سرفصل‌های این مبحث

احتمالات

پیشامد (تعریف)

آخرین ویرایش: 16 تیر 1403

دسته‌بندی: احتمالات

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

ده کارت یکسان با شماره های $1$ تا $10$ را داخل جعبه‌ای قرار می‌دهیم:

فضای نمونه این آزمایش تصادفی به‌صورت زیر است:

$S = \{1, 2, 3, ..., 9, 10\}$

به‌طور تصادفی، یک کارت از درون جعبه خارج می‌کنیم.

نتایج ممکن از این آزمایش تصادفی به شرط آن‌که عدد روی کارت از $5$ کم‌تر باشد را در زیر می‌نویسیم:

$A = \{1, 2, 3, 4\}$

در اینجا برخی نتایج ممکن از آزمایشی تصادفی که زیر مجموعه ‌ای از فضای نمونه می‌باشد، را پیشامد می‌نامیم.

تعریف پیشامد

در یک فضای نمونه متناهی، هر زیر مجموعه از این فضای نمونه را یک پیشامد گویند.

می‌گوییم پیشامد $A$ به‌وقوع پیوسته است، هرگاه نتیجه آزمایش تصادفی، یکی از اعضای پیشامد باشد.

نکته

اگر $A$ پیشامدی از فضای نمونه $S$ باشد ، تعداد عضوهای آن را با $n (A)$ نشان می‌دهیم.

اگر فضای نمونه‌ای $n$ عضوی باشد، تعداد پیشامدها در یک آزمایش تصادفی برابر $2^{n}$ است.

انواع پیشامد

پیشامد ساده

اگر پیشامدی تنها یک عضو داشته باشد آن را پیشامد ساده گویند.

پیشامد مرکب

اگر پیشامدی بیش از یک عضو داشته باشد آن را پیشامد مرکب گویند.

پیشامد محال

اگر پیشامدی هیچ عضو نداشته باشد آن را پیشامد محال گویند.

پیشامد حتمی

اگر پیشامدی، برابر فضای نمونه $S$ باشد آن را پیشامد حتمی گویند.

تمرین

تاسی را پرتاب می‌کنیم.

هر یک از پیشامدهای زیر را با اعضا مشخص کنید.

پیشامد این‌که عدد رو آمده زوج و اول باشد.

$: A$ پيشامد اين‌که عدد رو آمده زوج باشد:

$A = \{2, 4, 6\}$

$: B$ پيشامد اين‌که عدد رو آمده اول باشد:

$B = \{2, 3, 5\}$

$: A \cap B$ پیشامد این‌که عدد رو آمده زوج و اول باشد:

$A \cap B = \{2\}$

پیشامد این‌که عدد رو آمده زوج یا اول باشد.

$: A$ پيشامد اين‌که عدد رو آمده زوج باشد:

$A = \{2, 4, 6\}$

$: B$ پيشامد اين‌که عدد رو آمده اول باشد:

$B = \{2, 3, 5\}$

$: A \cup B$ پیشامد این‌که عدد رو آمده زوج یا اول باشد:

$A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$

پیشامد این‌که عدد رو آمده زوج باشد ولی اول نباشد.

$: A$ پيشامد اين‌که عدد رو آمده زوج باشد:

$A = \{2, 4, 6\}$

$: B$ پيشامد اين‌که عدد رو آمده اول باشد:

$B = \{2, 3, 5\}$

$: A - B$ پیشامد این‌که عدد رو آمده زوج باشد ولی اول نباشد:

$A - B = \{4, 6\}$

پیشامد این‌که عدد رو آمده اول باشد ولی زوج نباشد.

$: A$ پيشامد اين‌که عدد رو آمده زوج باشد:

$A = \{2, 4, 6\}$

$: B$ پيشامد اين‌که عدد رو آمده اول باشد:

$B = \{2, 3, 5\}$

$: B - A$ پیشامد این‌که عدد رو آمده اول باشد ولی زوج نباشد.

$B - A = \{3, 5\}$

پیشامد این‌که عدد رو آمده اول نباشد.

$: B$ پيشامد اين‌که عدد رو آمده اول باشد:

$B = \{2, 3, 5\}$

$: B'$ پيشامد اين‌که عدد رو آمده اول نباشد:

$B^{'} = \{x \in S |x \notin B\} = \{1, 4, 6\}$

تمرین

یک جفت تاس را یک مرتبه پرتاب می‌کنیم:

فضای نمونه این آزمایش تصادفی را بنویسید.

$S = \{(1, 1), (1, 2), ..., (2, 1), (2, 2), ..., (6, 6)\}$

پیشامد این‌که مجموع دو تاس کمتر از سه باشد:

$E_{1} = \{(1, 1)\}$

همان‌طور که مشاهده می‌شود، $E_{1}$ پیشامدی یک عضوی است بنابراین یک پیشامد ساده محسوب می‌شود.

پیشامد این‌که مجموع دو تاس بیشتر از ده باشد:

$E_{2} = \{(5, 6), (6, 5), (6, 6)\}$

همان‌طور که مشاهده می‌شود، $E_{2}$ پیشامدی چند عضوی است بنابراین یک پیشامد مرکب محسوب می‌شود.

پیشامد این‌که مجموع دو تاس حداکثر یک باشد:

$E_{3} = \{\} = \emptyset$

همان‌طور که مشاهده می‌شود $E_{3}$ پیشامدی است که عضوی ندارد، بنابراین یک پیشامد محال محسوب می‌شود.

پیشامد این‌که مجموع دو تاس حداقل دو باشد:

$E_{4} = S = \{(1, 1), (1, 2), ..., (2, 1), (2, 2), ..., (6, 6)\} = S$

همان‌طور که مشاهده می‌شود $E_{4}$ پیشامدی است که همه فضای نمونه $S$ را در بر می‌گیرد، بنابراین یک پیشامد حتمی است.

تمرین

هر یک از اعداد فرد و طبیعی کوچک‌تر از $18$ را روی یک کارت نوشته و یکی از این کارت‌ها را به تصادف بر می‌داریم:

فضای نمونه این آزمایش تصادفی را مشخص کنید.

$S = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17\}$

پیشامد $A$ که در آن عدد روی کارت بر $3$ بخش پذیر باشد.

$A = \{3, 9, 15\}$

پیشامد $B$ که در آن روی عدد کارت اول یا زوج باشد.

$B = \{3, 5, 7, 11, 13, 17\} \cup \{\} = \{3, 5, 7, 11, 13, 17\}$

تمرین

تمام اعداد دو رقمی را که با ارقام $5, 4, 2, 1$ می‌توان ساخت، روی کارت‌های متمایزی نوشته و در یک کیسه قرار می‌دهیم و سپس یکی از این کارت‌ها را به تصادف خارج می‌کنیم، مطلوب است:

اگر تکرار ارقام مجاز نباشد، فضای نمونه این آزمایش تصادفی را بنویسید.

$S = \{12, 14, 15, 21, 24, 25, 41, 42, 45, 51, 52, 54\} \Rightarrow n (S) = 12$

پیشامد $A$ که در آن عدد روی کارت مضرب $4$ باشد.

$A = \{12, 24, 52\} \Rightarrow n (A) = 3$

پیشامد $B$ که در آن عدد روی کارت کوچک‌تر از $40$ باشد.

$B = \{12, 14, 15, 21, 24, 25\}$

پیشامد $C$ که در آن عدد روی کارت مضرب $4$ باشدیا عدد روی کارت کوچک‌تر از $40$ باشد.

$C = A \cup B = \{12, 14, 15, 21, 24, 25, 52\}$

اگر تکرار ارقام مجاز باشد، فضای نمونه این آزمایش تصادفی را بنویسید.

$S = \{11, 12, 14, 15, 21, 22, 24, 25, 41, 42, 44, 45, 51, 52, 54, 55\} \Rightarrow n (S) = 16$

پیشامد $A$ که در آن عدد روی کارت مضرب $4$ باشد.

$A = \{12, 24, 44, 52\}$

پیشامد $B$ که در آن عدد روی کارت کوچک‌تر از $40$ باشد.

$B = \{11, 12, 14, 15, 21, 22, 24, 25\}$

پیشامد $C$ که در آن عدد روی کارت مضرب $4$ باشدیا عدد روی کارت کوچک‌تر از $40$ باشد.

$C = A \cup B = \{11, 12, 14, 15, 21, 22, 24, 25, 44, 52\}$

تمرین

فرض کنید خانواده ای چهار فرزند دارد، اما از جنسیت فرزندان این خانواده اطلاعی نداریم.

اگر ترتیب به دنیا آمدن فرزندان اهمیت داشته باشد، پیشامدهای زیر را بنویسید.

پیشامد این‌که دقیقا یک دختر در این خانواده متولد شده باشد.

$A = \{G B B B, B G B B, B B G B, B B B G\}$

پیشامد این‌که حداکثر یک دختر در این خانواده متولد شده باشد.

$B = \{G B B B, B G B B, B B G B, B B B G, B B B B\}$

پیشامد این‌که تعداد فرزندان پسر و دختر برابر باشند.

$C = \{B B G G, B G B G, B G G B, G G B B, G B G B, G B B G\}$

پیشامد این‌که تعداد فرزندان دختر از پسر بیش‌تر باشد.

$D = \{B G G G, G B G G, G G B G, G G G B, G G G G\}$

تمرین

درجعبه‌ای سه مهره قرمز و دو مهره آبی متفاوت وجود دارد.

سه مهره به تصادف از این جعبه می‌کنیم.

تعداد حالت‌های ممکن انتخاب سه مهره از بین پنج مهره را بنویسید.

$(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{5!}{3! \times (5 - 3)!} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times (1 \times 2)} = 10$

فضای نمونه این آزمایش تصادفی را بنویسید.

$S = \{R_{1} R_{2} R_{3}, R_{1} R_{2} B_{1}, R_{1} R_{2} B_{2}, R_{1} R_{3} B_{1}, R_{1} R_{3} B_{2}, R_{2} R_{3} B_{1}, R_{2} R_{3} B_{2}, B_{1} B_{2} R_{1}, B_{1} B_{2} R_{2}, B_{1} B_{2} R_{3}\}$

پیشامد این‌که حداقل یک مهره آبی انتخاب شود را بنویسید.

$A = \{R_{1} R_{2} B_{1}, R_{1} R_{2} B_{2}, R_{1} R_{3} B_{1}, R_{1} R_{3} B_{2}, R_{2} R_{3} B_{1}, R_{2} R_{3} B_{2}, B_{1} B_{2} R_{1}, B_{1} B_{2} R_{2}, B_{1} B_{2} R_{3}\}$

پیشامد این‌که حداکثر یک مهره آبی انتخاب شود را بنویسید.

$B = \{R_{1} R_{2} R_{3}, R_{1} R_{2} B_{1}, R_{1} R_{2} B_{2}, R_{1} R_{3} B_{1}, R_{1} R_{3} B_{2}, R_{2} R_{3} B_{1}, R_{2} R_{3} B_{2}\}$

پیشامد ناسازگار

1- دو پیشامد $A$ و $B$ را ناسازگار گویند، هرگاه اشتراک آنها تهی باشد، به عبارت دیگر هر دو نتوانند هم‌زمان اتفاق بیافتد.

در شکل زیر، اشتراک دو پیشامد $A$ و $B$ تهی است:

$A \cap B = \emptyset$

2- سه پیشامد $A$ و $B$ و $C$ را ناسازگار گویند، هرگاه اشتراک دو‌به‌دوی آنها تهی باشد.

در شکل زیر، اشتراک دو‌به‌دوی سه پیشامد $A$ و $B$ و $C$ تهی است:

$\begin{matrix} A \cap B = \emptyset \end{matrix}$

$\begin{matrix} A \cap C = \emptyset \end{matrix}$

$B \cap C = \emptyset$

3- پیشامدهای $A_{n}, ..., A_{2}, A_{1}$ را دوبه‌دو ناسازگارگویند، هرگاه:

$\forall i \neq j, A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$

تمرین

یک تاس را پرتاب می‌کنیم:

پیشامد مشاهده عدد زوج را بنویسید.

$A = \{2, 4, 6\}$

پیشامد مشاهده عدد فرد را بنویسید.

$B = \{1, 3, 5\}$

آیا این دو پیشامد ناسازگار هستند؟

بله.

$A \cap B = \emptyset$

سه پیشامد دو‌به‌دو ناسازگار بنویسید.

$\begin{array}{l} D = \{1, 2\} \\ E = \{3, 4\} \\ F = \{5, 6\} \end{array}$

دو پیشامد $(G \cap H)$ و $I$ بنویسید که ناسازگار باشند.

$\begin{array}{l} G = \{1, 2, 3\} \\ H = \{3, 4\} \\ I = \{5, 6\} \end{array}$

تمرین

خانواده‌ای دارای چهار فرزند است.

تعداد اعضای فضای نمونه خانواده چهار نفره را بنویسید.

جدول زیر اعضای فضای نمونه‌ خانواده‌ای که چهار فرزند دارد را نشان می‌دهد. در این جدول $B$ نماینده فرزند پسر و $G$ نماینده فرزند دختر است.

پیشامد - پیمان گردلو

$S = \{\begin{array}{l} B B B B, B B B G, B B G B, B B G G, B G B B, B G B G, B G G B, B G G G \\ G B B B, G B B G, G B G B, G B G G, G G B B, G G B G, G G G B, G G G G \end{array}\} \Rightarrow n (S) = 16 = 2^{4}$

پیشامد آن‌که در آن، فرزند سوم و چهارم دختر باشند.

$A = \{B B G G, B G G G, G B G G, G G G G\}$

پیشامد آن‌که در آن حداقل یک فرزند پسر باشد.

$D = \{\begin{array}{l} B B B B, B B B G, B B G B, B B G G, B G B B, B G B G, B G G B, B G G G \\ G B B B, G B B G, G B G B, G B G G, G G B B, G G B G, G G G B \end{array}\}$

پیشامد آن‌که در آن تعداد فرزندان دختر از تعداد فرزندان پسر بیشتر باشد.

$C = \{B G G G, G B G G, G G B G, G G G B\}$

آیا پیشامد‌های $A$ و $C$ ناسازگارند؟

این دو پیشامد سازگارند، زیرا اشتراک آنها تهی نیست:

$A \cap C = \{B G G G, G B G G\} \neq \emptyset$

پیشامد فرسا

اگر پیشامدهای $A_{n}, ..., A_{2}, A_{1}$ همه نتایج ممکن را در برگیرند، یعنی امکان نداشته باشد که در اثر آزمایش هیچ‌کدام از $A_{n}, ..., A_{2}, A_{1}$ رخ ندهد، در این‌صورت پیشامدها را فرسا گوییم.

پیشامد‌های هم‌شناس

اگر شرایط آزمایش به‌گونهای باشد که احتمال وقوع هر یک از پیشامدهای $A_{n}, ..., A_{2}, A_{1}$ برابر باشند، در این‌صورت پیشامدها را هم‌شانس یا هم‌تراز گوییم.

به‌عنوان پیشامدهای حاصل از پرتاب دو سکه سالم را به‌صورت زیر در نظر می‌گیریم:

$A_{1}$ پیشامد رخ دادن دو شیر

$A_{2}$ پیشامد رخ دادن دو خط

$A_{3}$ پیشامد رخ دادن یک شیر و یک خط

به‌سادگی ملاحظه می‌شود این پیشامدها همتراز (همشانس) نیستند، زیرا مثلا شانس وقوع $A_{3}$ دو برابر شانس وقوع $A_{1}$ یا $A_{2}$ است، ولی اگر پیشامدهای حاصل از پرتاب دو سکه سالم را به‌صورت زیر در نظر بگیریم:

$A_{1}$ پیشامد رخ دادن سکه اول شیر و سکه دوم خط

$A_{2}$ پیشامد رخ دادن سکه اول خط و سکه دوم شیر

$A_{3}$ پیشامد رخ دادن دو شیر

$A_{4}$ پیشامد رخ دادن دو خط

واضح است که پیشامدهای فوق، فرسا، ناسازگار می‌باشند.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

پیشامد (تعریف)

2,400تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

احتمالات

پیشامد (تعریف)

مقدمه

تعریف پیشامد

انواع پیشامد

پیشامد ساده

پیشامد مرکب

پیشامد محال

پیشامد حتمی

پیشامد ناسازگار

پیشامد فرسا

پیشامد‌های هم‌شناس

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟