سرفصل‌های این مبحث

دنباله های ریاضی

نمودار دنباله و الگوهای خطی و غیر خطی

آخرین ویرایش: 25 دی 1402

دسته‌بندی: دنباله های ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

نمایش محوری دنباله

می‌توان تمام جمله ‌های یک دنباله را مانند نقاط روی یک محور اعداد حقیقی نمایش داد.

در نمایش محوری دنباله‌ ها، مجموعه جملات نمایش داده می‌شود و تمام جمله ‌های برابر، دارای یک نمایش هستند.

تمرین

جملات دنباله ‌های زیر را روی محور اعداد حقيقی نمايش دهيد.

$\begin{array}{l} a_{n} = {(- 1)}^{n} \end{array}$

$a_{n} = {(- 1)}^{n} = \{a_{1} = - 1, a_{2} = 1, a_{3} = - 1, a_{4} = 1, ...\}$

$a_{n} = \frac{n + 1}{n}$

$b_{n} = \frac{n + 1}{n} = \{a_{1} = 2, a_{2} = \frac{3}{2}, a_{3} = \frac{4}{3}, a_{4} = \frac{5}{4}, ...\}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نمایش دکارتی دنباله

نقطه $(n, a_{n})$ یک نقطه از نمودار است که نمایش یک جمله از دنباله می‌باشد.

در حالت کلی نمایش یک دنباله توسط نمایش دکارتی مفیدتر است زیرا اطلاعات بیشتری به ما داده می‌شود.

تمرین

نمودار دکارتی دنباله های زیر را رسم کنید:

$b_{n} = 1 - n$

$\begin{array}{l} n = 1 \Rightarrow b_{1} = 1 - (1) = 0 \\ n = 2 \Rightarrow b_{2} = 1 - (2) = - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 3 \Rightarrow b_{3} = 1 - (3) = - 2 \\ n = 4 \Rightarrow b_{4} = 1 - (4) = - 3 \\ n = 5 \Rightarrow b_{5} = 1 - (5) = - 4 \end{array}$

نمودار دنباله - الگو خطی - الگو غیر خطی - پیمان گردلو

$a_{n} = 2 n - 1$

$\begin{array}{l} n = 1 \Rightarrow a_{1} = 2 (1) - 1 = 1 \\ n = 2 \Rightarrow a_{2} = 2 (2) - 1 = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 3 \Rightarrow a_{3} = 2 (3) - 1 = 5 \\ n = 4 \Rightarrow a_{4} = 2 (4) - 1 = 7 \\ n = 5 \Rightarrow a_{5} = 2 (5) - 1 = 9 \end{array}$

نمودار دنباله - الگو خطی - الگو غیر خطی - پیمان گردلو

$a_{n} = {(- 1)}^{n}$

$\begin{array}{l} n = 1 : a_{1} = {(- 1)}^{1} = - 1 \\ n = 2 : a_{2} = {(- 1)}^{2} = 1 \\ n = 3 : a_{3} = {(- 1)}^{3} = - 1 \\ ⋮ \end{array}$

$b_{n} = \frac{n + 1}{n}$

$\begin{array}{l} n = 1 : b_{1} = 2 \\ n = 2 : b_{2} = \frac{3}{2} \\ n = 3 : b_{3} = \frac{4}{3} \\ ⋮ \end{array}$

$a_{n} = \{\frac{1}{n}\}$

$\begin{array}{l} n = 1 : a_{1} = 1 \\ n = 2 : a_{2} = \frac{1}{2} \\ n = 3 : a_{3} = \frac{1}{3} \\ ⋮ \end{array}$

$a_{n} = \{\begin{matrix} 1 & n = 2 k + 1 \\ \frac{2}{n + 2} & n = 2 k \end{matrix}$

$\{(n, a_{n}) |n \in N\} = \{(1, 1), (2, \frac{1}{2}), (3, 1), (4, \frac{1}{3}), ....\}$

$c_{n} = {(n - 2)}^{2}$

$\begin{array}{l} n = 1 : c_{1} = {(1 - 2)}^{2} = 1 \\ n = 2 : c_{2} = {(2 - 2)}^{2} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 3 : c_{3} = {(3 - 2)}^{2} = 1 \\ n = 4 : c_{4} = {(4 - 2)}^{2} = 4 \end{array}$

$d_{n} = \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n}$

$\begin{array}{l} n = 1 : d_{1} = \frac{{(- 1)}^{1 + 1}}{1} = 1 \\ n = 2 : d_{2} = \frac{{(- 1)}^{2 + 1}}{2} = - \frac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 3 : d_{3} = \frac{{(- 1)}^{3 + 1}}{3} = \frac{1}{3} \\ n = 4 : d_{4} = \frac{{(- 1)}^{4 + 1}}{4} = - \frac{1}{4} \end{array}$

$a_{n} = 3^{n}$

$\begin{array}{l} n = 1 : a_{1} = 3^{1} \\ n = 2 : a_{2} = 3^{2} \\ n = 3 : a_{3} = 3^{3} \end{array}$

$a_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n}$

$\begin{array}{l} n = 1 : a_{1} = {(\frac{1}{3})}^{1} = \frac{1}{3} \\ n = 2 : a_{2} = {(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9} \\ n = 3 : a_{3} = {(\frac{1}{3})}^{3} = \frac{1}{27} \end{array}$

تمرین

نمودار دنباله های زیر را برای $n \leq 5$ رسم کنید.

$a_{n} = - \frac{1}{2} n + 3$

$\begin{array}{l} n = 1 : a_{1} = - \frac{1}{2} (1) + 3 = \frac{5}{2} \\ n = 2 : a_{2} = - \frac{1}{2} (2) + 3 = 2 \\ n = 3 : a_{3} = - \frac{1}{2} (3) + 3 = \frac{3}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 4 : a_{4} = - \frac{1}{2} (4) + 3 = 1 \\ n = 5 : a_{5} = - \frac{1}{2} (5) + 3 = \frac{1}{2} \end{array}$

$a_{n} = {(- \frac{1}{2})}^{n}$

$\begin{array}{l} n = 1 : a_{1} = {(- \frac{1}{2})}^{1} = - \frac{1}{2} \\ n = 2 : a_{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4} \\ n = 3 : a_{3} = {(- \frac{1}{2})}^{3} = - \frac{1}{8} \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 4 : a_{4} = {(- \frac{1}{2})}^{4} = \frac{1}{16} \\ n = 5 : a_{5} = {(- \frac{1}{2})}^{5} = - \frac{1}{32} \end{array}$

$a_{n + 1} = \frac{1}{a_{n}}; a_{1} = 2$

$\begin{array}{l} a_{1} = 2 \\ a_{1 + 1} = \frac{1}{a_{1}} : a_{2} = \frac{1}{2} \\ a_{2 + 1} = \frac{1}{a_{2}} : a_{3} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{3 + 1} = \frac{1}{a_{3}} : a_{4} = \frac{1}{2} \\ a_{4 + 1} = \frac{1}{a_{4}} : a_{5} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \end{array}$

$a_{n} = \{\begin{cases} 1; n = 2 k \\ \frac{1}{n}; n = 2 k + 1 \end{cases}$

$\begin{array}{l} n = 1 : a_{1} = \frac{1}{1} \\ n = 2 : a_{2} = 1 \\ n = 3 : a_{3} = \frac{1}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 4 : a_{4} = 1 \\ n = 5 : a_{5} = \frac{1}{5} \end{array}$

تمرین

نمودار میله‌ای زیر، تعداد مسافران پیاده شده در هر ایستگاه یک خط مترو در یک مسیر رفت را نشان می‌دهد.

$n \in N$ شماره ایستگاه و $f (n)$ تعداد مسافران پیاده شده از نخستین ایستگاه بعد از مبدا می‌باشد.

نمایش دکارتی آن را نشان دهید.

$f (n) = \{\begin{cases} 15 n; 1 \leq n \leq 3 \\ 15 + 45 (n - 4); 4 \leq n \leq 5 \end{cases}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

الگوهای خطی

مقدمه

برای ورود به بحث، تمرین زیر را در نظر بگیرید:

تمرین

جمله عمومی زیر مفروض است:

$a_{n} = 3 n + 2$

جدول زیر را تفسیر کنید:

در الگوی فوق هر جمله دقیقا سه واحد بیش از جمله قبل از خودش است.

چرا الگوی فوق یک الگوی خطی نامیده می‌شود؟

چنین الگوهایی را که در آنها اختلاف هر دو جمله متوالی عددی ثابت است،الگوهای خطی می‌نامیم.

دلیل این نام‌گذاری چیست؟

برای پی بردن به دلیل این نام‌گذاری، جدول زیر را در نظر می‌گیریم:

اگر این نقاط را در صفحه مختصات مشخص کنیم، همگی آنها روی خط $y = 3 x + 2$ قرار می‌گیرند.

به‌عبارت دیگر مختصات تمام این نقاط در معادله خط گفته شده صدق می‌کند.

شباهت بین معادله خطی $y = 3 x + 2$ و جمله عمومی الگو یعنی $a_{n} = 3 n + 2$ در چیست؟

عدد $3$ که در واقع اختلاف بین جملات متوالی الگو است و در معادله خط به عنوان شیب خط ظاهر شده است که این مطلب همواره درست است.

تعریف الگوی خطی

الگوهایی را که جمله عمومی آنها به‌صورت زیر است، در نظر بگیرید:

$a_{n} = a n + b$

الگوهایی که از فرمول فوق تبعیت می‌کنند، الگوی خطی نامیده می‌شوند که در آن $a$ و $b$ اعداد حقیقی دل‌خواه و ثابت هستند.

تمرین

جملات یک دنباله از قانون تابع خطی زیر پیروی می‌کند:

$y = 4 x - 1; x \in R$

با توجه به دامنه دنباله، نمودار تابع را رسم کنید و نمودار دنباله را روی نمودار تابع مشخص کنید.

$a_{n} = 4 n - 1 \Rightarrow \{\begin{cases} n = 1 \Rightarrow a_{1} = 4 (1) - 1 = 3 \\ n = 2 \Rightarrow a_{2} = 4 (2) - 1 = 7 \\ n = 3 \Rightarrow a_{3} = 4 (3) - 1 = 11 \\ ⋮ \end{cases}$

جمله عمومی دنباله $a_{n} = 4 n - 1$ از یک الگوی خطی پیروی می‌کند.

تمرین

در یک الگوی خطی، جملات چهارم و دهم به‌ترتیب $17$ و $41$ می‌باشند. جمله عمومی الگو را پیدا کنید.

جمله عمومی یک الگوی خطی به فرم زیر می‌باشد:

$a_{n} = a n + b \Rightarrow \{\begin{cases} a_{4} = 17 \Rightarrow a (4) + b = 17 \\ a_{10} = 41 \Rightarrow a (10) + b = 41 \end{cases}$

با حل دستگاه دو معادله و دو مجهول زیر داریم:

$\begin{matrix} (- 1) \times \end{matrix} \{\begin{cases} 4 a + b = 17 \\ 10 a + b = 41 \end{cases}〉 \{\begin{cases} - 4 a - b = - 17 \\ 10 a + b = 41 \end{cases}$

طرفین دو تساوی را با هم جمع می‌کنیم:

$6 a = 24 \Rightarrow a = 4 \overset{4 a + b = 17}{\to} 4 (4) + b = 17 \Rightarrow b = 1$

جمله عمومی این الگوی خطی به فرم زیر است:

$a_{n} = 4 n + 1$

الگوهای غیر خطی

مقدمه

برای ورود به بحث، تمرین زیر را در نظر بگیرید:

تمرین

به الگوی زیر توجه کنید:

جمله عمومی این الگو را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} a_{1} = {(1)}^{2} + 4 (1) = 5 \\ a_{2} = {(2)}^{2} + 4 (2) = 12 \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{3} = {(3)}^{2} + 4 (3) = 21 \\ ⋮ \\ ⋮ \\ a_{n} = {(n)}^{2} + 4 (n) \end{array}$

در الگو فوق، اختلاف هر دو جمله متوالی در آن، عدد ثابتی نیست.

تعریف الگوی غیر خطی

الگوهایی را که در آنها اختلاف هر دو جمله متوالی عددی ثابت نباشد، الگوهای غیر خطی می‌نامیم.

تمرین

مثلث خیام زیر را در نظر بگیرید:

جمع اعداد در هر سطر را نشان دهید:

با محاسبه مجموع اعداد سطر ششم و هفتم مثلث خیام، جملات ششم و هفتم الگو را مشخص کنید.

یادآوری) در مثلث خیام داریم:

$\begin{array}{l} n = 6 : 1 5 10 10 5 1 \Rightarrow a_{6} = 32 \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 7 : 1 6 15 20 15 6 1 \Rightarrow a_{6} = 64 \end{array}$

بر اساس رابطه میان هر دو جمله متوالی، جمله عمومی ای الگو را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} n = 1 \Rightarrow a_{1} = 1 = 2^{0} \\ n = 2 \Rightarrow a_{2} = 2 = 2^{1} \\ n = 3 \Rightarrow a_{3} = 4 = 2^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 4 \Rightarrow a_{4} = 8 = 2^{3} \\ n = 5 \Rightarrow a_{5} = 2^{4} = 16 \\ n = 6 \Rightarrow a_{6} = 2^{5} = 32 \\ ⋮ \\ ⋮ \\ a_{n} = 2^{n - 1} \end{array}$

این نقاط را در صفحه مختصات مشخص کنید.

اگر این نقاط را در صفحه مختصات مشخص کنیم، همگی آنها روی منحنی غیر خطی زیر قرار می‌گیرند:

$y = 2^{x - 1}; x \in N$

تمرین

به الگوی غیر خطی زیر توجه کنید:

اگر تعداد دایره ها در شکل $m$ ام به تعداد $25$ واحد بیشتر از دایره ها در شکل $n$ ام باشد، آن‌گاه:

مجموع مقادیر ممکن برای $m$ چند است؟

از الگوی زیر، جمله عمومی دنباله را به‌دست می‌آوریم:

$\begin{array}{l} a_{1} = 1 = \frac{(1) (2)}{2} \\ a_{2} = 3 = \frac{(2) (3)}{2} \\ a_{3} = 6 = \frac{(3) (4)}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{4} = 10 = \frac{(4) (5)}{2} \\ ⋮ \\ a_{k} = \frac{(k) (k + 1)}{2} \end{array}$

تعداد دایره ها در شکل $m$ ام به تعداد $25$ واحد بیشتر از دایره ها در شکل $n$ ام است:

$\begin{array}{l} a_{m} - a_{n} = 25 \\ \Rightarrow \frac{m (m + 1)}{2} - \frac{n (n + 1)}{2} = 25 \\ \Rightarrow m^{2} + m - n^{2} - n = 50 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (m^{2} - n^{2}) + (m - n) = 50 \\ \Rightarrow (m - n) (m + n) + (m - n) = 50 \\ \Rightarrow (m - n) (m + n + 1) = 50 \end{array}$

$m, n$ اعداد طبیعی هستند و $m > n$ می‌باشد.

مجموع مقادیر ممکن برای $m$ برابر است با:

$25 + 13 + 4 = 45$

خرید پاسخ‌ها

نمودار دنباله و الگوهای خطی و غیر خطی

4,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

دنباله‌

نمودار دنباله و الگوهای خطی و غیر خطی

نمایش محوری دنباله

نمایش دکارتی دنباله

الگوهای خطی

مقدمه

تعریف الگوی خطی

الگوهای غیر خطی

مقدمه

تعریف الگوی غیر خطی

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟