سرفصل‌های این مبحث

توان در ریاضی

مقدمه‌‌ ای بر توان

آخرین ویرایش: 12 بهمن 1402

دسته‌بندی: توان در ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

عبارت زیر را در نظر بگیرید:

$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$

برای آسان شدن محاسبه، عبارت فوق را به صورت $2^{5}$ می‌نویسیم.

$2^{5}$ را به‌صورت( $2$ به توان $5$ )می‌خوانیم.
$2^{5}$ یعنی $2$ را $5$ بار در خودش ضرب کنیم.
عدد $2$ را پایه ( $B a s e$ ) می‌نامیم.
عدد $5$ را توان ( $E x p o n e n t$ ) یا نمای آن عدد می‌نامیم.

اگر $a$ عدد حقیقی و $n$ عددی صحیح فرض شود، بنابر تعریف داریم:

$\forall a \in R, n \in Z; a^{n} = a \times a \times a \times \dots \times a$

در تساوی فوق $a$ به تعداد $n$ بار، تکرار شده است.

تذکر

هر عدد حقیقی که دارای توان نباشد، توان آن را عدد $(1)$ منظور می‌کنیم.

$a^{1} = a$

نکته

یکی از کاربردهای استفاده از اعداد توان دار، خلاصه‌نویسی است.

اگر بخواهیم عدد $2$ را $1000$ بار در خودش ضرب کنیم، کافی است به جای ضرب کردن این تعداد عدد درهم، آن را به صورت $2^{1000}$ نمایش دهیم.

این خلاصه نویسی هم در فضای نوشتن، صرفه جویی می‌کند و هم سرعت محاسبات را افزایش می‌دهد.

تمرین

اعداد زير را بخوانيد و مفهوم آنها را بنويسيد.

$2^{7}$

$2^{7} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$

$2$ به‌توان $7$

$1^{5}$

$1^{5} = 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1$

$1$ به‌توان $5$

${(\frac{4}{5})}^{3}$

${(\frac{4}{5})}^{3} = \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5}$

$\frac{4}{5}$ به‌توان $3$

تمرین

حاصل هر يک از عبارات زير را حساب كنيد.

$2^{4} + 5^{2}$

$\{\begin{array}{l} 2^{4} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \\ 5^{2} = 5 \times 5 = 25 \end{array}〉 2^{4} + 5^{2} = (16) + (25) = 41$

$2^{3} \times 3^{2}$

$\{\begin{array}{l} 2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8 \\ 3^{2} = 3 \times 3 = 9 \end{array}〉 2^{3} \times 3^{2} = (8) \times (9) = 72$

$3^{3} - 4^{2}$

$\{\begin{array}{l} 3^{3} = 3 \times 3 \times 3 = 27 \\ 4^{2} = 4 \times 4 = 16 \end{array}〉 3^{3} - 4^{2} = (27) - (16) = 11$

$10^{3} \div 5^{2}$

$\{\begin{array}{l} 10^{3} = 10 \times 10 \times 10 = 1000 \\ 5^{2} = 5 \times 5 = 25 \end{array}〉 10^{3} \div 5^{2} = (1000) \div (25) = 40$

$3^{3} + 4^{3} + 5^{3}$

$\{\begin{array}{l} 3^{3} = 3 \times 3 \times 3 = 27 \\ 4^{3} = 4 \times 4 \times 4 = 64 \\ 5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125 \end{array}〉 3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = (27) + (64) + (125) = 216$

$2^{6} - 6^{2} + 4^{2}$

$\{\begin{array}{l} 2^{6} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64 \\ 6^{2} = 6 \times 6 = 36 \\ 4^{2} = 4 \times 4 = 16 \end{array}〉 2^{6} - 6^{2} + 4^{2} = (64) - (36) + (16) = 44$

$2^{5} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

$\{\begin{array}{l} 2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \\ {(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \end{array}〉 2^{5} + {(\frac{1}{2})}^{3} = 32 + \frac{1}{8} = \frac{(32 \times 8) + 1}{8} = \frac{256 + 1}{8} = \frac{257}{8}$

$- 6^{2} + 4 \cdot 3^{2}$

$\begin{matrix} = - (36) + 4 \cdot (9) \\ = - 36 + 36 \\ = 0 \end{matrix}$

$\frac{{(- 2)}^{4}}{{(3^{2} + 2^{2})}^{2}}$

$= \frac{16}{{(9 + 4)}^{2}}$

$= \frac{16}{{(13)}^{2}}$

$= \frac{16}{169}$

یادآوری

در ادامه به بررسی قوانین توان می‌پردازیم.

قوانین توان - پیمان گردلو

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

توان

مقدمه‌‌ ای بر توان

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟