سرفصل‌های این مبحث

ماتریس

ضرب دو ماتریس

آخرین ویرایش: 20 آبان 1403

دسته‌بندی: ماتریس

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه‌ای بر ضرب دو ماتریس

اگر $A$ ماتریسی سطری و $B$ ماتریسی ستونی باشد به‌طوری‌که تعداد ستون های ماتریس $A$ با تعداد سطرهای ماتریس $B$ برابر باشند:

در این‌صورت حاصل ضرب آنها یعنی $A \times B$ را می‌توان تعریف کرد، برای ضرب آنها کافی است:

هر درایه ماتریس $A$ را در درایه نظیرش در $B$ ضرب کنیم
حاصل این ضرب ها را با هم جمع کنیم

در این‌صورت ماتریسی $1 \times 1$ که یک عدد حقیقی است، حاصل می‌شود.

ضرب دو ماتریس - پیمان گردلو

تمرین

ماتریس های زیر را در نظر بگیرید:

$A = [\begin{matrix} - 1 & 2 & 0 & 3 & - 5 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} \begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 7 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix} \end{matrix}]$

حاصل ضرب زیر را بیابید.

$A \times B$

$\begin{array}{l} {[\begin{matrix} - 1 & 2 & 0 & 3 & - 5 \end{matrix}]}_{1 \times 5} \times {[\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 7 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}]}_{5 \times 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} = [(- 1) (- 2) + (2) (3) + (0) (7) + (3) (- 1) + (- 5) (- 2)] \end{array}$

$\begin{array}{l} = [15] \\ = 15 \end{array}$

ضرب ماتریس در ماتریس

ماتریس های $A$ و $B$ موجود هستند.

تساوی زیر وقتی وجود دارد که تعداد ستون‌های ماتریس $A$ با تعداد سطرهای ماتریس $B$ برابر باشند.

$C = A_{m \times n} \times B_{n \times p}$

دو ماتریس $A$ و $B$ را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$\{\begin{cases} A = {[a_{i j}]}_{m \times n} \\ B = {[b_{i j}]}_{n \times p} \end{cases}$

حاصل ضرب دو ماتریس فوق را با $C$ نشان می‌دهیم و داریم:

$\begin{array}{l} C = A \times B \end{array}$

${[c_{i j}]}_{m \times p} = {[a_{i j}]}_{m \times n} \times {[b_{i j}]}_{n \times p}$

$\Rightarrow {[c_{i j}]}_{m \times p} = {[\sum_{k = 1}^{n} a_{i k} . b_{k j}]}_{m \times p}$

درایه $C_{i j}$ از ماتریس $C$ یعنی:

حاصل ضرب سطر $i$ ام ماتریس $A$ در ستون $j$ ام ماتریس $B$ :

$C_{i j} = [\begin{matrix} a_{i 1} & a_{i 2} & ... & a_{i n} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{1 j} \\ b_{2 j} \\ ⋮ \\ b_{n j} \end{matrix}]$

$C_{i j} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{i n} b_{n j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k j}$

ضرب دو ماتریس - پیمان گردلو

تمرین

دو ماتریس زیر را در نظر می‌گیریم:

$A = [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 5 & 9 \end{matrix}], D = [\begin{matrix} 3 & 7 & 4 \\ 2 & 1 & 6 \end{matrix}]$

مرتبه ماتریس های فوق را بنویسید.

$\begin{array}{l} A = [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 5 & 9 \end{matrix}]; A_{2 \times 2} \\ D = [\begin{matrix} 3 & 7 & 4 \\ 2 & 1 & 6 \end{matrix}]; D_{2 \times 3} \end{array}$

حاصل ضرب $A \times D$ را بنویسید.

$\begin{matrix} A_{2 \times 2} \times D_{2 \times 3} \end{matrix}$

$\begin{matrix} = [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 5 & 9 \end{matrix}] \times \end{matrix} [\begin{matrix} 3 & 7 & 4 \\ 2 & 1 & 6 \end{matrix}]$

$= {[\begin{matrix} [\begin{matrix} 2 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}] & [\begin{matrix} 2 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 7 \\ 1 \end{matrix}] & [\begin{matrix} 2 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 5 & 9 \end{matrix}] [\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}] & [\begin{matrix} 5 & 9 \end{matrix}] [\begin{matrix} 7 \\ 1 \end{matrix}] & [\begin{matrix} 5 & 9 \end{matrix}] [\begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix}] \end{matrix}]}_{2 \times 3}$

$\begin{matrix} = \end{matrix} [\begin{matrix} (2) (3) + (1) (2) & (2) (7) + (1) (1) & (2) (4) + (1) (6) \\ (5) (3) + (9) (2) & (5) (7) + (9) (1) & (5) (4) + (9) (6) \end{matrix}]$

$= [\begin{matrix} 8 & 15 & 14 \\ 33 & 44 & 74 \end{matrix}]$

آیا حاصل ضرب $D \times A$ انجام پذیر است؟

حاصل ‌ضرب $D_{2 \times 3} \times A_{2 \times 2}$ انجام‌ پذیر نیست، زیرا تعداد ستون های $D$ با تعداد سطرهای $A$ برابر نیستند.

حاصل‌ ضرب دو ماتریس در صورتی امکان ‌پذیر است که تعداد ستون ‌های اولی با تعداد سطرهای دومی برابر باشند.

تمرین

حاصل ضرب ماتریس های زیر را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} A \times B = {[\begin{matrix} 1 & 2 & - 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ - 1 & - 2 & 4 \end{matrix}]}_{3 \times 3} \times {[\begin{matrix} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix}]}_{3 \times 2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {[\begin{matrix} (1) (2) + (2) (- 1) + (- 1) (4) & (1) (3) + (2) (2) + (- 1) (5) \\ (3) (2) + (2) (- 1) + (1) (4) & (3) (3) + (2) (2) + (1) (5) \\ (- 1) (2) + (- 2) (- 1) + (4) (4) & (- 1) (3) + (- 2) (2) + (4) (5) \end{matrix}]}_{3 \times 2} \end{array}$

$= {[\begin{matrix} - 4 & 2 \\ 8 & 18 \\ 16 & 13 \end{matrix}]}_{3 \times 2}$

$A \times B = [\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \end{matrix}]$

ضرب دو ماتریس - پیمان گردلو

$\begin{matrix} A \times B = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix}] \end{matrix}$

$A \times B = [\begin{matrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}]$

$[\begin{matrix} 3 & - 2 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}]$

$\begin{array}{l} = {[\begin{matrix} 3 & - 2 \\ 1 & 0 \end{matrix}]}_{2 \times 2} \times {[\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}]}_{2 \times 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {[\begin{matrix} [\begin{matrix} 3 & - 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}] \end{matrix}]}_{2 \times 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {[\begin{matrix} (3) (3) + (- 2) (1) \\ (1) (3) + (0) (1) \end{matrix}]}_{2 \times 1} \\ = {[\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix}]}_{2 \times 1} \end{array}$

$C = [\begin{matrix} 2 & 1 \\ - 1 & 2 \\ 0 & - 1 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}]$

$[\begin{matrix} 2 & 1 \\ - 1 & 2 \\ 0 & - 1 \end{matrix}] \begin{array}{l} _{3 \times 2} \times {[\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}]}_{2 \times 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {[\begin{matrix} [\begin{matrix} 2 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} - 1 & 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 0 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}] \end{matrix}]}_{3 \times 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {[\begin{matrix} (2) (3) + (1) (1) \\ (- 1) (3) + (2) (1) \\ (0) (3) + (- 1) (1) \end{matrix}]}_{3 \times 1} \\ = {[\begin{matrix} 7 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}]}_{3 \times 1} \end{array}$

$[\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$

${[\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}]}_{3 \times 3} {[\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}]}_{3 \times 1}$

$= [\begin{matrix} [\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] & [\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] & [\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] & [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] \end{matrix}]$

$= [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix}]$

$[\begin{matrix} 2 & 1 \\ 8 & 5 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} \\ - 4 & 1 \end{matrix}]$

$= [\begin{matrix} [\begin{matrix} 2 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} \frac{5}{2} \\ - 4 \end{matrix}] & [\begin{matrix} 2 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ 1 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 8 & 5 \end{matrix}] [\begin{matrix} \frac{5}{2} \\ - 4 \end{matrix}] & [\begin{matrix} 8 & 5 \end{matrix}] [\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ 1 \end{matrix}] \end{matrix}]$

$\begin{array}{l} = [\begin{matrix} (2) (\frac{5}{2}) + (1) (- 4) & (2) (- \frac{1}{2}) + (1) (1) \\ (8) (\frac{5}{2}) + (5) (- 4) & (8) (- \frac{1}{2}) + (5) (1) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \end{array}$

$= [\begin{matrix} \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} \\ - 4 & 1 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 8 & 5 \end{matrix}]$

$[\begin{matrix} \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} \\ - 4 & 1 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 8 & 5 \end{matrix}]$

$\begin{array}{l} = [\begin{matrix} [\begin{matrix} \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 \\ 8 \end{matrix}] & [\begin{matrix} \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} - 4 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 \\ 8 \end{matrix}] & [\begin{matrix} - 4 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix}] \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} = [\begin{matrix} (\frac{5}{2}) (2) + (- \frac{1}{2}) (8) & (\frac{5}{2}) (1) + (- \frac{1}{2}) (5) \\ (- 4) (2) + (1) (8) & (- 4) (1) + (1) (5) \end{matrix}] \end{array}$

$= [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$

$[\begin{matrix} 2 \\ - 5 \\ 4 \end{matrix}] \times [- 1, 2, 3]$

${[\begin{matrix} 2 \\ - 5 \\ 4 \end{matrix}]}_{3 \times 1} {[- 1, 2, 3]}_{1 \times 3} = {[\begin{matrix} - 2 & 4 & 6 \\ 5 & - 10 & - 15 \\ - 4 & 8 & 12 \end{matrix}]}_{3 \times 3}$

$[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 5 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]$

${[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}]}_{4 \times 1} {[\begin{matrix} 5 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]}_{1 \times 4} = {[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 10 & 0 & 2 & 0 \end{matrix}]}_{4 \times 4}$

تمرین

مجموع ريشه های معادله زیر را محاسبه کنید:

${[x, 4, - 1]}_{1 \times 3} {[\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix}]}_{3 \times 3} {[\begin{matrix} x \\ 4 \\ - 1 \end{matrix}]}_{3 \times 1} = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [2 x + 4, x - 2, 4] [\begin{matrix} x \\ 4 \\ - 1 \end{matrix}] = 0 \\ \Rightarrow [(2 x + 4) x] + [(x - 2) 4] - 4 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 x^{2} + 4 x + 4 x - 8 - 4 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 x^{2} + 8 x - 12 = 0; x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \end{array}$

$\Rightarrow x_{1} + x_{2} = - 4$

تمرین

جواب های معادله زیر چقدر است؟

$[\begin{matrix} x & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix}] = 0$

$\Rightarrow [\begin{matrix} x & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} - x \\ 2 x + 3 \end{matrix}] = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - x^{2} + 2 x + 3 = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ x = 3 \end{cases} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

اگر $A_{m \times n}$ و $B_{n \times p}$ دو ماتریس باشند، آن‌گاه حاصل ضرب آنها به‌صورت زیر تعریف می‌شود.

$A_{m \times n} \times B_{n \times p}$

اگر هدف یافتن سطر و ستون خاصی از ماتریس $A B$ باشد، چنین داریم:

[ستون $J$ ام ماتریس $B$ ] $= A \times$ ستون $J$ ام ماتریس $A B$

$\times B$ [سطر $i$ ام ماتریس $A$ ] $=$ سطر $i$ ام ماتریس $A B$

[ستون $J$ ام $B$ ] $\times$ [سطر $i$ ام $A$ ] $=$ ستون $i$ ام و ستون $J$ ام ماتریس $A B$

تمرین

دو ماتریس زیر مفروض است:

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix}]$

ستون دوم ماتريس $A B$ را به‌دست آورید.

ماتریس $A$ را در ستون دوم ماتریس $B$ ضرب می‌کنیم:

$[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}] [\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 12 \\ 24 \end{matrix}]$

سطر دوم ماتريس $A B$ را به‌دست آورید.

سطر دوم ماتریس $A$ را در ماتریس $B$ ضرب می‌کنیم:

$[\begin{matrix} 4 & 5 & 6 \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 3 & 24 & 1 \end{matrix}]$

تمرین

ماتریس های زیر را در نظر بگیرید:

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 2 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 6 & 2 \end{matrix}]$

درايه سطر دوم و ستون سوم $A B$ را پيدا كنيد.

فرض كنيم هر درايه ماتریس $A B$ به‌صورت $C_{i j}$ باشد:

$C_{23} = [\begin{matrix} 2 & 3 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 6 \end{matrix}] = 3$

تمرین

ماتریس های زیر را در نظر بگیرید:

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ - 1 & 5 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} - 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix}]$

دومين ستون ماتريس $A B$ را پيدا كنيد.

ماتریس $A$ را در ستون دوم ماتریس $B$ ضرب می‌کنیم:

$[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ - 1 & 5 \end{matrix}] [\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 7 \\ 17 \\ 7 \end{matrix}]$

تمرین

ماتریس های زیر را در نظر بگیرید:

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 2 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 6 & 2 \end{matrix}]$

درايه سطر اول و ستون دوم $A B$ را پيدا كنيد.

سطر اول ماتریس $A$ را در ستون دوم ماتریس $B$ ضرب می‌کنیم:

$[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}] = 6$

تمرین

ماتریس های زیر را در نظر بگیرید:

$A (B + C)$

درايه سطر دوم ستون سوم ماتریس فوق را پیدا کنید.

سطر دوم ماتریس $A$ را در ستون سوم ماتریس $B + C$ ضرب می‌کنیم:

$[\begin{matrix} a_{21} & a_{22} & ... & a_{2 n} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{13} + c_{13} \\ b_{23} + c_{23} \\ ⋮ \\ b_{n 3} + c_{n 3} \end{matrix}] = \sum_{k = 1}^{n} a_{2 k} (b_{k 3} + c_{k 3})$

تمرین

ماتریس های زیر را در نظر بگیرید:

$A = {[a_{i j}]}_{10 \times 8}, B = {[b_{i j}]}_{m \times 6}, C = {[c_{i j}]}_{n \times 3}$

اگر $A \times B \times C$ تعريف شده باشد $m + n$ چقدر است؟

$\begin{matrix} A & B & C \\ 10 \times 8 & m \times 6 & n \times 3 \end{matrix}$

$\{\begin{cases} m = 8 \\ n = 6 \end{cases}〉 m + n = 8 + 6 = 14$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خواص عمل ضرب ماتریس‌ ها

خاصیت اول

سه ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

$A = {[a_{i k}]}_{m n}, B = {[b_{k j}]}_{n p}, C = {[c_{k j}]}_{n p}$

تساوی های زیر در ضرب ماتریس ها، موجود است:

$\begin{array}{l} 1) A (B + C) = A B + A C \end{array}$

$\begin{array}{l} 2) λ (A B) = (λ A) B = A (λ B) \end{array}$

$3) A (B C) = (A B) C$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 0 \\ 2 & - 1 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{matrix}], C = [\begin{matrix} 2 & 3 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]$

تساوی های زیر را ثابت کنید.

$A \times (B + C) = (A \times B) + (A \times C)$

$A \times (B + C)$

$= [\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 0 \\ 2 & - 1 \end{matrix}] \times {([\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 2 & 3 \\ - 1 & 1 \end{matrix}])}_{3 \times 2}$

$= [\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 0 \\ 2 & - 1 \end{matrix}] \times {[\begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{matrix}]}_{2 \times 2}$

$= [\begin{matrix} 5 & 10 \\ - 3 & - 2 \\ 5 & 0 \end{matrix}]$

$(A \times B) + (A \times C)$

$= ([\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 0 \\ 2 & - 1 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{matrix}]) + ([\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 0 \\ 2 & - 1 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 2 & 3 \\ - 1 & 1 \end{matrix}])$

$= [\begin{matrix} 5 & 5 \\ - 1 & 1 \\ 0 & - 5 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & 5 \\ - 2 & - 3 \\ 5 & 5 \end{matrix}]$

$= [\begin{matrix} 5 & 10 \\ - 3 & - 2 \\ 5 & 0 \end{matrix}]$

$A \times (B \times C) = (A \times B) \times C$

$A \times (B \times C)$

$= [\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 0 \\ 2 & - 1 \end{matrix}] \times ([\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 2 & 3 \\ - 1 & 1 \end{matrix}])$

$= {[\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 0 \\ 2 & - 1 \end{matrix}]}_{3 \times 2} \times {[\begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & 9 \end{matrix}]}_{2 \times 2}$

$= [\begin{matrix} 5 & 20 \\ - 3 & - 2 \\ 5 & - 5 \end{matrix}]$

$(A \times B) \times C$

$= ([\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 0 \\ 2 & - 1 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{matrix}]) \times [\begin{matrix} 2 & 3 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]$

$= [\begin{matrix} 5 & 5 \\ - 1 & 1 \\ 0 & - 5 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 2 & 3 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]$

$= [\begin{matrix} 5 & 20 \\ - 3 & - 2 \\ 5 & - 5 \end{matrix}]$

تمرین

ماتریس های زیر را در نظر بگیرید:

$A = {[a_{i k}]}_{m n}, B = {[b_{k j}]}_{n p}, C = {[c_{k j}]}_{n p}$

تساوی های زیر را ثابت کنید.

$A (B + C) = A B + A C$

$\begin{array}{l} A (B + C) \\ = {[a_{i k}]}_{m n} ({[b_{k j}]}_{n p} + {[c_{k j}]}_{n p}) \\ = {[a_{i k}]}_{m n} {[b_{k j} + c_{k j}]}_{n p} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {[\sum_{k = 1}^{n} a_{i k} (b_{k j} + c_{k j})]}_{m p} \\ = {[\sum_{k = 1}^{n} (a_{i k} b_{k j} + a_{i k} c_{k j})]}_{m p} \end{array}$

$\begin{array}{l} = [\sum_{k = 1}^{n} (a_{i k} b_{k j})] + [\sum_{k = 1}^{n} (a_{i k} c_{k j})] \\ = A B + A C \end{array}$

$λ (A B) = A (λ B)$

$\begin{array}{l} λ (A B) \\ = λ ({[a_{i k}]}_{m n} {[b_{k j}]}_{n p}) \\ = λ (\sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k j}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sum_{k = 1}^{n} (λ a_{i k}) b_{k j} \\ = \sum_{k = 1}^{n} (a_{i k}) (λ b_{k j}) \\ = A (λ B) \end{array}$

$A (B C) = (A B) C$

$A = {[a_{i k}]}_{m n}, B = {[b_{k r}]}_{n p}, C = {[c_{r j}]}_{p q}$

$\begin{array}{l} A (B C) \\ = {[a_{i k}]}_{m n} ({[b_{k r}]}_{n p} . {[c_{r j}]}_{p q}) \\ = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} \sum_{r = 1}^{p} b_{k r} c_{r j} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{r = 1}^{p} a_{i k} (b_{k r} c_{r j}) \\ = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{r = 1}^{p} (a_{i k} b_{k r}) c_{r j} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sum_{r = 1}^{p} (\sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k r}) c_{r j} \\ = \sum_{r = 1}^{p} ({(A B)}_{i r}) c_{r j} \\ = (A B) C \end{array}$

تمرین

ماتريس های $A, B, C, D$ را در نظر بگیرید.

عبارات زير را ثابت كنيد.

$(A + B) (C + D) = A C + A D + B C + B D$

با توجه به خاصيت پخشی از چپ داريم:

$\begin{array}{l} = (A + B) C + (A + B) D \\ = A C + B C + A D + B D \end{array}$

$(A - B) (C - D) = A C - A D - B C + B D$

$\begin{array}{l} = [A + (- B)] [C + (- D)] \end{array}$

$\begin{array}{l} = A C + A (- D) + (- B) C + (- B) (- D) \end{array}$

$\begin{matrix} = A C - A D - B C + B D \end{matrix}$

تمرین

اگر $A, B$ دو ماتريس مربع هم مرتبه باشند، ماتریس زیر را به‌دست آورید.

$(A + B) (A - B)$

$\begin{array}{l} = (A + B) [A + (- B)] \\ = A^{2} + A (- B) + B A + B (- B) \\ = A^{2} - B^{2} - A B + B A \end{array}$

تمرین

اگر $k$ يک عدد حقيقی ناصفر و $A, B$ دو ماتريس دل‌خواه $m \times n$ باشند، ثابت كنيد:

$k A = k B \Rightarrow A = B$

چون $k \neq 0$ است پس عدد $\frac{1}{k}$ موجود است.

$\begin{array}{l} i f k A = k B \\ \Rightarrow \frac{1}{k} (k A) = \frac{1}{k} (k B) \\ \Rightarrow A = B \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خاصیت دوم

ضرب ماتریس ها در حالت کلی خاصیت جابه‌جایی ندارد:

$A \times B \neq B \times A$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$A = [\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$

نشان دهید:

$A \times B \neq B \times A$

$\begin{array}{l} A \times B \\ = [\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} = [\begin{matrix} [\begin{matrix} - 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}] & [\begin{matrix} - 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}] & [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix}] \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} = [\begin{matrix} (- 1) (2) + (1) (1) & (- 1) (- 1) + (1) (0) \\ (0) (2) + (1) (1) & (0) (- 1) + (1) (0) \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} B \times A \\ = [\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} = [\begin{matrix} [\begin{matrix} 2 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix}] & [\begin{matrix} 2 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix}] & [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}] \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} = [\begin{matrix} (2) (- 1) + (- 1) (0) & (2) (1) + (- 1) (1) \\ (1) (- 1) + (0) (0) & (1) (1) + (0) (1) \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} = [\begin{matrix} - 2 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}] \\ A \times B \neq B \times A \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خاصیت سوم

هرگاه ضرب دو ماتریس برابر صفر باشند، نمی‌توان نتیجه گرفت که لااقل یکی از ماتریس های عامل ضرب برابر صفر است:

$(i f A B = \bar{O} \Rightarrow A = \bar{O} \lor B = \bar{O})$

به‌عنوان نمونه داریم:

$[\begin{matrix} 2 & 0 \\ 4 & 0 \end{matrix}] \begin{matrix} [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix}] = \end{matrix} [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$

$\begin{matrix} [\begin{matrix} 2 & 0 \\ 4 & 0 \end{matrix}] \neq \bar{O} \end{matrix}$

$[\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix}] \neq \bar{O}$

خاصیت چهارم

در حالت کلی قانون حذف در ضرب ماتریس ها برقرار نمی‌باشد:

$\{\begin{cases} A B = A C \\ A \neq 0 \end{cases}〉 B \neq C$

تمرین

ماتریس های زیر را در نظر بگیرید:

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix}], C = [\begin{matrix} - 2 & 7 \\ 5 & - 1 \end{matrix}]$

اگر $A B = A C$ باشد، نشان دهید $B \neq C$ است.

$\{\begin{array}{l} A B = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 8 & 5 \\ 16 & 10 \end{matrix}] \\ A C = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}] [\begin{matrix} - 2 & 7 \\ 5 & - 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 8 & 5 \\ 16 & 10 \end{matrix}] \end{array}〉 \{\begin{cases} A B = A C \\ B \neq C \end{cases}$

خاصیت پنجم

توان های طبیعی ماتریس مربع

فرض کنید $A$ یک ماتریس مربع است، در این‌صورت توان های طبیعی $A$ به‌صورت زیر تعریف می‌شوند:

$\begin{array}{l} A^{1} = A \end{array}$

$\begin{array}{l} A^{2} = A A \end{array}$

$\begin{array}{l} A^{3} = A^{2} A \\ ⋮ \end{array}$

$A^{n + 1} = A^{n} A$

در صورتی‌که $A$ یک ماتریس مربع مرتبه $n$ باشد، آن‌گاه:

$A^{0} = I_{n}$

$I_{n}$ ماتریس واحد مرتبه $n$ است.

تمرین

نشان دهيد:

$A A^{2} = A^{2} A$

$\begin{array}{l} A A^{2} \\ = A (A A) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (A A) A \\ = A^{2} A \end{array}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$A = [\begin{matrix} 0 & 0 & a \\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & 0 \end{matrix}]$

$A^{2}$ را به‌دست آوريد.

$A^{2} = [\begin{matrix} 0 & 0 & a \\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 0 & a \\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} a c & 0 & 0 \\ 0 & b^{2} & 0 \\ 0 & 0 & a c \end{matrix}]$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$A^{2} = 3 A$

$A^{100}$ را به‌دست آوريد.

$\begin{array}{l} A^{3} = A^{2} A = (3 A) A = 3 A^{2} = 3 (3 A) = 3^{2} A \end{array}$

$\begin{array}{l} A^{4} = A^{3} A = (3^{2} A) A = 3^{2} (A^{2}) = 3^{2} (3 A) = 3^{3} A \end{array}$

$\begin{array}{l} ⋮ \\ ⋮ \\ A^{100} = 3^{99} A \end{array}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$A = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 2 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix}]$

درايه سطر دوم، ستون اول ماتريس $A^{3}$ را بیابید.

$A^{3} = A^{2} A$

سطر دوم ماتریس $A^{2}$ عبارت است از:

سطر دوم ماتریس $A$ در ماتریس $A$

$[\begin{matrix} 1 & - 2 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 2 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 2 & 4 & 0 \end{matrix}]$

درايه سطر دوم، ستون اول ماتريس $A^{3}$ عبارت است از:

سطر دوم ماتریس $A^{2}$ را در ستون اول ماتریس $A$

$= [\begin{matrix} - 2 & 4 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}] = 4$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$A B + B A = \bar{O}$

ثابت کنید:

$A^{2} B = B A^{2}$

$i f A B + B A = \bar{O} \Rightarrow A B = - B A$

$\begin{array}{l} A^{2} B \\ = (A A) B \\ = A (A B); A B = - B A \end{array}$

$\begin{array}{l} = A (- B A) \\ = - (A B) A \end{array}$

$\begin{array}{l} = - (- B A) A \\ = B A^{2} \end{array}$

تمرین

اگر $A$ يک ماتريس مربع باشد، ثابت کنید:

$A A^{n} = A^{n} A$

اثبات به روش استقراء:

$p (1) : n = 1 \Rightarrow A A^{1} = A^{1} A$

برقرار است.

فرض استقراء:

$p (k) : n = k \Rightarrow A A^{k} = A^{k} A$

حكم استقراء:

$p (k + 1) : n = k + 1 \Rightarrow A A^{k + 1} = A^{k + 1} A$

$\begin{array}{l} A A^{k + 1} \\ = A (A . A^{k}); A A^{k} = A^{k} A \end{array}$

$\begin{array}{l} = A (A^{k} . A) \\ = (A A^{k}) A \\ = A^{k + 1} A \end{array}$

تمرین

ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

$A = [\begin{matrix} 3 & 1 \\ - 2 & 0 \end{matrix}]$

اگر $n \geq 1$ باشد، ثابت كنيد:

$A^{n} = [\begin{matrix} 2^{n + 1} - 1 & 2^{n} - 1 \\ - 2^{n + 1} + 2 & - 2^{n} + 2 \end{matrix}]$

اثبات به روش استقراء:

$p (1) : n = 1 \Rightarrow A^{1} = [\begin{matrix} 2^{2} - 1 & 2^{1} - 1 \\ - 2^{2} + 2 & - 2^{1} + 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 3 & 1 \\ - 2 & 0 \end{matrix}]$

برقرار است.

فرض استقراء:

$p (k) : n = k \Rightarrow A^{k} = [\begin{matrix} 2^{k + 1} - 1 & 2^{k} - 1 \\ - 2^{k + 1} + 2 & - 2^{k} + 2 \end{matrix}]$

حكم استقراء:

$p (k + 1) : n = k + 1 \Rightarrow A^{k + 1} = [\begin{matrix} 2^{k + 2} - 1 & 2^{k + 1} - 1 \\ - 2^{k + 2} + 2 & - 2^{k + 1} + 2 \end{matrix}]$

$\begin{array}{l} A^{k + 1} \\ = A A^{k} \end{array}$

$\begin{array}{l} = [\begin{matrix} 3 & 1 \\ - 2 & 0 \end{matrix}] \end{array} [\begin{matrix} 2^{k + 1} - 1 & 2^{k} - 1 \\ - 2^{k + 1} + 2 & - 2^{k} + 2 \end{matrix}]$

$\begin{array}{l} = \end{array} [\begin{matrix} 3 \times 2^{k + 1} - 3 - 2^{k + 1} + 2 & 3 \times 2^{k} - 3 - 2^{k} + 2 \\ - 2 \times 2^{k + 1} + 2 & - 2 \times 2^{k} + 2 \end{matrix}]$

$\begin{array}{l} = \end{array} [\begin{matrix} 2 \times 2^{k + 1} - 1 & 2 \times 2^{k} - 1 \\ - 2 \times 2^{k + 1} + 2 & - 2 \times 2^{k} + 2 \end{matrix}]$

$= [\begin{matrix} 2^{k + 2} - 1 & 2^{k + 1} - 1 \\ - 2^{k + 2} + 2 & - 2^{k + 1} + 2 \end{matrix}]$

تمرین

ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

$B = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$

چند ماتريس $x$ وجود دارد به‌طوری كه داشته باشیم:

$x^{2} = B$

فرض كنيم $x = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$ باشد.

$\begin{array}{l} x^{2} = B \\ \Rightarrow [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [\begin{matrix} a^{2} + b c & a b + b d \\ a c + c d & b c + d^{2} \end{matrix}] = \end{array} [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b c = 0 \\ b c + d^{2} = 0 \\ a b + b d = 0 \Rightarrow b (a + d) = 0 \Rightarrow b = 0, a + d = 0 \\ a c + c d = 1 \Rightarrow c (a + d) = 1 \end{cases}$

تساوی های زیر امکان ندارد.

$a + d = 0, c (a + d) = 1$

هيچ ماتريس $x$ ای وجود ندارد.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خاصیت ششم

ضرب درونی یا داخلی

اگر $R$ یک ماتریس سطری و $C$ یک ماتریس ستونی به‌صورت زیر باشد:

$R = {[\begin{matrix} r_{1} & r_{2} & r_{3} & ... & r_{n} \end{matrix}]}_{1 \times n}$

$C = {[\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ ⋮ \\ c_{n} \end{matrix}]}_{n \times 1}$

ضرب داخلی (درونی) به‌صورتی مشابه با آن‌چه که قبلا در بردارها بیان شده به صورت زیر تعریف می‌شود:

$R . C = {[\begin{matrix} r_{1} & r_{2} & r_{3} & ... & r_{n} \end{matrix}]}_{1 \times n} {[\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ ⋮ \\ c_{n} \end{matrix}]}_{n \times 1} = r_{1} c_{1} + r_{2} c_{2} + \dots + r_{n} c_{n} = \sum_{i = 1}^{n} r_{i} c_{i}$

توجه داشته باشید که ضرب درونی فقط وقتی تعریف می‌شود که $R$ شامل فقط یک سطر و $C$ فقط شامل یک ستون باشد و ضرب درونی آنها یک عدد است.

تمرین

ضرب درونی یا داخلی دو ماتریس زیر را بیابید.

$[\begin{matrix} 4 & 2 & 0 \end{matrix}] . {[\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix}]}_{1 \times 3}$

$= {[(4 \times 2) + (2 \times 3) + (0 \times (- 1))]}_{1 \times 1} = {[14]}_{1 \times 1} = 14$

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی تیر 1403

اگر $A = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 2 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}]$ باشد، مجموع درایه های $A^{2}$ چند برابر مجموع درایه های $A$ است؟

$12$
$8$
$6$
$4$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

کنکور ریاضی اردیبهشت 1403

اگر $A = [\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ - 2 & 1 & 1 \end{matrix}]$ باشد، سطر سوم ماتریس $A^{2}$ کدام است؟

$[\begin{matrix} - 10 & 1 & 5 \end{matrix}]$
$[\begin{matrix} - 10 & 1 & 7 \end{matrix}]$
$[\begin{matrix} 7 & 5 & - 5 \end{matrix}]$
$[\begin{matrix} 7 & 5 & - 2 \end{matrix}]$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

ضرب دو ماتریس

8,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

ماتریس

ضرب دو ماتریس

مقدمه‌ای بر ضرب دو ماتریس

ضرب ماتریس در ماتریس

خواص عمل ضرب ماتریس‌ ها

خاصیت اول

خاصیت دوم

خاصیت سوم

خاصیت چهارم

خاصیت پنجم

خاصیت ششم

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟