سرفصل‌های این مبحث

ماتریس

جمع و تفریق دو ماتریس

آخرین ویرایش: 15 خرداد 1404

دسته‌بندی: ماتریس

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

یادآوری

خیلی خوش اومدی به یه گوشه کوچیکی از دنیای بزرگ ما!

برای دسترسی رایگان به ۱۲۶,۰۰۰ محتوای آموزشی در این سایت، فقط این ۳ تا قدم ساده رو بردار و از این اقیانوس عظیم اطلاعات لذت ببر

قدم اول) یه لحظه وقت بذار و رایگان تو سایت ثبت‌نام کن، کلی چیزای خوب منتظرته، پس معطل نکن

قدم دوم) یه سر به پیج اینستاگراممون بزن و فالو کن! اسم و فامیلِ شریفتو که باهاش تو سایت ثبت نام کردی رو تویه دایرکت برامون بفرست، منتظرت هستیم

قدم سوم) کار تمومه، حداکثر ۱۲ ساعت دیگه، می‌تونی به کل محتوای سایت دسترسی داشته باشی، پس آماده باش!

ما به قولمون پایبندیم!

اگه به هر دلیلی محتوایی که قول دادیم برات فعال نشد، راحت باش! می‌تونی خیلی ساده ما رو آنفالو کنی، بدون هیچ دردسری

بیا با هم یه جامعه‌ی بزرگ ریاضی بسازیم! توی یه بستر اجتماعی، عدالت آموزشی رو گسترش بدیم و دست دانش‌آموزای کم‌بضاعت رو بگیریم. با هم تأثیرگذار باشیم!

جمع و تفریق دو ماتریس:

برای جمع و تفریق دو ماتریس:

دو ماتریس باید هم مرتبه باشند.
عضوهای ماتریس را نظیر‌ به‌ نظیر با هم جمع و یا از هم کم می‌کنیم.

جمع دو ماتریس - پیمان گردلو

تفریق دو ماتریس - پیمان گردلو

به نمونه‌های زیر توجه کنید:

$\begin{array}{l} [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] + [\begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix}] = [\begin{matrix} a + e & b + f \\ c + g & d + h \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] - [\begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix}] = [\begin{matrix} a - e & b - f \\ c - g & d - h \end{matrix}] \end{array}$

$[\begin{matrix} 2 & 7 & 6 \\ - 1 & 4 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 6 & 4 & 1 \\ - 1 & 2 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 + (- 6) & 7 + 4 & 6 + 1 \\ - 1 + (- 1) & 4 + 2 & 3 + 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 4 & 11 & 7 \\ - 2 & 6 & 4 \end{matrix}]$

قرینه یک ماتریس

فرض کنید $A$ یک ماتریس $m \times n$ است.

قرینه $A$ ماتریسی است از همان مرتبه که با نماد $- A$ نشان می‌دهند و از ضرب $(- 1)$ در ماتریس $A$ به‌دست می‌آید.

$i f A = [a_{i j}] \Rightarrow - A = {[- a_{i j}]}_{m \times n}$

قرینه یک ماتریس - پیمان گردلو

واضح است که:

$A + (- A) = \bar{0}$

منظور از $\bar{0}$ همان ماتریس صفر است که مرتبه آن $m \times n$ می‌باشد و به‌صورت زیر نمایش می‌دهیم.

$\bar{0} = {[0]}_{m \times n}$

تمرین

قرینه هر یک از ماتریس های زیر را به‌دست آورید و سپس مجموع هر ماتریس را با قرینه اش به‌دست آورید.

$C = [\begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & - 1 \end{matrix}]$

$\begin{array}{l} - C = [\begin{matrix} - 2 & - 2 \\ - 1 & + 1 \end{matrix}] \end{array}$

$C + (- C) = [\begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & - 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 2 & - 2 \\ - 1 & + 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 + (- 2) & 2 + (- 2) \\ 1 + (- 1) & - 1 + 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$

$H = [\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 5 \\ - \frac{3}{2} \end{matrix}]$

$\begin{array}{l} - H = [\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ - 5 \\ + \frac{3}{2} \end{matrix}] \end{array}$

$H + (- H) = [\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 5 \\ - \frac{3}{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ - 5 \\ \frac{3}{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{1}{2} + (- \frac{1}{2}) \\ 5 + (- 5) \\ - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]$

$\begin{array}{l} A = [\begin{matrix} 7 & - 1 \\ 2 & 6 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{matrix} - A = [\begin{matrix} - 7 & + 1 \\ - 2 & - 6 \end{matrix}] \end{matrix}$

$A + (- A) = [\begin{matrix} 7 & - 1 \\ 2 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 7 & 1 \\ - 2 & - 6 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 7 + (- 7) & - 1 + 1 \\ 2 + (- 2) & 6 + (- 6) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$

$\begin{array}{l} [\begin{matrix} 1 & 4 & 2 \\ - 2 & 1 & 3 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{matrix} - B = [\begin{matrix} - 1 & - 4 & - 2 \\ + 2 & - 1 & - 3 \end{matrix}] \end{matrix}$

$B + (- B) = [\begin{matrix} 1 & 4 & 2 \\ - 2 & 1 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 1 & - 4 & - 2 \\ 2 & - 1 & - 3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 + (- 1) & 4 + (- 4) & 2 + (- 2) \\ - 2 + 2 & 1 + (- 1) & 3 + (- 3) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$

$\begin{array}{l} [\begin{matrix} 1 & 4 & 2 \\ - 2 & 1 & 3 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{matrix} - B = [\begin{matrix} - 1 & - 4 & - 2 \\ + 2 & - 1 & - 3 \end{matrix}] \end{matrix}$

$D = [\begin{matrix} 4 & 2 & 8 \end{matrix}]$

$\begin{matrix} - D = [\begin{matrix} - 4 & - 2 & - 8 \end{matrix}] \end{matrix}$

$D + (- D) = [\begin{matrix} 4 & 2 & 8 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 4 & - 2 & - 8 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 + (- 4) & 2 + (- 2) & 8 + (- 8) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$

تمرین

مرتبه‌ ماتریس‌ های $A$ و $B$ و درایه‌ های آنها را در معادله‌ های ماتریسی زیر پیدا کنید.

$[\begin{matrix} 5 & 8 \\ 8 & 5 \end{matrix}] + A = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$

$[\begin{matrix} 5 & 8 \\ 8 & 5 \end{matrix}] + A = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]; A_{2 \times 2}$

$\begin{array}{l} [\begin{matrix} 5 & 8 \\ 8 & 5 \end{matrix}] + A = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] \\ \Rightarrow A = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] - [\begin{matrix} 5 & 8 \\ 8 & 5 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = [\begin{matrix} 0 - 5 & 0 - 8 \\ 0 - 8 & 0 - 5 \end{matrix}] \\ \Rightarrow A = [\begin{matrix} - 5 & - 8 \\ - 8 & - 5 \end{matrix}] \end{array}$

$[\begin{matrix} 1 & 2 & - 1 \\ 3 & - 1 & 1 \end{matrix}] + B = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$

$[\begin{matrix} 1 & 2 & - 1 \\ 3 & - 1 & 1 \end{matrix}] + B = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]; B_{2 \times 3}$

$\begin{array}{l} [\begin{matrix} 1 & 2 & - 1 \\ 3 & - 1 & 1 \end{matrix}] + B = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \\ \Rightarrow B = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] - [\begin{matrix} 1 & 2 & - 1 \\ 3 & - 1 & 1 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B = [\begin{matrix} 0 - 1 & 0 - 2 & 0 - (- 1) \\ 0 - 3 & 0 - (- 1) & 0 - 1 \end{matrix}] \\ \Rightarrow B = [\begin{matrix} - 1 & - 2 & 1 \\ - 3 & 1 & - 1 \end{matrix}] \end{array}$

$B + [\begin{matrix} 2 & - 1 & 9 \\ 7 & 0 & \frac{1}{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$

$B + [\begin{matrix} 2 & - 1 & 9 \\ 7 & 0 & \frac{1}{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]; B_{2 \times 3}$

$\begin{array}{l} B + [\begin{matrix} 2 & - 1 & 9 \\ 7 & 0 & \frac{1}{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \\ \Rightarrow B = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] - [\begin{matrix} 2 & - 1 & 9 \\ 7 & 0 & \frac{1}{2} \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B = [\begin{matrix} 0 - 2 & 0 - (- 1) & 0 - 9 \\ 0 - 7 & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{2} \end{matrix}] \\ \Rightarrow B = [\begin{matrix} - 2 & 1 & - 9 \\ - 7 & 0 & - \frac{1}{2} \end{matrix}] \end{array}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$P = [\begin{matrix} 3 & 2 \\ 5 & - 1 \\ 4 & 0 \end{matrix}], Q = [\begin{matrix} 5 & 7 \\ - 6 & 4 \\ 2 & - 9 \end{matrix}]$

ماتریس $R$ را طوری بیابید که تساوی زیر برقرار باشد.

$P + Q + R = 0$

$\begin{array}{l} [\begin{matrix} 3 & 2 \\ 5 & - 1 \\ 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 5 & 7 \\ - 6 & 4 \\ 2 & - 9 \end{matrix}] + R = 0 \\ \Rightarrow R = - [\begin{matrix} 3 & 2 \\ 5 & - 1 \\ 4 & 0 \end{matrix}] - [\begin{matrix} 5 & 7 \\ - 6 & 4 \\ 2 & - 9 \end{matrix}] \\ \Rightarrow R = [\begin{matrix} - 3 & - 2 \\ - 5 & + 1 \\ - 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 5 & - 7 \\ + 6 & - 4 \\ - 2 & + 9 \end{matrix}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow R = [\begin{matrix} - 3 + (- 5) & - 2 + (- 7) \\ - 5 + 6 & 1 + (- 4) \\ - 4 + (- 2) & 0 + 9 \end{matrix}] \\ \Rightarrow R = [\begin{matrix} - 8 & - 9 \\ 1 & - 3 \\ - 6 & 9 \end{matrix}] \end{array}$

خواص مهم جمع ماتریس ‌ها

اگر $A$ و $B$ و $C$ ماتریس هایی هم مرتبه و از مرتبه $m \times n$ باشند، داریم:

خاصیت جابه‌جایی:

$A + B = B + A$

خاصیت شرکت پذیری:

$A + (B + C) = (A + B) + C$

خاصیت عضو خنثی عمل جمع:

$A + \bar{0} = \bar{0} + A = A$

خاصیت عضو قرینه:

$A + (- A) = (- A) + A = \bar{0}$

تمرین

ماتریس های زیر را در نظر بگیرید:

$A = [\begin{matrix} 2 & 5 \\ 0 & 1 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{matrix}], C = [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & 5 \end{matrix}]$

تساوی های زیر را ثابت کنید.

$\begin{array}{l} A + B = B + A \end{array}$

$\begin{matrix} A + B = [\begin{matrix} 2 & 5 \\ 0 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 + 3 & 5 + 1 \\ 0 + 2 & 1 + 5 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 & 6 \\ 2 & 6 \end{matrix}] \end{matrix}$

$\begin{matrix} B + A = [\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 2 & 5 \\ 0 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 3 + 2 & 1 + 5 \\ 2 + 0 & 5 + 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 & 6 \\ 2 & 6 \end{matrix}] \end{matrix}$

$A + B = B + A$

$(A + B) + C = A + (B + C)$

$\begin{matrix} (A + B) + C = ([\begin{matrix} 2 & 5 \\ 0 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{matrix}]) + [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & 5 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 & 6 \\ 2 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & 5 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 & 5 \\ 4 & 11 \end{matrix}] \end{matrix}$

$\begin{matrix} A + (B + C) = [\begin{matrix} 2 & 5 \\ 0 & 1 \end{matrix}] + ([\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & 5 \end{matrix}]) = [\begin{matrix} 2 & 5 \\ 0 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 4 & 0 \\ 4 & 10 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 & 5 \\ 4 & 11 \end{matrix}] \end{matrix}$