سرفصل‌های این مبحث

احتمالات

آزمایش تصادفی و فضای نمونه

آخرین ویرایش: 22 تیر 1403

دسته‌بندی: احتمالات

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف آزمایش تصادفی

آزمایشی که تحت شرایط یکسان بتوان آن را تکرار کرد و نتیجه آن را نتوان پیش‌بینی کرد، ولی مجموعه نتایج آن قابل پیش‌بینی باشد.

به‌عنوان نمونه:

تعیین جنسیت نوزاد در ماه‌های اول بارداری، آزمایش تصادفی می‌باشد، زیرا جنسیتش در ماه‌های ابتدایی، قابل تشخیص نیست.
انداختن دو تاس سالم با هم، آزمایش تصادفی می‌باشد، زیرا نمی‌توانیم نتیجه‌ آن را قبل از وقوع پیش‌بینی کنیم.
انداختن یک تاس که روی هر شش وجه آن عدد یک حک شده است، آزمایش تصادفی نمی‌باشد، زیرا نتیجه آن از قبل معلوم است.
ظرفی که شامل پنج مهره سفید و هشت مهره سیاه است، یک مهره خارج می‌کنیم، پیش از خارج کردن مهره رنگ آن معلوم نیست، ولی در هر حال سفید یا سیاه است، آزمایش تصادفی می‌باشد.
اندازه گیری درجه حرارت بدن یک بیمار در یک شبانه‌روز، آزمایش تصادفی می‌باشد.

تمرین

کدام‌یک از پدیده های زیر تصادفی و کدام‌یک قطعی است؟ چرا؟

وجود دانش آموزی در پایه دوازدهم که سن او بیشتر از $10$ سال است.

دانش آموزان کلاس دوازدهم، همگی سنشان بیشتر از ده سال است.

این پدیده (قطعی) است، زیرا این موضوع از قبل آن معلوم است.

در ابتدای مسابقه فوتبال، پرتاب سکه ای که یک‌طرف آن عدد $1$ و طرف دیگرش عدد $2$ حک شده باشد.

انداختن یک سکه سالم، پدیده (تصادفی)می‌باشد، زیرا نمی‌توانیم نتیجه‌ آن را قبل از وقوع پیش‌بینی کنیم.

مشاهده $2$ مهره سفید پس از خارج کردن دو مهره از جعبه‌ای که در آن $7$ مهره سفید وجود دارد.

این پدیده (قطعی)است، زیرا این موضوع از قبل معلوم است.

پیش‌بینی نتیجه بازی فوتبال بین دو تیم، قبل از بازی.

پدیده (تصادفی) می‌باشد، زیرا نمی‌توانیم نتیجه‌ آن را قبل از وقوع پیش‌بینی کنیم.

در یک بازی بین دو نفر، سکه‌ای پرتاب می‌شود و به‌دنبال آن تاسی انداخته می‌شود.

اگر شخصی سکه‌اش رو و تاسش زوج بیاید، برنده است. آیا قبل از بازی می‌توان برنده را مشخص کرد؟

پدیده (تصادفی) می‌باشد، زیرا نمی‌توانیم نتیجه آن را قبل از وقوع پیش‌بینی کنیم.

مقداری آب را حرارت می‌دهیم تا به بخار تبدیل شود.

این آزمایش (قطعی)، زیرا این موضوع از قبل معلوم است.

نتیجه یک آزمون چهار جوابی که نیمی از سوالات آن را شانسی پاسخ داده‌ایم.

آزمایش (تصادفی) می‌باشد، زیرا نمی‌توانیم نتیجه‌ آن را قبل از وقوع پیش‌بینی کنیم.

تعریف فضای نمونه

مجموعه کل نتایج یک آزمایش تصادفی را فضای نمونه گویند و از نماد $S$ برای نشان دادن این فضا استفاده می‌کنند.

فضای نمونه گسسته

فضای نمونه گسسته متناهی شمارش پذیر

فضای نمونه پرتاب یک سکه $S = \{H, T\}$ می‌باشد که تعداد عضوهای این فضای نمونه، متناهی و گسسته است.

فضای نمونه - آزمایش تصادفی - پیمان گردلو

فضای نمونه پرتاب یک تاس $S = \{1, 2, ..., 6\}$ می‌باشد که تعداد عضوهای این فضای نمونه، متناهی و گسسته است.

فضای نمونه پرتاب همزمان تاس و سکه را در زیر مشاهده می‌کنید:

فضای نمونه - آزمایش تصادفی - پیمان گردلو

فضای نمونه گسسته نامتناهی شمارش پذیر

فضای نمونه پرتاپ یک سکه تا رسیدن به اولین شیر به‌صورت زیر است:

$S = \{H, T H, T T H, ...\}$

که تعداد عضوهای این فضای نمونه، گسسته و نامتناهی شمارش پذیر است.

نامتناهی بودن عضوهای فضای نمونه فوق به این معناست که نمی‌دانیم در چندمین پرتاب، شیر می‌آید ولی بالاخره شیر ظاهر خواهد شد.

فضای نمونه پیوسته

فضای نمونه پیوسته یک فضای نمونه نامتناهی غیر قابل شمارش است.

اگر یک فضای نمونه‌ای شامل تعداد نامتناهی از نقاط نمونه باشد که تشکیل یک پیوستار را دهند نظیر تمام نقاط واقع در یک پاره خط، یا تمام نقاط یک صفحه، می‌گویند که این فضای نمونه پیوسته است.

فضاهای نمونه‌ای پیوسته در عمل وقتی رخ می‌دهند که پیشامدهای آزمایش‌ها اندازه‌هایی با ویژگی‌های فیزیکی هستند، نظیر دما، سرعت، فشار ... که بر حسب مقیاس‌های پیوسته اندازه‌گیری می‌شوند.

به‌عنوان نمونه:

فضای نمونه درجه حرارت یک بیمار در یک شبانه‌روز، بازه $S = [35, 42]$ است.
فضای نمونه عمر یک لامپ، بازه $S = [0, + \infty)$ است.
فضای نمونه مدت زمان‌های ثبت شده تا لازم است تا دو ماده شیمیایی بر هم اثر کنند، این مدت زمان‌ها از نظر تعداد، نامتناهی غیر قابل شمارش است.

نکته

1- فضاهای نمونه‌ای که تعدادی زیاد یا تعداد نامتناهی عنصر دارد، با یک حکم یا قاعده، بهتر توصیف می‌شوند.

تمرین

اگر نتایج ممکن یک آزمایش، مجموعه اتومبیل‌هایی باشند که مجهز به رادیویی با امواج اف - ام هستند، این فضای نمونه را بنویسید.

$x\}$ اتومبیلی است که رادیویی با موج اف - ام دارد $S = \{x |$

اگر $S$ مجموعه اعداد صحیح فرد و مثبت باشند، فضای نمونه را بنویسید.

$S = \{2 k + 1 |k = 0, 1, 2, . . .\}$

نکته

2- این‌که یک فضای نمونه‌ای را برای وضعیت مفروضی چگونه فرمول بندی کنیم به مسئله‌ای که در دست داریم بستگی خواهد داشت.

تمرین

اگر آزمایش تصادفی ، عبارت از ریختن تاسی باشد و توجه ما بر عددی باشد که رو می‌آید، فضای نمونه‌ای چگونه است؟

$S_{1} = \{1, 2, ..., 6\}$

اگر فقط به زوج یا فرد بودن عدد توجه داشته باشیم، فضای نمونه‌ چگونه است؟

$\}$ زوج ، فرد $S = \{$

تمرین

سکه ای را دو بار پرتاب می‌کنيم، فضای نمونه را مشخص کنيد.

$S = \{H H, H T, T H, T T\}$

سکه ای را سه بار پرتاب می‌کنيم، فضای نمونه را مشخص کنيد.

$S = \{H H H, H H T, H T H, H T T, T H H, T H T, T T H, T T T\}$

تمرین

برای بررسی نحوه توزيع پسر و دختر در خانوادهايی که دارای دو فرزند می‌باشند:

فضای نمونه را بنويسيد.

اگر $B$ نماینده فرزند پسر و $G$ نماینده فرزند دختر باشد، داریم:

$S = \{B B, B G, G B, G G\}$

تمرین

برای بررسی نحوه توزيع پسر و دختر در خانوادهايی که دارای سه فرزند می‌باشند:

فضای نمونه را بنويسيد.

اگر $B$ نماینده فرزند پسر و $G$ نماینده فرزند دختر باشد، داریم:

$S = \{B B B, B B G, B G B, B G G, G B B, G B G, G G B, G G G\}$

تمرین

فضای نمونه پرتاب دو تاس را مشخص کنيد.

$S = \{(1, 1), (1, 2), ..., (1, 6), (2, 1), ..., (2, 6), ..., (6, 1), ..., (6, 6)\}$

برای طول عمر مفيد يک وسيله الکترونيکی، يک فضای نمونه بنویسید.

اگر $t$ طول عمر مفيد وسيله بر حسب سال باشد، می‌توان فضای نمونه را به‌صورت زير نوشت:

$S = \{t |t \geq 0\}$

تمرین

در جعبه‌ای 5 مهره سبز، 7 مهره قرمز و 12 مهره آبی وجود دارد.5

سه مهره به تصادف و يک باره از اين جعبه بيرون می‌آوريم.

فضای نمونه اين آزمايش چند عضو دارد؟

$\begin{array}{l} |S| = n (S) = (\begin{array}{l} 24 \\ 3 \end{array}) \end{array}$

تمرین

جعبه‌ای دارای 8 مهره قرمز و 5 مهره سبز است.

از اين جعبه دو مهره متواليا برمی‌داريم.

تعداد عناصر فضای نمونه اين آزمايش را مشخص کنيد.

برداشتن مهرها با جای‌گذاری:

$|S| = n (S) = (\begin{array}{l} 13 \\ 1 \end{array}) (\begin{array}{l} 13 \\ 1 \end{array})$

برداشتن مهرها بدون جای‌گذاری:

$|S| = n (S) = (\begin{array}{l} 13 \\ 1 \end{array}) (\begin{array}{l} 12 \\ 1 \end{array})$

تمرین

محصولات کارخانه‌ای را به دو دسته سالم و ناسالم تقسيم کرده و سه کالای توليد شده را به‌تصادف انتخاب می‌کنيم.

دو فضای نمونه برای اين آزمايش تعيین کرده و مشخص کنيد.

A نشان دهنده کالای سالم و B نشان دهنده کالای ناسالم است.

$1) S_{1} = \{A A A, A A B, A B A, B A A, A B B, B A B, B B A, B B B\}$

$2) S_{2} = \{0, 1, 2, 3\}$

اعداد مشخص شده در فضای نمونه به‌ترتيب نمايان‌گر آن است که در ميان سه کالای انتخاب شده:

(0) یعنی کالای ناسالم وجود ندارد.

(1) یعنی يک کالای ناسالم وجود دارد.

(2) یعنی دو کالای ناسالم وجود دارد.

(3) یعنی سه کالای ناسالم وجود دارد.

کدام‌يک اطلاعات بيشتری در اختيار ما قرار می‌دهند.

فضای نمونه $S_{2}$ اطلاعات کمتری را در اختيار ما قرار می‌دهد.

اگر بدانيم (1) به وقوع پيوسته، بدين معنی است که در بين سه کالای انتخاب شده يک کالای ناسالم وجود دارد.

بنابراین مشخص نيست که اين کالا در کدام‌يک از مراحل آزمايش به‌دست آمده است.

يعنی معلوم نيست اين کالای ناسالم در اولين انتخاب يا در دومين انتخاب يا در سومين انتخاب نتيجه شده است.

تمرین

اگر شخصی سه بار به هدفی تير اندازی کند و ما فقط علاقه‌مند باشيم به اين‌که آيا در هر نشانه‌گيری تير به هدف می‌خورد يا نه

يک فضای نمونه مناسب بنویسید.

اگر 0 و 1 به‌ترتيب معرف عدم اصابت و اصابت تير به هدف باشد.

فضای نمونه اين آزمايش تصادفی به‌صورت زير است:

$S = \{(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)\}$

تمرین

سکه‌ای را يک بار پرتاب می‌کنيم.

آن‌گاه اگر شير بيايد، تاسی را يک بار می‌ریزیم.

اگر خط بيايد، سکه را دو بار ديگر پرتاب می‌کنيم.

با استفاده از نمادگذاری که مثلا در آن H2 پيشامدی را نشان می‌دهد که سکه شير و سپس تاس 2 بيايد.

یا TTT پيشامدی را نشان می‌دهد که سه بار متوالی خط ظاهر شود.

فضای نمونه در این آزمایش تصادفی، معرفی کنید.

$S = \{H 1, H 2, H 3, H 4, H 5, H 6, T H H, T H T, T T H, T T T\}$

تمرین

آزمايشی عبارت از ريختن متوالی تاسی تا زمانی است که عدد 3 ظاهر شود.

فضای نمونه در این آزمایش تصادفی را توصيف کنید.

با توجه به اين‌که ريختن متوالی تاس تا ظاهر شدن عدد (3) ادامه می‌يابد، قرار می دهيم:

اگر در اولين پرتاب عدد (3) ظاهر شود يعنی $S_{1}$ به‌صورت زیر است و آزمايش تمام می‌شود.

$S_{1} = \{3\}$

اگر در دومين پرتاب عدد (3) ظاهر شود يعنی $S_{2}$ به‌صورت زیر است و آزمايش تمام می‌شود.

$S_{2} = \{(i, 3); i = 1, 2, 4, 5, 6\}$

اگر در سومين پرتاب عدد (3) ظاهر شود يعنی $S_{3}$ به‌صورت زیر است و آزمايش تمام می‌شود.

$S_{3} = \{(i, j, 3); i, j = 1, 2, 4, 5, 6\}$

$⋮$

فضای نمونه $S$ برابر است با:

$S = S_{1} \cup S_{2} \cup S_{3} \cup ...$

تمرین

فضای نمونه مرکب از تمام نقاط $(x, y)$ واقع بر روی و داخل دايره‌ای به شعاع $3$ و به مرکز $(2, - 3)$ را مشخص کنيد.

معادله دايره ای به‌مرکز $O (a, b)$ و شعاع $R$ به‌صورت زير تعريف می‌شود:

$C : {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = R^{2}$

چون نقاط روی و داخل دايره است پس فضای نمونه $S$ به‌صورت زير معرفی می‌شود:

$S = \{(x, y) |{(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} \leq 9\}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

آزمایش تصادفی و فضای نمونه

2,400تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

احتمالات

آزمایش تصادفی و فضای نمونه

تعریف آزمایش تصادفی

تعریف فضای نمونه

فضای نمونه گسسته

فضای نمونه گسسته متناهی شمارش پذیر

فضای نمونه گسسته نامتناهی شمارش پذیر

فضای نمونه پیوسته

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟