممکن است در یک دنباله، اندیس جمله اول عدد یک نباشد، یعنی دامنه زیرمجموعه ای از $Z$ باشد، مانند دنباله زیر:

$\{a_{0}, a_{1}, a_{2}, ...\}$

که دامنه آن $N \cup \{0\}$ است یا دنباله ای مانند زیر:

$\{a_{- 3}, a_{- 2}, ...\}$

اما می‌توانیم با انتخاب تغییر متغیر یا همان تغییر در نام‌گذاری به همان تعریف اولیه که دامنه $N$ باشد، برسیم.

تمرین

در دنباله باضابطه زیر، اولین جمله به ازای چه مقدار $n$ به‌دست می‌آید؟

$a_{n} = \sqrt{n - 7}$

واضح است که اولین جمله به ازای $n = 1$ به‌دست نمی‌آید و باید $n \geq 7$ باشد.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

مقدمه و تعریف

6,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

دنباله‌

مقدمه و تعریف

مقدمه‌ای بر دنباله

تعریف دنباله

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟