ماتریس

مقدمه

اطلاعات مربوط  به چهار تیم اول حاضر در یک سری مسابقات فوتبال که به‌صورت رفت و برگشتی انجام می‌شود، در جدول زیر آمده است:

اگر این اطلاعات را به شکل آرایشی از اعداد و در داخل دو کروشه محصور کنیم.

در این‌صورت یک ماتریس شامل چهار سطر و چهار ستون حاصل می‌شود و خواهیم داشت:

$\begin{array}{c}A\\ B\\ C\\ D\end{array}\left[\begin{array}{cccc}8& 6& 3& 5\\ 5& 4& 6& 6\\ 2& 7& 8& 8\\ 9& 1& 2& 2\end{array}\right]$

تعریف ماتریس $m\times n$

هر آرایش مستطیلی از اعداد حقیقی، شامل تعدادی سطر وستون، یک ماتریس نامیده می‌شود.

هر عدد حقیقی واقع در هر ماتریس را درایه آن ماتریس می‌نامیم.

برای هر درایه ماتریس و به منظور مشخص کردن جایگاه آن، دو اندیس در نظر می‌گیریم.

اندیسِ سمت چپ جای سطر و اندیسِ سمت راست، جای ستونِ آن درایه را مشخص می‌کند، $a_{ij}$ یعنی درایه سطر $i$ام و ستون $j$ام

$A={\left[\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1j}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2j}& & a_{2n}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮& \\ a_{i1}& a_{i2}& & a_{ij}& & a_{in}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮& \\ a_{m1}& a_{m2}& & a_{mj}& & a_{mn}\end{array}\right]}_{m\times n}$

1. درایه $a_{ij}$ را درایه عمومی ماتریس $A$ می‌گوییم و اندیس ها به‌صورت $\left\{\begin{array}{l}1\le i\le m\\ 1\le j\le n\end{array}\right.$ تغییر می‌کند.
2. همه درایه های ماتریس $A$ را می‌توان توسط درایه عمومی نمایش داد و ماتریسی که دارای $m$ سطر و $n$ ستون باشد را به‌صورت $A={\left[a_{ij}\right]}_{m\times n}$ نشان می‌دهیم.
3. اگر $m=n=1$ باشد، در این‌صورت ماتریس $A={\left[a\right]}_{1\times 1}$ را مساوی با عدد حقیقی $a$ تعریف می‌کنیم.
4. هرگاه در ماتریس، تعداد سطرها و ستون‌ها با یکدیگر مساوی باشند ماتریس را مربع نامیده و دارای قطر اصلی و قطر فرعی به‌صورت زیر است:

در ماتریس مربع $3\times 3$ زیر داریم:

$A={\left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ \\ a_{21}\\ \\ a_{31}\end{array}\begin{array}{c}\\ \searrow \\ \\ \nearrow \\ \end{array}\begin{array}{c}{a}_{12}\\ \\ a_{22}\\ \\ a_{32}\end{array}\begin{array}{c}\\ \nearrow \\ \\ \searrow \\ \end{array}\begin{array}{c}{a}_{13}\\ \\ a_{23}\\ \\ a_{33}\end{array}\right]}_{3\times 3}$

درایه های $a_{11}$ و $a_{22}$ و $a_{33}$ روی قطر اصلی ماتریس هستند و درایه های $a_{13}$ و $a_{22}$ و $a_{31}$ روی قطر فرعی ماتریس هستند.

• روی قطر اصلی $i=j$ است.
• پایین قطر اصلی $i>j$ است. 
• بالای قطر اصلی $i<j$ است.

ماتریس سطری

اگر ماتریس $A$ فقط از یک سطر تشکیل شده باشد (فقط دارای یک سطر باشد) آن را یک ماتریس سطری می‌نامیم.

ماتریس های زیر همگی ماتریس سطری هستند:

$\begin{array}{l}A={\left[3\right]}_{1\times 1}=3\end{array}$

$\begin{array}{l}B={\left[\begin{array}{cc}3& 4\end{array}\right]}_{1\times 2}\end{array}$

$C={\left[\begin{array}{cccc}4& -6& 1& 2\end{array}\right]}_{1\times 4}$

ماتریس ستونی

اگر ماتریس $A$ فقط از یک ستون تشکیل شده باشد (فقط دارای یک ستون باشد) آن را یک ماتریس ستونی می‌نامیم.

ماتریس های زیر همگی ماتریس ستونی هستند:

$\begin{array}{l}A={\left[3\right]}_{1\times 1}=3\end{array}$

$\begin{array}{l}B={\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]}_{2\times 1}\end{array}$

$C={\left[\begin{array}{l}4\\ 6\\ 1\\ 2\end{array}\right]}_{4\times 1}$