قانون اول توان

آخرین ویرایش: 12 بهمن 1402

دسته‌بندی: توان در ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قضیه

ضرب اعداد توان دار وقتی پایه ها مساوی باشند.

در ضرب اعداد توان دار، اگر پایه ها مساوی و توان ‌ها مختلف باشند، یکی از پایه‌ ها را نوشته و توان ها را با هم جمع می‌کنیم:

$\forall a \in R, m, n \in Z; a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$

اثبات

$\begin{array}{l} a^{m} \times a^{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a \times a \times \dots \times a) \times (a \times a \times a \times \dots \times a) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a \times a \times a \times a \times \dots \times a) \end{array}$

$= a^{m + n}$

در پرانتز آبی رنگ، $a$ به تعداد $m$ بار تکرار شده است.

در پرانتز قرمز رنگ، $a$ به تعداد $n$ بار تکرار شده است.

در پرانتز سبز رنگ، $a$ به تعداد $m + n$ بار تکرار شده است.

تمرین

حاصل عبارات زیر را به صورت عدد توان دار می‌نویسیم:

$2^{6} \times 2^{7}$

$\begin{array}{l} = 2^{6 + 7} \\ = 2^{13} \end{array}$

$3^{2} \times 3^{4} \times 3^{5}$

$\begin{array}{l} = 3^{2 + 4 + 5} \\ = 3^{11} \end{array}$

$9 \times 3^{4}$

$\begin{array}{l} = 3^{2} \times 3^{4} \\ = 3^{2 + 4} \\ = 3^{6} \end{array}$

$2^{6} \times {(2^{3})}^{4}$

$\begin{array}{l} = 2^{6} \times (2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3}) \\ = 2^{6 + 3 + 3 + 3 + 3} \\ = 2^{18} \end{array}$

${(\frac{1}{2})}^{3} \times {(0 / 5)}^{4}$

$\begin{array}{l} = {(0 / 5)}^{3} \times {(0 / 5)}^{4} \\ = {(0 / 5)}^{3 + 4} \\ = {(0 / 5)}^{7} \end{array}$

$3^{5} \times 27^{2}$

$\begin{array}{l} = 3^{5} \times {(3^{3})}^{2} \\ = 3^{5} \times (3^{3} \times 3^{3}) \\ = 3^{5 + 3 + 3} \\ = 3^{11} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\frac{1}{5})}^{1} \times {(\frac{1}{5})}^{1} \times {(\frac{1}{5})}^{1} \times {(\frac{1}{5})}^{1} \\ = {(\frac{1}{5})}^{1 + 1 + 1 + 1} \\ = {(\frac{1}{5})}^{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\sqrt{3})}^{1} \times {(\sqrt{3})}^{1} \times {(\sqrt{3})}^{1} \times {(\sqrt{3})}^{1} \times {(\sqrt{3})}^{1} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\sqrt{3})}^{1 + 1 + 1 + 1 + 1} \\ = {(\sqrt{3})}^{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\frac{a}{2})}^{1} \times {(\frac{a}{2})}^{1} \times {(\frac{a}{2})}^{1} \times {(\frac{a}{2})}^{1} \times {(\frac{a}{2})}^{1} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\frac{a}{2})}^{1 + 1 + 1 + 1 + 1} \\ = {(\frac{a}{2})}^{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} (a + b) (a + b) (a + b) \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1} \\ = {(a + b)}^{1 + 1 + 1} \\ = {(a + b)}^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} 10 \times 100 \times 1000 \times 10000 \end{array}$

$\begin{array}{l} = 10^{1} \times 10^{2} \times 10^{3} \times 10^{4} \\ = 10^{1 + 2 + 3 + 4} \\ = 10^{10} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(2.5)}^{7} \times {(\frac{5}{2})}^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\frac{5}{2})}^{7} \times {(\frac{5}{2})}^{3} \\ = {(\frac{5}{2})}^{7 + 3} \\ = {(\frac{5}{2})}^{10} \end{array}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$\begin{array}{l} a = x^{\frac{1}{x - 1}} \\ b = x^{\frac{x}{x - 1}} \end{array}$

یک رابطه مستقل از $x$ بین $a$ و $b$ به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} b = x^{\frac{x}{x - 1}} \\ \Rightarrow b = x^{\frac{x - 1 + 1}{x - 1}} \\ \Rightarrow b = x^{\frac{x - 1}{x - 1}} . x^{\frac{1}{x - 1}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow b = x . x^{\frac{1}{x - 1}}; a = x^{\frac{1}{x - 1}} \\ \Rightarrow b = x^{1} a \\ \Rightarrow x = \frac{b}{a} \end{array}$