سرفصل‌های این مبحث

دنباله های ریاضی

حد دنباله (تعریف)

آخرین ویرایش: 25 دی 1402

دسته‌بندی: دنباله های ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه‌ای بر حد دنباله

برای ورود به بحث، تمرین های زیر را مشاهده کنید:

تمرین

خارج ‌قسمت تقسیم عدد $1$ بر عدد $3$ را تا یک رقم اعشار بیابید:

$\frac{1}{3} = 0 / 3$

خارج ‌قسمت تقسیم عدد $1$ بر عدد $3$ را تا دو رقم اعشار بیابید:

$\frac{1}{3} = 0 / 33$

خارج ‌قسمت تقسیم عدد $1$ بر عدد $3$ را تا سه رقم اعشار بیابید:

$\frac{1}{3} = 0 / 333$

خارج ‌قسمت تقسیم عدد $1$ بر عدد $3$ را تا چهار رقم اعشار بیابید:

$\frac{1}{3} = 0 / 3333$

خارج قسمت تقسیم های فوق را به‌صورت دنباله بنویسید:

$0 / 3, 0 / 33, 0 / 333, 0 / 3333, ...$

الگویی که در جملات این دنباله وجود دارد را بیان کنید:

الگویی که در جملات این دنباله وجود دارد، آن‌است که عدد $3$ بعد از ممیز همواره تکرار می‌شود.

خارج ‌قسمت تقسیم عدد $1$ بر عدد $3$ را تا $n$ رقم اعشار بیابید:

$\frac{1}{3} = \underset{n}{\underset{⏟}{0 / 3333 ... 3}}$

عدد $3$ بعد از ممیز $n$ مرتبه تکرار شده است.

تفاضل شش جمله اول این دنباله را از کسر $\frac{1}{3}$ حساب کنید.

$\begin{array}{l} \frac{1}{3} - 0 / 3 = \frac{1}{3} - \frac{3}{10} = \frac{10 - 9}{30} = \frac{1}{30} \\ \frac{1}{3} - 0 / 33 = \frac{1}{3} - \frac{33}{100} = \frac{100 - 99}{300} = \frac{1}{300} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{3} - 0 / 333 = \frac{1}{3} - \frac{333}{1000} = \frac{1000 - 999}{3000} = \frac{1}{3000} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{3} - 0 / 3333 = \frac{1}{3} - \frac{3333}{10 / 000} = \frac{10 / 000 - 9999}{30 / 000} = \frac{1}{30 / 000} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{3} - 0 / 33333 = \frac{1}{3} = \frac{33333}{100 / 000} = \frac{100 / 000 - 99999}{300 / 000} = \frac{1}{300 / 000} \end{array}$

$\frac{1}{3} - 0 / 333333 = \frac{1}{3} - \frac{333333}{1 / 000 / 000} = \frac{1 / 000 / 000 - 999999}{3 / 000 / 000} = \frac{1}{3 / 000 / 000}$

دنباله این تفاضل ها را تشکیل دهید:

$\frac{1}{30}, \frac{1}{300}, \frac{1}{3000}, \frac{1}{30 / 000}, \frac{1}{300 / 000}, \frac{1}{3 / 000 / 000}$

در دنباله‌ تفاضل فوق صورت کسر، عدد $1$ و به ازای هر $3$ بعد از ممیز، عدد صفر در مخرج ظاهر می‌شود.

در تفاضل $\frac{1}{3} - 0 / 33$ به ازای هر $3$ بعد از ممیز (که دو تا می‌باشد) دو تا عدد صفر در مخرج ظاهر می‌شود، یعنی $\frac{1}{300}$ .

جملات دنباله اصلی به چه عددی نزدیک می‌شود؟

جملات خود دنباله اصلی به عدد $\frac{1}{3}$ نزدیک می‌شود.

همان‌طور که مشاهده می‌شود، مخرج جملات دنباله‌ تفاضل، دائم در حال بزرگ شدن است یعنی خود کسر به‌ صفر نزدیک می‌شود.

تمرین

خارج ‌قسمت تقسیم عدد $1$ بر عدد $9$ را تا یک، دو ، سه ، چهار رقم اعشار بیابید:

$\begin{array}{l} \frac{1}{9} = 0 / 1 \\ \frac{1}{9} = 0 / 11 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{9} = 0 / 111 \\ \frac{1}{9} = 0 / 1111 \end{array}$

خارج قسمت تقسیم های فوق را به‌صورت دنباله بنویسید:

$0 / 1, 0 / 11, 0 / 111, 0 / 1111, ...$

تفاضل چهار جمله اول این دنباله را از کسر $\frac{1}{9}$ حساب کنید.

$\begin{array}{l} \frac{1}{9} - 0 / 1 = \frac{1}{9} - \frac{1}{10} = \frac{10 - 9}{90} = \frac{1}{90} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{9} - 0 / 11 = \frac{1}{9} - \frac{11}{100} = \frac{100 - 99}{900} = \frac{1}{900} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{9} - 0 / 111 = \frac{1}{9} - \frac{111}{1000} = \frac{1000 - 999}{9000} = \frac{1}{9000} \end{array}$

$\frac{1}{9} - 0 / 1111 = \frac{1}{9} - \frac{1111}{10 / 000} = \frac{10 / 000 - 9999}{90 / 000} = \frac{1}{90 / 000}$

دنباله این تفاضل ها را تشکیل دهید:

$\frac{1}{90}, \frac{1}{900}, \frac{1}{9 / 000}, \frac{1}{90 / 000}$

جملات دنباله اصلی به چه عددی نزدیک می‌شود؟

جملات خود دنباله اصلی به عدد $\frac{1}{9}$ نزدیک می‌شود.

تمرین

در مورد هر یک از دنباله های زیر حدس بزنید جملات این دنباله ها به چه عددی نزدیک می‌شوند و با تشکیل دنباله تفاضل حدس خود را بیازمایید.

$0 / 9, 0 / 99, 0 / 999, ...$

حدس می‌زنیم دنباله‌ فوق به عدد $1$ نزدیک می‌شود.

با تشکیل دنباله‌ تفاضل زیر، حدس خود را ثابت می‌کنیم:

$\begin{array}{l} 1 - 0 / 9 = 1 - \frac{9}{10} = \frac{10 - 9}{10} = \frac{1}{10} \end{array}$

$\begin{array}{l} 1 - 0 / 99 = 1 - \frac{99}{100} = \frac{100 - 99}{100} = \frac{1}{100} \end{array}$

$1 - 0 / 999 = 1 - \frac{999}{1000} = \frac{1000 - 999}{1000} = \frac{1}{1000}$

همان‌طور که مشاهده می‌شود، جملات دنباله‌ فوق وقتی از عدد $1$ کم می‌شوند، جملات حاصل به صفر نزدیک می‌شوند.

بنابراین جملات این دنباله به عدد $1$ نزدیک می‌شوند و این موضوع حدس ما را ثابت می‌کند یعنی دنباله‌ فوق به عدد $1$ نزدیک می‌شوند.

$2 / 9, 2 / 99, 2 / 999, ...$

حدس می‌زنیم دنباله‌ فوق به عدد $3$ نزدیک می‌شود.

با تشکیل دنباله‌ تفاضل زیر، حدس خود را ثابت می‌کنیم:

$\begin{array}{l} 3 - 2 / 9 = 3 - \frac{29}{10} = \frac{30 - 29}{10} = \frac{1}{10} \end{array}$

$\begin{array}{l} 3 - 2 / 99 = 3 - \frac{299}{100} = \frac{300 - 299}{100} = \frac{1}{100} \end{array}$

$3 - 2 / 999 = 3 - \frac{2999}{1000} = \frac{3000 - 2999}{1000} = \frac{1}{1000}$

همان‌طور که مشاهده می‌شود، جملات دنباله‌ فوق وقتی از عدد $3$ کم می‌شوند، جملات حاصل به صفر نزدیک می‌شوند.

بنابراین جملات این دنباله به عدد $3$ نزدیک می‌شوند و این موضوع حدس ما را ثابت می‌کند یعنی دنباله‌ فوق به عدد $3$ نزدیک می‌شوند.

$5 / 05, 5 / 005, 5 / 0005, ...$

حدس می‌زنیم دنباله‌ فوق به عدد $5$ نزدیک می‌شود.

با تشکیل دنباله‌ تفاضل زیر، حدس خود را ثابت می‌کنیم:

$\begin{array}{l} 5 - 5 / 05 = 5 - \frac{505}{100} = \frac{500 - 505}{100} = \frac{- 5}{100} = - 0 / 05 \end{array}$

$\begin{array}{l} 5 - 5 / 005 = 5 - \frac{5005}{1000} = \frac{5000 - 5005}{1000} = \frac{- 5}{1000} = - 0 / 005 \end{array}$

$5 - 5 / 0005 = 5 - \frac{50005}{10 / 000} = \frac{50 / 000 - 50005}{10 / 000} = \frac{- 5}{10 / 000} = - 0 / 0005$

علامت منفی در دنباله تفاضل نشان‌دهنده‌ آن است که جملات دنباله‌ اصلی کوچک‌تر می‌شوند.

همان‌طور که مشاهده می‌شود، جملات دنباله‌ فوق وقتی از عدد $5$ کم می‌شوند، جملات حاصل به صفر نزدیک می‌شوند.

بنابراین جملات این دنباله به عدد $5$ نزدیک می‌شوند و این موضوع حدس ما را ثابت می‌کند یعنی دنباله‌ فوق به عدد $5$ نزدیک می‌شوند.

$1 / 19, 1 / 199, 1 / 1999, ...$

حدس می‌زنیم دنباله‌ فوق به عدد $1 / 20$ نزدیک می‌شود.

با تشکیل دنباله‌ تفاضل زیر، حدس خود را ثابت می‌کنیم:

$\begin{array}{l} 1 / 20 - 1 / 19 = \frac{120}{100} - \frac{119}{100} = \frac{1}{100} \end{array}$

$\begin{array}{l} 1 / 20 - 1 / 199 = \frac{120}{100} - \frac{1199}{1000} = \frac{1200 - 1199}{1000} = \frac{1}{1000} \end{array}$

$1 / 20 - 1 / 1999 = \frac{120}{100} - \frac{11999}{10 / 000} = \frac{12000 - 11999}{10 / 000} = \frac{1}{10 / 000}$

همان‌طور که مشاهده می‌شود، جملات دنباله‌ فوق وقتی از عدد $1 / 20$ کم می‌شوند، جملات حاصل به صفر نزدیک می‌شوند.

بنابراین جملات این دنباله به عدد $1 / 20$ نزدیک می‌شوند و این موضوع حدس ما را ثابت می‌کند یعنی دنباله‌ فوق به عدد $1 / 20$ نزدیک می‌شوند.

تذکر

برخی دنباله ها به گونه‌ای هستند که اگر به جملات آنها نگاه کنیم، متوجه می‌شویم که این جملات به عدد خاصی نزدیک می‌شوند.

تمرین

جملات متوالی دنباله $a_{n} = \{\frac{1}{n}\}$ به چه عددی نزدیک می‌شود؟

$\begin{array}{l} i f n = 1 \Rightarrow a_{1} = \frac{1}{1} = 1 \\ i f n = 2 \Rightarrow a_{2} = \frac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f n = 3 \Rightarrow a_{3} = \frac{1}{3} \\ ⋮ \\ ⋮ \\ i f n = + \infty \Rightarrow a_{+ \infty} = \frac{1}{+ \infty} = 0 \end{array}$

توجه کنیم که جملات متوالی دنباله به عدد صفر نزدیک و نزدیک‌تر می‌شوند، هرچند که هیچ یک از جملات دنباله مساوی با صفر نیست.

می‌بینیم که جملات به قدر دل‌خواه به عدد صفر نزدیک می‌شوند به شرط آن‌که تعداد جملات را به قدر کافی بزرگ اختیار کنیم.

در این‌صورت می‌گوییم دنباله $a_{n} = \{\frac{1}{n}\}$ به عدد صفر همگراست.

با استفاده از تعریف حد، حد دنباله فوق را بیان کنید.

به بیان دیگر می‌توانیم $|\frac{1}{n} - 0|$ را کم‌تر از هر $ε > 0$ دل‌خواهی در نظر بگیریم، هرگاه $n$ را به قدر کافی بزرگ بگیریم یعنی $(n \to \infty)$ .

به این دلیل است که می‌گوئیم:

$\lim_{n \to + \infty} \{\frac{1}{n}\} = 0$

$ε$ در واقع نماینده همه اعدا کوچک و مثبت می‌باشد و چون در عمل یک عدد دلخواه فرض می‌شود،ما را از تجربه ها و محاسباتی که پایان ندارد، بی نیاز می‌سازد.

تمرین

جملات دنباله های زیر همگی به اعداد خاصی نزدیک می‌شوند:

$\{\frac{1}{n}\}; \{\frac{1}{n + 1}\}; \{{(- \frac{1}{2})}^{n}\}; \{1 + {(- \frac{1}{2})}^{n}\}$

تعریف حد دنباله

دنباله $\{a_{n}\}$ و عدد حقیقی $L$ را در نظر می‌گیریم، می‌گوییم دنباله $\{a_{n}\}$ دارای حد $L$ است و می‌نویسیم:

$\lim_{n \to + \infty} \{a_{n}\} = L$

در صورتی‌که برای هر $ε > 0$ عدد طبیعی مانند $M$ وجود داشته باشد به‌طوری‌که:

$\forall ε > 0 \exists M \in N; n \geq M \Rightarrow |a_{n} - L| < ε$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

دنباله‌

حد دنباله (تعریف)

مقدمه‌ای بر حد دنباله

تعریف حد دنباله

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟