سرفصل‌های این مبحث

دنباله های ریاضی

حد دنباله (واگرایی دنباله‌ ها)

آخرین ویرایش: 03 اسفند 1402

دسته‌بندی: دنباله های ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

دیدیم که دنباله $\{a_{n}\}$ به عدد $L$ همگرا است، هرگاه:

$\forall ε > 0 \exists M \in N; n \geq M \Rightarrow |a_{n} - L| < ε$

در غیر این‌صورت می‌گوییم که دنباله $\{a_{n}\}$ واگراست. واگرایی یک دنباله را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:

تعریف واگرایی در دنباله ها

دنباله $\{a_{n}\}$ وقتی $n$ به بی‌نهایت میل می‌کند، به‌سمت بی‌نهایت میل می‌کند و می‌نویسیم:

$\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \infty$

در صورتی‌که برای هر عدد $N > 0$ عدد $M > 0$ وجود داشته باشد به‌قسمی که:

$\forall N > 0 \exists M \in ℕ; n \geq M \Rightarrow |a_{n}| > N$

در واقع دو حالت زیر مفروض است:

$\begin{array}{l} \lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty : \forall N > 0 \exists M \in ℕ; n \geq M \Rightarrow a_{n} > N \end{array}$

$\lim_{n \to + \infty} a_{n} = - \infty : \forall N > 0 \exists M \in ℕ; n \geq M \Rightarrow a_{n} < - N$

بایستی در این‌جا توجه کرد که این واگرا بودن به معنی آن است که:

الف) $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \infty$

ب) جملات دنباله با افزایش $n$ نه به‌سمت بی‌نهایت میل می‌کنند و نه به‌سمت عدد معین مانند دنباله $a_{n} = {(- 1)}^{n}$ که به‌طور متناوب تغییرمی‌کند.

در این دو حالت است که می‌گوئیم دنباله واگرا است.

نکته

1- اگر $(|a| < 1)$ باشد، آن‌گاه $\lim_{n \to + \infty} a^{n} = 0$ در این‌صورت دنباله $\{a^{n}\}$ همگرا است.

2- اگر $(|a| > 1)$ باشد، آن‌گاه دنباله $\{a^{n}\}$ واگرا است.

3- اگر دنباله‌ ای واگرا به $+ \infty$ باشد از بالا بی‌کران است و در صورتی‌که واگرا به $- \infty$ باشد از پائین بی‌کران است.

4- اگر دنباله ‌ای واگرا باشد، وقتی حد دنباله نه به‌سمت بی‌نهایت میل کند و نه به‌سمت عددی معین. در حالت اخیر نتیجه می‌گیریم که ممکن است دنباله ‌ای کراندار باشد اما همگرا نباشد.

دنباله $a_{n} = {(- 1)}^{n}$ دارای حد متناهی و هم‌چنین حد نامتناهی نیستند و در اصطلاح نوسانی هستند بنابراین کراندار هستند اما همگرا نیستند.

5- هر دنباله صعودی (اکیدا صعودی) یا همگراست یا به $+ \infty$ میل می‌کند:

$\forall_{n} \in N; a_{n} \leq a_{n + 1}, \lim_{n \to + \infty} a_{n} = \{\begin{cases} L \\ + \infty \end{cases}$

اگر حد دنباله $L$ باشد، آن‌گاه $a_{n}$ همگرا است.

اگر حد دنباله $+ \infty$ باشد، آن‌گاه $a_{n}$ واگرا است.

6- هر دنباله نزولی (اکیدا نزولی) یا همگراست یا به $- \infty$ میل می‌کند:

$\forall_{n} \in N; a_{n} \geq a_{n + 1}, \lim_{n \to + \infty} a_{n} = \{\begin{cases} L \\ - \infty \end{cases}$

اگر حد دنباله $L$ باشد، آن‌گاه $a_{n}$ همگرا است.

اگر حد دنباله $- \infty$ باشد، آن‌گاه $a_{n}$ واگرا است.

روش‌های اثبات واگرایی

روش اول در اثبات واگرایی

در حالت کلی با استفاده از تعریف واگرایی، دنباله یا مفهوم حد دنباله واگرا $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty$ می‌توان واگرا بودن دنباله را بررسی کرد.

تمرین

ثابت کنید دنباله‌ های زیر واگرا هستند.

$\{n\}$

نشان می‌دهیم $\lim_{n \to + \infty} n = + \infty$ :

$\begin{array}{l} \forall N > 0 \exists M \in ℕ; n \geq M \Rightarrow a_{n} > N \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{n} > N \Rightarrow n > N \Rightarrow M \geq N \Rightarrow M = [N] + 1 \end{array}$

$\{\sqrt{n} - 2\}$

نشان می‌دهیم $\lim_{n \to + \infty} (\sqrt{n} - 2) = + \infty$ :

$\forall N > 0 \exists M \in ℕ; n \geq M \Rightarrow a_{n} > N$

$\sqrt{n} - 2 > N \Rightarrow \sqrt{n} > N + 2 \Rightarrow n > {(N + 2)}^{2} \Rightarrow M \geq {(N + 2)}^{2} \Rightarrow M = [{(N + 2)}^{2}] + 1$

$\{n^{2} - 4 n\}$

نشان می‌دهیم $\lim_{n \to + \infty} (n^{2} - 4 n) = + \infty$ :

$\forall N > 0 \exists M \in ℕ; n \geq M \Rightarrow a_{n} > N$

$\begin{array}{l} n^{2} - 4 n > N \\ \Rightarrow n^{2} - 4 n + 4 > N + 4 \\ \Rightarrow {(n - 2)}^{2} > N + 4 \\ \Rightarrow |n - 2| > \sqrt{N + 4}; n \to + \infty \\ \Rightarrow n - 2 > \sqrt{N + 4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n > \sqrt{N + 4} + 2; \{\begin{cases} n > \sqrt{N + 4} + 2 \\ n \geq M \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow M \geq \sqrt{N + 4} + 2 \\ \Rightarrow M = [\sqrt{N + 4} + 2] + 1 \\ \Rightarrow M = [\sqrt{N + 4}] + 3 \end{array}$

$\{n!\}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} n! = 1 \times 2 \times 3 \times ... \times n; n \geq 1 \\ 0! = 1 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \forall N > 0 \exists M \in ℕ; n \geq M \Rightarrow a_{n} > N \end{array}$

$\begin{array}{l} n! > N \Rightarrow n > N \Rightarrow M \geq N \Rightarrow M = [N] + 1 \end{array}$

روش دوم در اثبات واگرایی

مثال‌هایی را بررسی می‌کنیم که در آنها به کمک تعریف، عدم وجود حد را ثابت می‌کنیم.

در صورتی‌که ادعا کنیم که دنباله واگراست، برای اثبات این ادعا معمولا از برهان خلف استفاده می‌کنیم.

به‌همین منظور فرض می‌کنیم که دنباله همگرا و حد آن $L$ باشد، آن‌گاه تعریف همگرایی را برای آن می‌نویسیم، چون به ازای هر $ε$ داشته باشیم $|a_{n} - L| < ε$ می‌باشد لذا یک $ε$ مناسب انتخاب کرده و نامساوی $|a_{n} - L| < ε$ را تشکیل می‌دهیم و سعی می‌کنیم به یک تناقض برسیم.

$ε$ مناسب یک عدد حقیقی مانند $ε = 1$ یا $ε = \frac{1}{10}$ است که انتخاب آن به شرایط مسئله بستگی دارد.

تمرین

واگرایی دنباله‌های زیر را ثابت کنید.

$\{n^{3}\}$

با افزايش $n$ جمله‌های دنباله افزايش مي‌يابند، يعني می‌توانيم جمله‌های دنباله را از هر عدد بزرگی، بزرگ‌تر كنيم به‎طوری‌كه به هيچ عدد حقيقی همگرا نباشد پس ادعا می‌كنيم دنباله واگراست.

براي اثبات اين مطلب از روش برهان خلف استفاده می‌كنيم، يعني فرض می‌كنيم كه دنباله همگرا باشد و نشان می‌دهيم كه اين فرض منجر به تناقص می‌شود.

اگر دنباله دارای حد $L$ باشد، یعنی $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = L$ است، آن‌گاه بنا به تعریف:

$\begin{array}{l} \lim_{n \to + \infty} n^{3} = L \end{array}$

$\begin{array}{l} \forall ε > 0 \exists M \in N; n \geq M \Rightarrow |a_{n} - L| < ε \end{array}$

$\begin{array}{l} |n^{3} - L| < ε \\ \Rightarrow |n^{3} - L| < 1; i f ε = 1 \\ \Rightarrow - 1 < n^{3} - L < 1 \\ \Rightarrow L - 1 < n^{3} < L + 1 \\ \Rightarrow \sqrt[3]{L - 1} < n < \sqrt[3]{L + 1} \end{array}$

این امکان ندارد زیرا مجموعه اعداد طبیعی کراندار نیست.

یک تناقض به‌دست می‌آوریم که نتیجه می‌دهد فرض خلف باطل است،‌ بنابراین دنباله واگراست.

$\{{(- 1)}^{n} + 1\}$

جمله عمومی دنباله $a_{n} = {(- 1)}^{n} + 1$ است و دیده می‌شود که:

$a_{n} = \{\begin{cases} 0; n = 2 k + 1 \\ 2; n = 2 k \end{cases}; k \in ℕ$

جملات دنباله به‌صورت $0, 2, 0, 2, 0, 2, . . .$ هستند و به‌نظر می‌رسد که دنباله واگرا است.

برای اثبات این مطلب از روش برهان خلف استفاده می‌کنیم، یعنی فرض می‌کنیم که دنباله همگرا باشد و نشان می‌دهیم که این فرض منجر به تناقص می‌شود.

اگر دنباله دارای حد $L$ باشد، یعنی $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = L$ است، آن‌گاه بنا به تعریف:

$\forall ε > 0 \exists M \in N; n \geq M \Rightarrow |a_{n} - L| < ε$

فرض کنیم $ε = \frac{1}{2}$ است:

$\begin{array}{l} |a_{n} - L| < ε \\ \Rightarrow |a_{n} - L| < \frac{1}{2} \\ \Rightarrow - \frac{1}{2} < a_{n} - L < \frac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} i f n = 2 k + 1 \Rightarrow a_{n} = 0 \Rightarrow - \frac{1}{2} < - L < \frac{1}{2} \\ i f n = 2 k \Rightarrow a_{n} = 2 \Rightarrow - \frac{1}{2} < 2 - L < \frac{1}{2} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f - L > - \frac{1}{2} \Rightarrow 2 - L > - \frac{1}{2} + 2 \Rightarrow 2 - L > \frac{3}{2} \end{array}$

اگر $2 - L > \frac{3}{2}$ باشد، نمی‌تواند کم‌تر از $\frac{1}{2}$ باشد، یعنی یک تناقض به‌دست می‌آوریم که نتیجه می‌دهد فرض خلف باطل است، بنابراین دنباله واگراست.

$\{\frac{n + {(- 1)}^{n} \cdot n}{n + 1}\}$

جمله عمومی دنباله $a_{n} = \frac{n + {(- 1)}^{n} \cdot n}{n + 1}$ است و دیده می‌شود که:

$a_{n} = \{\begin{cases} 0; n = 2 k + 1 \\ \frac{2 n}{n + 1}; n = 2 k \end{cases}; k \in ℕ$

جملات دنباله به‌صورت $0, \frac{4}{3}, 0, \frac{8}{5}, ...$ هستند و به‌نظر می‌رسد که دنباله واگرا است.

اگر دنباله دارای حد $L$ باشد، یعنی $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = L$ است، آن‌گاه بنا به تعریف:

$\forall ε > 0 \exists M \in N; n \geq M \Rightarrow |a_{n} - L| < ε$

فرض کنیم $ε = \frac{1}{100}$ است:

$\begin{array}{l} |a_{n} - L| < \frac{1}{100} \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} i f n = 2 k + 1 \Rightarrow a_{n} = 0 \Rightarrow |0 - L| < \frac{1}{100} \Rightarrow |L| < \frac{1}{100} \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f n = 2 k \Rightarrow a_{n} = \frac{2 n}{n + 1} \Rightarrow |\frac{2 n}{n + 1} - L| < \frac{1}{100} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{2 n}{n + 1} = |\frac{2 n}{n + 1} - L + L| \\ \Rightarrow \frac{2 n}{n + 1} \leq |\frac{2 n}{n + 1} - L| + |L| \\ \Rightarrow \frac{2 n}{n + 1} < \frac{1}{100} + \frac{1}{100} \\ \Rightarrow \frac{2 n}{n + 1} < \frac{2}{100} \\ \Rightarrow \frac{n}{n + 1} < \frac{1}{100} \end{array}$

اگر مقادیر مختلف زوج به $n$ بدهیم، می‌بینیم که نامساوی بالا غلط است و بنابراین فرض خلف باطل است، یعنی دنباله واگراست.

$\{n^{{(- 1)}^{n}}\}$

جمله عمومی دنباله $a_{n} = n^{{(- 1)}^{n}}$ است و دیده می‌شود که جملات دنباله به‌صورت $1, 2, \frac{1}{3}, ...$ هستند و به‌نظر می‌رسد که دنباله واگرا است.

اگر دنباله دارای حد $L$ باشد، یعنی $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = L$ است، آن‌گاه بنا به تعریف:

$\forall ε > 0 \exists M \in N; n \geq M \Rightarrow |a_{n} - L| < ε$

فرض کنیم $ε = \frac{1}{4}$ است:

$\begin{array}{l} i f n = 2 k + 1 \Rightarrow |n^{- 1} - L| < \frac{1}{4} \Rightarrow |\frac{1}{n} - L| < \frac{1}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f n = 2 k \Rightarrow |n - L| < \frac{1}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} n - \frac{1}{n} = |n - \frac{1}{n}| \\ \Rightarrow n - \frac{1}{n} = |n - L - (\frac{1}{n} - L)| \\ \Rightarrow n - \frac{1}{n} < |n - L| + |\frac{1}{n} - L| \\ \Rightarrow n - \frac{1}{n} < \frac{1}{4} + \frac{1}{4} < \frac{1}{2} \\ \Rightarrow n - \frac{1}{n} < \frac{1}{2} \\ \Rightarrow n < \frac{1}{2} + \frac{1}{n} \end{array}$

نامساوی فوق همواره غلط است و بنابراین فرض خلف باطل است، یعنی دنباله واگراست.

$\{\sqrt{n} + \frac{1}{n}\}$

اگر دنباله دارای حد $L$ باشد، یعنی $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = L$ است، آن‌گاه بنا به تعریف:

$\forall ε > 0 \exists M \in N; n \geq M \Rightarrow |a_{n} - L| < ε$

فرض کنیم $ε = 1$ است:

$\begin{array}{l} |\sqrt{n} + \frac{1}{n} - L| < 1 \\ \Rightarrow - 1 < \sqrt{n} + \frac{1}{n} - L < 1 \\ \Rightarrow L - 1 < \sqrt{n} + \frac{1}{n} < L + 1 \end{array}$

اما $L$ ثابت است و $n$ را هر اندازه که بخواهیم می‌توانیم بزرگ کنیم.

مجموعه اعداد طبیعی کراندار نیست و یک تناقض به‌دست می آوریم که نتیجه می‌دهد فرض خلف باطل است، بنابراین دنباله واگراست.

$\{2^{n + 1} - 3\}$

می‌خواهیم ثابت کنیم $\lim_{n \to + \infty} (2^{n + 1} - 3)$ موجود نیست.

اگر دنباله دارای حد $L$ باشد، یعنی $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = L$ است، آن‌گاه بنا به تعریف:

$\forall ε > 0 \exists M \in N; n \geq M \Rightarrow |a_{n} - L| < ε$

$\begin{array}{l} |2^{n + 1} - 3 - L| < ε \\ \Rightarrow - ε < 2^{n + 1} - 3 - L < ε \\ \Rightarrow 3 + L - ε < 2^{n + 1} < 3 + L + ε \end{array}$

نامساوی $2^{n + 1} < 3 + L + ε$ را در نظر می‌گیریم و از طرفین آن در مبنای $10$ لگاریتم می‌گیریم:

$\begin{array}{l} 2^{n + 1} < 3 + L + ε \\ \Rightarrow \log 2^{n + 1} < \log (3 + L + ε) \\ \Rightarrow (n + 1) \log 2 < \log (3 + L + ε) \\ \Rightarrow (n + 1) < \frac{\log (3 + L + ε)}{\log 2} \\ \Rightarrow n < \frac{\log (3 + L + ε)}{\log 2} - 1 \end{array}$

با توجه به این که $n \to + \infty$ میل می‌کند، نامساوی بالا حداکثر برای یک تعداد متناهی از مقادیر $n$ برقرار است اما همواره نامساوی فوق برقرار نیست. با توجه به این امر تناقض لازم به دست آمده است.

تمرین

اگر در دنباله $\{a_{n}\}$ داشته باشیم $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = L$ و با شرط $a_{n} > 0$ نشان دهید $L \geq 0$ .

اثبات به روش برهان خلف:

فرض کنیم $L < 0$ باشد، در این‌صورت $- L > 0$ :

$\begin{matrix} i f \lim_{n \to + \infty} a_{n} = L \end{matrix}$

$\begin{matrix} \forall ε > 0 \exists M \in ℕ; n \geq M \Rightarrow |a_{n} - L| < ε \end{matrix}$

$\begin{array}{l} |a_{n} - L| < ε \\ \Rightarrow - ε < a_{n} - L < ε \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow L - ε < a_{n} < L + ε; ε = - L > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow L + L < a_{n} < L - L \\ \Rightarrow 2 L < a_{n} < 0 \end{array}$

یعنی به‌ازای $n \geq M$ ، $a_{n} < 0$ است که با فرض متناقض است، پس برهان خلف باطل است و $L \geq 0$ .

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

دنباله‌

حد دنباله (واگرایی دنباله‌ ها)

تعریف واگرایی در دنباله ها

روش‌های اثبات واگرایی

روش اول در اثبات واگرایی

روش دوم در اثبات واگرایی

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟