سرفصل‌های این مبحث

احتمالات

پیشامد (اعمال جبری)

آخرین ویرایش: 25 دی 1402

دسته‌بندی: احتمالات

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف زیر پیشامد

$B \subset A \Leftrightarrow (x \in B \Rightarrow x \in A)$

یعنی وقوع پیشامد $A$ ، وقوع پیشامد $B$ را نتیجه می‌دهد.

تعریف تساوی دو پیشامد

$A = B \Leftrightarrow (A \subset B \land B \subset A)$

پیشامدهای $B, A$ برهم منطبق هستند، یعنی وقوع هر یک وقوع دیگری را نتیجه می‌دهد.

تعریف اجتماع دو پیشامد

$A \cup B = \{x |x \in A \lor x \in B\}$

$A \cup B$ به‌معنای وقوع یکی از دو پیشامد $A$ یا $B$ است، اجتماع به معنی حداقل یا دست‌کم از دو پیشامد است.

تعریف اشتراک دو پیشامد

$A \cap B = \{x |x \in A \land x \in B\}$

$A \cap B$ به‌معنای وقوع همزمان هر دو پیشامد $A$ و $B$ است.

تعریف تفاضل دو پیشامد

$A - B = \{x |x \in A, x \notin B\} = A \cap \bar{B}$

$A - B$ به‌معنای وقوع فقط $A$ و عدم وقوع $B$ است.

تعریف متمم یک پیشامد

$A^{'} = \{x |x \in S, x \notin A\}$

به شکل زیر توجه کنید:

احتمالات - پیمان گردلو

تمرین

فرض کنید $A, B, C$ سه پیشامد از فضای نمونه $S$ باشند.

هریک از عبارت های توصیفی زیر را با نمودار ون نمایش دهید.

پیشامدهای $A, C$ رخ بدهند ولی $B$ رخ ندهد.

فقط پیشامد $B$ رخ بدهد.

پیشامد $B$ رخ بدهد $C$ رخ ندهد.

تمرین

آزمایش انداختن دو تاس را در نظر می‌گیریم:

پیشامد آن‌که هر دو تاس فرد باشند:

$A = \{(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)\}$

پیشامد آن‌که مجموع دو تاس شش باشد:

$B = \{(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)\}$

پیشامد آن‌که تاس آبی مضرب سه باشد:

$C = \{(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$

پیشامد آن‌که هر دو تاس فرد و مجموع دو تاس شش باشد:

$A = \{(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)\}$

$B = \{(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)\}$

$A \cap B = \{(1, 5), (5, 1), (3, 3)\}$

پیشامد آن‌که هر دو تاس فرد یا مجموع دو تاس شش باشد:

$A = \{(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)\}$

$B = \{(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)\}$

$A \cup B = \{(1, 1), (1, 3), (3, 1), (1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5)\}$

پیشامد آن‌که هر دو تاس فرد باشند، ولی تاس آبی مضرب سه نباشد:

$A = \{(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)\}$

$C = \{(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$

$A - C = \{(1, 1), (1, 3), (1, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)\}$

پیشامد آن‌که تاس آبی مضرب سه باشد ولی مجموع دو تاس شش نباشد:

$C = \{(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$

$B = \{(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)\}$

$C - B = \{(3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$

نکته

1- هر پیشامدی به زیرمجموعه‌ای از فضای نمونه‌اش مربوط است، اما عکس این مطلب الزاما درست نیست یعنی زیرمجموعه‌ای از فضای نمونه الزاما پیشامد مورد نظر نیست.

2- برای فضاهای نمونه‌ای گسسته، تمام زیرمجموعه‌ها، پیشامدند.

3- برای فضاهای نمونه‌ای پیوسته به‌دلایلی ریاضی، برخی از مجموعه‌های نقطه‌ای پیچید‌تر را باید مستثنی کرد.

4- در حداکثر مسائل احتمال، علاقه‌مند به پیشامدهایی هستیم که در واقع ترکیبی از دو یا چند پیشامدند که ازاجتماع ها، اشتراک ها، متمم ها تشکیل می‌شوند.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

پیشامد (اعمال جبری)

2,400تومان