ماتریس تعویض‌ پذیر

آخرین ویرایش: 06 اسفند 1402

دسته‌بندی: ماتریس

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

اگر $A$ و $B$ دو ماتریس باشند، به‌طوری‌که داشته باشیم:

$A B = B A$

آن‌گاه می‌گوییم $A$ و $B$ تعویض پذیر هستند.

در این حالت لازم است هر دو ماتریس مربع و هم مرتبه باشند.

اکثر اتحادهای جبری در مورد هر دو ماتریس تعویض پذیر برقرار می‌باشند:

$\begin{array}{l} {(A + B)}^{n} = (\begin{array}{l} n \\ 0 \end{array}) A^{n} + (\begin{array}{l} n \\ 1 \end{array}) \overset{}{A^{n - 1} B} + ... + (\begin{array}{l} n \\ n \end{array}) B^{n} \end{array}$

${(A + B)}^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$

تمرین

آيا دو ماتريس زیر تعويض پذيرند؟

$A = [\begin{matrix} 5 & - 3 \\ 3 & 5 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 1 & - 4 \\ 4 & 1 \end{matrix}]$

اگر $A B = B A$ باشد، آن‌گاه $A$ و $B$ تعويض پذير هستند:

$\begin{array}{l} A B = [\begin{matrix} 5 & - 3 \\ 3 & 5 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & - 4 \\ 4 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 7 & - 23 \\ 23 & - 7 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} B A = [\begin{matrix} 1 & - 4 \\ 4 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 5 & - 3 \\ 3 & 5 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 7 & - 23 \\ 23 & - 7 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{matrix} A B = B A \end{matrix}$

$A$ و $B$ تعويض پذير هستند.

تمرین

ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

$[\begin{matrix} a & 0 \\ 0 & a \end{matrix}]$

ثابت كنيد هر ماتريس $2 \times 2$ به‌صورت ماتریس فوق، ماتريس تعويض پذير است.

اگر $[\begin{matrix} r & p \\ q & s \end{matrix}]$ هر ماتريس دل‌خواه $2 \times 2$ باشد، آن‌گاه:

$\begin{matrix} \begin{array}{l} [\begin{matrix} a & 0 \\ 0 & a \end{matrix}] [\begin{matrix} r & p \\ q & s \end{matrix}] = [\begin{matrix} a r & a p \\ a q & a s \end{matrix}] \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} [\begin{matrix} r & p \\ q & s \end{matrix}] [\begin{matrix} a & 0 \\ 0 & a \end{matrix}] = [\begin{matrix} a r & a p \\ a q & a s \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{matrix} [\begin{matrix} a & 0 \\ 0 & a \end{matrix}] [\begin{matrix} r & p \\ q & s \end{matrix}] = [\begin{matrix} r & p \\ q & s \end{matrix}] [\begin{matrix} a & 0 \\ 0 & a \end{matrix}] \end{matrix}$