دنباله‌

$\frac{1}{3}=0/3$

$\frac{1}{3}=0/33$

$\frac{1}{3}=0/333$

$\frac{1}{3}=0/3333$

$0/3,0/33,0/333,0/3333,\mathrm{...}$

الگویی که در جملات این دنباله وجود دارد، آن‌است که عدد $3$ بعد از ممیز همواره تکرار می‌شود.

$\frac{1}{3}=\underset{n}{\underbrace{0/3333\mathrm{...}3}}$

عدد $3$ بعد از ممیز $n$ مرتبه تکرار شده است.

$\begin{array}{l}\frac{1}{3}-0/3=\frac{1}{3}-\frac{3}{10}=\frac{10-9}{30}=\frac{1}{30}\\ \\ \frac{1}{3}-0/33=\frac{1}{3}-\frac{33}{100}=\frac{100-99}{300}=\frac{1}{300}\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{1}{3}-0/333=\frac{1}{3}-\frac{333}{1000}=\frac{1000-999}{3000}=\frac{1}{3000}\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{1}{3}-0/3333=\frac{1}{3}-\frac{3333}{10/000}=\frac{10/000-9999}{30/000}=\frac{1}{30/000}\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{1}{3}-0/33333=\frac{1}{3}=\frac{33333}{100/000}=\frac{100/000-99999}{300/000}=\frac{1}{300/000}\end{array}$

$\frac{1}{3}-0/333333=\frac{1}{3}-\frac{333333}{1/000/000}=\frac{1/000/000-999999}{3/000/000}=\frac{1}{3/000/000}$

$\frac{1}{30},\frac{1}{300},\frac{1}{3000},\frac{1}{30/000},\frac{1}{300/000},\frac{1}{3/000/000}$

در دنباله‌ تفاضل فوق صورت کسر، عدد $1$ و به ازای هر $3$ بعد از ممیز، عدد صفر در مخرج ظاهر می‌شود.

در تفاضل $\frac{1}{3}-0/33$ به ازای هر $3$ بعد از ممیز (که دو تا می‌باشد) دو تا عدد صفر در مخرج ظاهر می‌شود، یعنی $\frac{1}{300}$.

جملات خود دنباله اصلی به عدد $\frac{1}{3}$ نزدیک می‌شود.

همان‌طور که مشاهده می‌شود، مخرج جملات دنباله‌ تفاضل، دائم در حال بزرگ شدن است یعنی خود کسر به‌ صفر نزدیک می‌شود.

$\begin{array}{l}\frac{1}{9}=0/1\\ \\ \frac{1}{9}=0/11\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{1}{9}=0/111\\ \\ \frac{1}{9}=0/1111\end{array}$

$0/1,0/11,0/111,0/1111,\mathrm{...}$

$\begin{array}{l}\frac{1}{9}-0/1=\frac{1}{9}-\frac{1}{10}=\frac{10-9}{90}=\frac{1}{90}\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{1}{9}-0/11=\frac{1}{9}-\frac{11}{100}=\frac{100-99}{900}=\frac{1}{900}\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{1}{9}-0/111=\frac{1}{9}-\frac{111}{1000}=\frac{1000-999}{9000}=\frac{1}{9000}\end{array}$

$\frac{1}{9}-0/1111=\frac{1}{9}-\frac{1111}{10/000}=\frac{10/000-9999}{90/000}=\frac{1}{90/000}$

$\frac{1}{90},\frac{1}{900},\frac{1}{9/000},\frac{1}{90/000}$

همان‌طور که مشاهده می‌شود، مخرج جملات دنباله‌ تفاضل، دائم در حال بزرگ شدن است یعنی خود کسر به‌ صفر نزدیک می‌شود.

جملات خود دنباله اصلی به عدد $\frac{1}{9}$ نزدیک می‌شود.

حدس می‌زنیم دنباله‌ فوق به عدد $1$ نزدیک می‌شود.

با تشکیل دنباله‌ تفاضل زیر، حدس خود را ثابت می‌کنیم:

$\begin{array}{l}1-0/9=1-\frac{9}{10}=\frac{10-9}{10}=\frac{1}{10}\end{array}$

$\begin{array}{l}1-0/99=1-\frac{99}{100}=\frac{100-99}{100}=\frac{1}{100}\end{array}$

$1-0/999=1-\frac{999}{1000}=\frac{1000-999}{1000}=\frac{1}{1000}$

همان‌طور که مشاهده می‌شود، جملات دنباله‌ فوق وقتی از عدد $1$ کم می‌شوند، جملات حاصل به صفر نزدیک می‌شوند.

بنابراین جملات این دنباله به عدد $1$ نزدیک می‌شوند و این موضوع حدس ما را ثابت می‌کند یعنی دنباله‌ فوق به عدد $1$ نزدیک می‌شوند.   

حدس می‌زنیم دنباله‌ فوق به عدد $3$ نزدیک می‌شود.

با تشکیل دنباله‌ تفاضل زیر، حدس خود را ثابت می‌کنیم:

$\begin{array}{l}3-2/9=3-\frac{29}{10}=\frac{30-29}{10}=\frac{1}{10}\end{array}$

$\begin{array}{l}3-2/99=3-\frac{299}{100}=\frac{300-299}{100}=\frac{1}{100}\end{array}$

$3-2/999=3-\frac{2999}{1000}=\frac{3000-2999}{1000}=\frac{1}{1000}$

همان‌طور که مشاهده می‌شود، جملات دنباله‌ فوق وقتی از عدد $3$ کم می‌شوند، جملات حاصل به صفر نزدیک می‌شوند.

بنابراین جملات این دنباله به عدد $3$ نزدیک می‌شوند و این موضوع حدس ما را ثابت می‌کند یعنی دنباله‌ فوق به عدد $3$ نزدیک می‌شوند.

حدس می‌زنیم دنباله‌ فوق به عدد $5$ نزدیک می‌شود.

با تشکیل دنباله‌ تفاضل زیر، حدس خود را ثابت می‌کنیم:

$\begin{array}{l}5-5/05=5-\frac{505}{100}=\frac{500-505}{100}=\frac{-5}{100}=-0/05\end{array}$

$\begin{array}{l}5-5/005=5-\frac{5005}{1000}=\frac{5000-5005}{1000}=\frac{-5}{1000}=-0/005\end{array}$

$5-5/0005=5-\frac{50005}{10/000}=\frac{50/000-50005}{10/000}=\frac{-5}{10/000}=-0/0005$

علامت منفی در دنباله تفاضل نشان‌دهنده‌ آن است که جملات دنباله‌ اصلی کوچک‌تر می‌شوند.

همان‌طور که مشاهده می‌شود، جملات دنباله‌ فوق وقتی از عدد $5$ کم می‌شوند، جملات حاصل به صفر نزدیک می‌شوند.

بنابراین جملات این دنباله به عدد $5$ نزدیک می‌شوند و این موضوع حدس ما را ثابت می‌کند یعنی دنباله‌ فوق به عدد $5$ نزدیک می‌شوند.

حدس می‌زنیم دنباله‌ فوق به عدد $1/20$ نزدیک می‌شود.

با تشکیل دنباله‌ تفاضل زیر، حدس خود را ثابت می‌کنیم:

$\begin{array}{l}1/20-1/19=\frac{120}{100}-\frac{119}{100}=\frac{1}{100}\end{array}$

$\begin{array}{l}1/20-1/199=\frac{120}{100}-\frac{1199}{1000}=\frac{1200-1199}{1000}=\frac{1}{1000}\end{array}$

$1/20-1/1999=\frac{120}{100}-\frac{11999}{10/000}=\frac{12000-11999}{10/000}=\frac{1}{10/000}$

همان‌طور که مشاهده می‌شود، جملات دنباله‌ فوق وقتی از عدد $1/20$ کم می‌شوند، جملات حاصل به صفر نزدیک می‌شوند.

بنابراین جملات این دنباله به عدد $1/20$ نزدیک می‌شوند و این موضوع حدس ما را ثابت می‌کند یعنی دنباله‌ فوق به عدد $1/20$ نزدیک می‌شوند.

$\begin{array}{l}ifn=1\Rightarrow a_1=\frac{1}{1}=1\\ \\ ifn=2\Rightarrow a_2=\frac{1}{2}\\ \end{array}$

$\begin{array}{l}ifn=3\Rightarrow a_3=\frac{1}{3}\\ ⋮\\ ⋮\\ ifn=+\infty \Rightarrow a_{+\infty }=\frac{1}{+\infty }=0\end{array}$

توجه کنیم که جملات متوالی دنباله به عدد صفر نزدیک و نزدیک‌تر می‌شوند، هرچند که هیچ یک از جملات دنباله مساوی با صفر نیست.

می‌بینیم که جملات به قدر دل‌خواه به عدد صفر نزدیک می‌شوند به شرط آن‌که تعداد جملات را به قدر کافی بزرگ اختیار کنیم.

در این‌صورت می‌گوییم دنباله $a_n=\left\{\frac{1}{n}\right\}$ به عدد صفر همگراست.

به بیان دیگر می‌توانیم $\left|\frac{1}{n}-0\right|$ را کم‌تر از هر $\epsilon >0$ دل‌خواهی در نظر بگیریم، هرگاه $n$ را به قدر کافی بزرگ بگیریم یعنی $\left(n\to \infty \right)$.

به این دلیل است که می‌گوئیم:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left\{\frac{1}{n}\right\}=0$

$\epsilon$ در واقع نماینده همه اعدا کوچک و مثبت می‌باشد و چون در عمل یک عدد دلخواه فرض می‌شود،ما را از تجربه ها و محاسباتی که پایان ندارد، بی نیاز می‌سازد.

$\left\{\frac{1}{n}\right\};\left\{\frac{1}{n+1}\right\};\left\{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right\};\left\{1+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right\}$