سرفصل‌های این مبحث

توان در ریاضی

قانون دوم توان

آخرین ویرایش: 07 مرداد 1403

دسته‌بندی: توان در ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قضیه

ضرب اعداد توان دار وقتی توان ها مساوی باشند

در ضرب اعداد توان دار، اگر توان ها مساوی و پایه ‌ها مختلف باشند، یکی از توان ها را نوشته و پایه‌ ها را در هم ضرب می‌کنیم:

$\forall a, b \in R, m \in Z; a^{m} \times b^{m} = {(a \times b)}^{m}$

اثبات

$\begin{array}{l} a^{m} \times b^{m} \\ = (a \times a \times \cdot \cdot \cdot \times a) \times (b \times b \times \cdot \cdot \cdot \times b) \\ = (a \times b) \times (a \times b) \times \cdot \cdot \cdot \times (a \times b) \\ = {(a \times b)}^{1 + 1 + \cdot \cdot \cdot + 1} \\ = {(a \times b)}^{m} \end{array}$

در پرانتز آبی رنگ، $a$ به تعداد $m$ بار تکرار شده است.

در پرانتز قرمز رنگ، $b$ به تعداد $m$ بار تکرار شده است.

پرانتزهای سبز رنگ، $(a + b)$ به تعداد $m$ بار تکرار شده است.

تمرین

حاصل عبارات زیر را به صورت عدد توان دار می‌نویسیم:

$4^{3} \times 5^{3}$

$\begin{array}{l} = {(4 \times 5)}^{3} \\ = 20^{3} \end{array}$

${(\frac{1}{2})}^{4} \times 5^{4}$

$\begin{array}{l} = {(\frac{1}{2} \times 5)}^{4} \\ = {(\frac{5}{2})}^{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} 2^{3} \times 3^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(2 \times 3)}^{3} \\ = 6^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} 1^{5} \times 2^{5} \times 3^{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(1 \times 2 \times 3)}^{5} \\ = {(6)}^{5} \\ = 6^{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} a^{5} \times b^{6} \times a^{4} \times b^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a^{5} \times a^{4}) \times (b^{6} \times b^{3}) \\ = a^{5 + 4} \times b^{6 + 3} \\ = a^{9} \times b^{9} \\ = {(a \times b)}^{9} \end{array}$

$\begin{array}{l} a^{40} \times b^{20} \times a^{20} \times b^{25} \times b^{15} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a^{40} \times a^{20}) \times (b^{20} \times b^{25} \times b^{15}) \\ = a^{40 + 20} \times b^{20 + 25 + 15} \\ = a^{60} \times b^{60} \\ = {(a \times b)}^{60} \end{array}$

$\begin{array}{l} a \times b \times a^{2} \times b^{2} \times a^{3} \times b^{3} \times a^{4} \times b^{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a^{1} \times a^{2} \times a^{3} \times a^{4}) \times (b^{1} \times b^{2} \times b^{3} \times b^{4}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = a^{1 + 2 + 3 + 4} \times b^{1 + 2 + 3 + 4} \\ = a^{10} \times b^{10} \\ = {(a \times b)}^{10} \end{array}$

$\begin{array}{l} 8^{11} \times {(\frac{5}{8})}^{11} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(8 \times \frac{5}{8})}^{11} \\ = 5^{11} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(\frac{2}{3})}^{8} \times 6^{8} \times 2^{8} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\frac{2}{3} \times 6 \times 2)}^{8} \\ = {(\frac{24}{3})}^{8} \\ = 8^{8} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{7} \times {(\frac{7}{3})}^{7} \times {(\frac{1}{4})}^{7} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\frac{1}{2} \times \frac{7}{3} \times \frac{1}{4})}^{7} \\ = {(\frac{1 \times 7 \times 1}{2 \times 3 \times 4})}^{7} \\ = {(\frac{7}{24})}^{7} \end{array}$

$\begin{array}{l} 0 / 04 \times 5^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{4}{100} \times 5^{2} \\ = \frac{1}{25} \times 5^{2} \\ = \frac{1}{5^{2}} \times 5^{2} \\ = \frac{5^{2}}{5^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\frac{5}{5})}^{2} \\ = {(1)}^{2} \\ = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} {(2^{3})}^{5} \times {(3^{5})}^{3} \times 6^{15} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2^{15} \times 3^{15} \times {(2 \times 3)}^{15} \\ = 2^{15} \times 3^{15} \times 2^{15} \times 3^{15} \\ = (2^{15} \times 2^{15}) \times (3^{15} \times 3^{15}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2^{30} \times 3^{30} \\ = {(2 \times 3)}^{30} \\ = 6^{30} \end{array}$

$\begin{array}{l} a^{4} \times b^{4} \times {(a b)}^{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(a b)}^{4} \times {(a b)}^{5} \\ = {(a b)}^{4 + 5} \\ = {(a b)}^{9} \end{array}$

تمرین

عدد $A$ به‌صورت زیر تعریف شده است:

$A = 5^{104} \times 4^{52}$

عدد $A$ چند رقمی است؟

$\begin{matrix} A = 5^{104} \times 4^{52} \\ \Rightarrow A = 5^{104} \times {(2^{2})}^{52} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow A = 5^{104} \times 2^{104} \\ \Rightarrow A = {(5 \times 2)}^{104} \\ \Rightarrow A = 10^{104} \end{matrix}$

عدد $A$ یک عدد $105$ رقمی است.

تمرین

اعداد زیر را در نظر بگیرید:

$25^{3}, 2^{12}, 36^{3}$

این اعداد را باهم مقایسه کنید.

$\{\begin{cases} 25^{3} = {(5^{2})}^{3} = 5^{6} \\ 2^{12} = {(2^{2})}^{6} = 4^{6} \\ 36^{3} = {(6^{2})}^{3} = 6^{6} \end{cases}$

$4^{6} < 5^{6} < 6^{6} = 2^{12} < 25^{3} < 36^{3}$

تمرین

عدد $2^{1402}$ یک عدد $m$ رقمی است.

هم‌چنین عدد $5^{1402}$ یک عدد $n$ رقمی است.

حاصل $(m + n)$ را بیابید.

یادآوری) اگر $A$ یک عدد $n$ رقمی باشد، همواره داریم:

$10^{n - 1} < A < 10^{n}$

به‌عنوان نمونه داریم:

$\{\begin{cases} 10^{1} < 13 < 10^{2} \\ 10^{2} < 130 < 10^{3} \end{cases}$

در تمرین فوق داریم:

$\{\begin{cases} 10^{m - 1} < 2^{1402} < 10^{m} \\ 10^{n - 1} < 5^{1402} < 10^{n} \end{cases}$

طرفین نامساوی های فوق را درهم ضرب می‌کنیم:

$\begin{array}{l} 10^{m + n - 2} < 10^{1402} < 10^{m + n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m + n - 2 < 1402 < m + n; m + n - 2 < m + n - 1 < m + n \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m + n - 1 = 1402 \\ \Rightarrow m + n = 1403 \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

در تساوی زیر $x + a + b$ کدام گزینه است؟

$x^{a} + x^{b} = x^{a + b}$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

قانون دوم

2,500تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

توان

قانون دوم توان

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟