سرفصل‌های این مبحث

احتمالات

احتمال (تعریف)

آخرین ویرایش: 08 اسفند 1402

دسته‌بندی: احتمالات

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه‌ای بر احتمال

همان‌طور که قبلا اشاره شد، آزمایش تصادفی آزمایشی است که نتیجه آن از قبل مشخص نباشد.

به‌طور کلی اصطلاح احتمال مربوط به‌وقوع پیشامدهای تصادفی است.

هر کدام از ما روزانه جملاتی از قبیل جملات زیر را به‌زبان می‌آوریم:

احتمالا تیم $A$ در مسابقه برنده می‌شود.
احتمالا در این کار موفق می‌شوم.
احتمال پیروزی کاندید $A$ برابر $70$ درصد است

اگر به جملات فوق توجه کنیم، هر کدام از آنها نشان دهنده یک آزمایش تصادفی است.

چون جواب آنها به‌طور قطع مشخص نیست، بنابراین با حدس‌های شخصی و یا اطلاعاتی که از قبل در مورد این‌گونه آزمایش‌ها داریم، جملاتی نظیر آن‌چه ذکر شد را بیان می‌کنیم.

در حقیقت به هر نقطه از فضای نمونه آزمایش مورد نظر، عددی را نسبت می‌دهیم.

به‌عنوان نمونه:

وقتی می‌گوییم احتمال پیروز شدن تیم A برابر $70$ درصد است، یک فضای نمونه به‌صورت زیر داریم:

$S = \{s h e k a s t, p i r o z i\}$

که به پیروزی تیم $A$ عدد $70$ و به شکست این تیم عدد $30$ را نسبت می‌دهیم.

در یک تعریف غیر رسمی:

احتمال به‌معنای شانس وقوع یک پیشامد در انجام یک آزمایش تصادفی است.

تمرین

گاو صندوق

گاو صندوقی دارای پنج حلقه است و به دور هر حلقه $36$ حرف حک شده است.

برای آن‌که در گاو صندوق باز شود، باید حلقه‌ها در وضعی قرار داده شود تا کلمه معینی به‌دست آید.

برای آن‌که گاو صندوق را خراب نکنیم، تصمیم گرفته‌ایم تا کلیه ترکیبات حروف حلقه‌ها آزمایش شود.

برای تشکیل دادن یک ترکیب، مدت سه ثانیه زمان لازم است.

آیا می‌توان توقع داشت که گاو صندوق در مدت ده روز آینده باز شود؟

هر یک از $36$ حرف حلقه اول می‌تواند در برابر هر کدام از $36$ حرف حلقه دومی قرار گیرد، یعنی تعداد ترکیب‌های ممکنه دو حرفی چنین است:

$36 \times 36 = 36^{2}$

به هرکدام از این ترکیبات می‌توان هر کدام از $36$ حرف حلقه سوم را اضافه کرد، بنابراین تعداد ترکیب‌های ممکنه سه حرفی چنین است:

$36^{2} \times 36 = 36^{3}$

به‌همین ترتیب تعداد ترکیب های ممکنه چهار حرفی:

$36^{3} \times 36 = 36^{4}$

به‌همین ترتیب، تعداد ترکیب های ممکنه پنج حرفی:

$36^{4} \times 36 = 36^{5} = 60 / 466 / 176$

بیش از شصد میلیون ترکیب لازم است.

اگر هر ترکیب سه ثانیه وقت نیاز داشته باشد، به تعداد ثانیه‌های زیر، زمان لازم است:

$3 \times 60 / 466 / 176 = 181 / 398 / 528$

اگر هر ساعت $3600$ ثانیه باشد، بیش از $50 / 000$ ساعت یا قریب $6300$ روز کار هشت ساعته و یا بیشتر از بیست سال است.

شانس این‌که گاو صندوق را در ده روز آینده باز کنند $10$ به $6300$ یا $1$ به $630$ می‌باشد که احتمال بسیار ضعیفی است.

برای فرمول‌بندی اصل موضوع احتمال از عمل نمایش پیشامدها با حروف بزرگ پیروی می‌کنیم:

احتمال پیشامد $A$ را به‌صورت $P (A)$ می‌نویسیم.
احتمال پیشامد $B$ را به‌صورت $P (B)$ می‌نویسیم.

تعریف احتمال

احتمال، تابعی است از فضای نمونه، به‌داخل اعداد حقیقی، یعنی:

$P : S \to R$

تمرین

در یک آزمایش تصادفی، تاسی را پرتاب می‌کنیم.

فضای نمونه این آزمایش تصادفی را بنویسید.

$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \Rightarrow n (S) = 6$

اگر $A$ پیشامد وقوع عدد بزرگ‌تر از $6$ باشد، شانس وقوع این پیشامد را بنویسید.

$A$ پیشامدی است که عضوی ندارد زیرا عدد بزرگ‌تر از $6$ روی هیچ‌یک از وجوه تاس، موجود نیست.

$A = \{\} = \emptyset \Rightarrow n (A) = 0$

اگر نسبت تعداد عضوهای پیشامد $A$ را به تعداد عضوهای فضای نمونه محاسبه کنیم، شانس وقوع پیشامد $A$ به‌دست می‌آید و آن را با $P (A)$ نمایش می‌دهیم.

$P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} = \frac{0}{6} = 0$

شانس وقوع پیشامد $A$ صفر است، غیرممکن و محال است که این پیشامد به وقوع بپیوندد.

اگر $B$ پیشامد وقوع اعداد فرد باشد، شانس وقوع این پیشامد را بنویسید.

$B = \{1, 3, 5\} \Rightarrow n (B) = 3$

اگر نسبت تعداد عضوهای پیشامد $B$ را به تعداد عضوهای فضای نمونه محاسبه کنیم، شانس وقوع پیشامد $B$ به‌دست می‌آید و آن را با $P (B)$ نمایش می‌دهیم.

$P (B) = \frac{n (B)}{n (S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

شانس وقوع پیشامد $B$ ، معادل $\frac{1}{2}$ است.

اگر $C$ پیشامد وقوع اعداد کوچک‌‌تر از $7$ باشد، شانس وقوع این پیشامد را بنویسید.

$C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \Rightarrow n (C) = 6$

اگر نسبت تعداد عضوهای پیشامد $C$ را به تعداد عضوهای فضای نمونه محاسبه کنیم، شانس وقوع پیشامد $C$ به‌دست می‌آید و آن را با $P (C)$ نمایش می‌دهیم.

$P (C) = \frac{n (C)}{n (S)} = \frac{6}{6} = 1$

شانس وقوع پیشامد $C$ ، معادل $1$ است و به‌طور حتمی و قطعی این پیشامد به وقوع می‌پیوندد.

اصل موضوع احتمال

احتمال تابع حقیقی است که به هر پیشامد $A$ در فضای نمونه $S$ عدد حقیقی $P (A)$ را نسبت می‌دهد به‌طوری‌که در اصول زیر صادق باشد:

اصل موضوع احتمال، که ما در این‌جا فرمول‌بندی می‌کنیم فقط وقتی به‌کار می‌روند که فضای نمونه $S$ گسسته باشد.

احتمال یک پیشامد، عددی نامنفی است، یعنی برای هر زیر مجموعه $A$ از $S$ نامساوی $P (A) \geq 0$ برقرار است.
احتمال یک پیشامد قطعی برابر یک است یعنی $P (S) = 1$ است.
اگر $....., A_{2}, A_{1}$ دنباله‌ای متناهی یا نا‌متناهی از پیشامدهای دوبه‌دو ناسازگار $S$ باشند، آن‌گاه:

$P (A_{1} \cup A_{2} \cup \dots) = P (A_{1}) + P (A_{2}) + \dots$

تمرین

در يک آزمايش، چهار پيشامد دو به دو ناسازگار $D, C, B, A$ را در نظر می‌گيريم.

برای هر يک از موارد زير توضيح دهيد که چرا راهی مجاز برای تخصيص احتمال ها وجود ندارد.

$\begin{array}{l} P (D) = - 0.20, P (C) = 0.45, P (B) = 0.63, P (A) = 0.12 (1 \\ P (D) = \frac{46}{120}, P (C) = \frac{27}{120}, P (B) = \frac{45}{120}, P (A) = \frac{9}{120} (2 \end{array}$

$1) P (D) = - 0.20$

ناقض اصل موضوع $(1)$ است.

$2) P (S) = P (A \cup B \cup C \cup D) = \frac{9}{120} + \frac{45}{120} + \frac{27}{120} + \frac{46}{120} = \frac{127}{120} > 1$

ناقض اصل موضوع $(2)$ است.

تمرین

آزمايشی دارای پنج برآمد $A, B, C, D, E$ است که دوبه‌دو ناسازگارند.

برای هر يک از موارد زير بررسی کنيد آيا تخصيص احتمال، تخصيصی مجاز است يا نه و دليل پاسخ خود را بيان کنيد.

$1) P (E) = 0.20, P (D) = 0.20, P (C) = 0.20, P (B) = 0.20, P (A) = 0.20$

تخصيصی مجاز است، زيرا احتمالات نامنفی‌اند و مجموعشان برابر $(1)$ است.

$2) P (E) = - 0.10, P (D) = 0.60, P (C) = 0.10, P (B) = 0.30, P (A) = 0.10$

تخصيصی مجاز نيست، زيرا احتمال نمی‌تواند منفی باشد، در حالی که $P (E) < 0$ است.

$3) P (E) = 0.08, P (D) = 0.50, P (C) = 0.05, P (B) = 0.12, P (A) = 0.23$

تخصيصی مجاز نيست، زيرا مجموع احتمالات کمتر از عدد یک است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

احتمالات

احتمال (تعریف)

مقدمه‌ای بر احتمال

تعریف احتمال

اصل موضوع احتمال

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟