سرفصل‌های این مبحث

توان در ریاضی

قانون دوم توان

آخرین ویرایش: 12 بهمن 1402

دسته‌بندی: توان در ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قضیه

ضرب اعداد توان دار وقتی توان ها مساوی باشند

در ضرب اعداد توان دار، اگر توان ها مساوی و پایه ‌ها مختلف باشند، یکی از توان ها را نوشته و پایه‌ ها را در هم ضرب می‌کنیم:

$\forall a, b \in R, m \in Z; a^{m} \times b^{m} = {(a \times b)}^{m}$

اثبات

$\begin{array}{l} a^{m} \times b^{m} \\ = (a \times a \times \cdot \cdot \cdot \times a) \times (b \times b \times \cdot \cdot \cdot \times b) \\ = (a \times b) \times (a \times b) \times \cdot \cdot \cdot \times (a \times b) \\ = {(a \times b)}^{1 + 1 + \cdot \cdot \cdot + 1} \\ = {(a \times b)}^{m} \end{array}$

در پرانتز آبی رنگ، $a$ به تعداد $m$ بار تکرار شده است.

در پرانتز قرمز رنگ، $b$ به تعداد $m$ بار تکرار شده است.

پرانتزهای سبز رنگ، $(a + b)$ به تعداد $m$ بار تکرار شده است.

تمرین

حاصل عبارات زیر را به صورت عدد توان دار می‌نویسیم:

$4^{3} \times 5^{3}$

$\begin{array}{l} = {(4 \times 5)}^{3} \\ = 20^{3} \end{array}$

${(\frac{1}{2})}^{4} \times 5^{4}$

$\begin{array}{l} = {(\frac{1}{2} \times 5)}^{4} \\ = {(\frac{5}{2})}^{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} 2^{3} \times 3^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(2 \times 3)}^{3} \\ = 6^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} 1^{5} \times 2^{5} \times 3^{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(1 \times 2 \times 3)}^{5} \\ = {(6)}^{5} \\ = 6^{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} a^{5} \times b^{6} \times a^{4} \times b^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a^{5} \times a^{4}) \times (b^{6} \times b^{3}) \\ = a^{5 + 4} \times b^{6 + 3} \\ = a^{9} \times b^{9} \\ = {(a \times b)}^{9} \end{array}$

$\begin{array}{l} a^{40} \times b^{20} \times a^{20} \times b^{25} \times b^{15} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a^{40} \times a^{20}) \times (b^{20} \times b^{25} \times b^{15}) \\ = a^{40 + 20} \times b^{20 + 25 + 15} \\ = a^{60} \times b^{60} \\ = {(a \times b)}^{60} \end{array}$

$\begin{array}{l} a \times b \times a^{2} \times b^{2} \times a^{3} \times b^{3} \times a^{4} \times b^{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a^{1} \times a^{2} \times a^{3} \times a^{4}) \times (b^{1} \times b^{2} \times b^{3} \times b^{4}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = a^{1 + 2 + 3 + 4} \times b^{1 + 2 + 3 + 4} \\ = a^{10} \times b^{10} \\ = {(a \times b)}^{10} \end{array}$

$\begin{array}{l} 8^{11} \times {(\frac{5}{8})}^{11} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(8 \times \frac{5}{8})}^{11} \\ = 5^{11} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(\frac{2}{3})}^{8} \times 6^{8} \times 2^{8} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\frac{2}{3} \times 6 \times 2)}^{8} \\ = {(\frac{24}{3})}^{8} \\ = 8^{8} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{7} \times {(\frac{7}{3})}^{7} \times {(\frac{1}{4})}^{7} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\frac{1}{2} \times \frac{7}{3} \times \frac{1}{4})}^{7} \\ = {(\frac{1 \times 7 \times 1}{2 \times 3 \times 4})}^{7} \\ = {(\frac{7}{24})}^{7} \end{array}$

$\begin{array}{l} 0 / 04 \times 5^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{4}{100} \times 5^{2} \\ = \frac{1}{25} \times 5^{2} \\ = \frac{1}{5^{2}} \times 5^{2} \\ = \frac{5^{2}}{5^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\frac{5}{5})}^{2} \\ = {(1)}^{2} \\ = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} {(2^{3})}^{5} \times {(3^{5})}^{3} \times 6^{15} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2^{15} \times 3^{15} \times {(2 \times 3)}^{15} \\ = 2^{15} \times 3^{15} \times 2^{15} \times 3^{15} \\ = (2^{15} \times 2^{15}) \times (3^{15} \times 3^{15}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2^{30} \times 3^{30} \\ = {(2 \times 3)}^{30} \\ = 6^{30} \end{array}$

$\begin{array}{l} a^{4} \times b^{4} \times {(a b)}^{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(a b)}^{4} \times {(a b)}^{5} \\ = {(a b)}^{4 + 5} \\ = {(a b)}^{9} \end{array}$

تمرین

عدد $A$ به‌صورت زیر تعریف شده است:

$A = 5^{104} \times 4^{52}$

عدد $A$ چند رقمی است؟

$\begin{matrix} A = 5^{104} \times 4^{52} \\ \Rightarrow A = 5^{104} \times {(2^{2})}^{52} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow A = 5^{104} \times 2^{104} \\ \Rightarrow A = {(5 \times 2)}^{104} \\ \Rightarrow A = 10^{104} \end{matrix}$

عدد $A$ یک عدد $105$ رقمی است.

تمرین

اعداد زیر را در نظر بگیرید:

$25^{3}, 2^{12}, 36^{3}$

این اعداد را باهم مقایسه کنید.

$\{\begin{cases} 25^{3} = {(5^{2})}^{3} = 5^{6} \\ 2^{12} = {(2^{2})}^{6} = 4^{6} \\ 36^{3} = {(6^{2})}^{3} = 6^{6} \end{cases}$

$4^{6} < 5^{6} < 6^{6} = 2^{12} < 25^{3} < 36^{3}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

قانون دوم

1,300تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

توان

قانون دوم توان

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟