سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

معادله خطوط مماس و قائم در نقطه ای واقع برآن

آخرین ویرایش: 19 آبان 1403

دسته‌بندی: کاربرد مشتق

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

معادلات خطوط مماس و قائم بر منحنی

برای یافتن معادلات خطوط مماس و قائم بر منحنی در نقطه ای واقع برآن، سه مرحله زیر را به‌ترتیب انجام می‌دهیم:

معادله خطوط مماس و قائم - پیمان گردلو

مرحله اول

مختصات نقطه را از روی معادله منحنی تکمیل می‌کنیم. (اگر طول نقطه موجود باشد عرضش را یافته و برعکس)

مرحله دوم

یافتن ضریب زاویه خط مماس و قائم بر منحنی:

ضریب زاویه خط مماس بر منحنی را با استفاده از مشتق منحنی به‌ازای طول نقطه تماس، به‌دست می‌آوریم.
ضریب زاویه خط قائم بر منحنی را از روی ضریب زاویه خط مماس بر منحنی با قرینه و معکوس کردن آن محاسبه می‌کنیم.

مرحله سوم

با داشتن مختصات یک نقطه مانند $A (x_{A}, y_{A})$ و داشتن ضریب زاویه، معادلات خطوط مماس و قائم را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

معادله خط مماس

$y - y_{A} = m (x - x_{A})$

معادله خط قائم

$y - y_{A} = - \frac{1}{m} (x - x_{A})$

تمرین

ضريب زاويه خط مماس و قائم بر منحنی های زیر را در نقاط داده شده به‌دست آورید.

$f (x) = x + \frac{1}{x}; x = \frac{1}{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}; x = \frac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (\frac{1}{2}) = 1 - 4 \end{array}$

$\Rightarrow m_{m o m a s} = - 3$

$\Rightarrow m_{ghaem} = \frac{1}{3}$

$f (x) = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}; x = \frac{π}{12}$

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = \frac{\tan \frac{π}{4} + \tan x}{1 - \tan \frac{π}{4} . \tan x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = \tan (x + \frac{π}{4}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = 1 + \tan^{2} (x + \frac{π}{4}); x = \frac{π}{12} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (\frac{π}{12}) = 1 + \tan^{2} (\frac{π}{12} + \frac{π}{4}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (\frac{π}{12}) = 1 + \tan^{2} (\frac{π}{3}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (\frac{π}{12}) = 1 + {(\sqrt{3})}^{2} \end{array}$

$\Rightarrow m_{momas} = 4$

$\Rightarrow m_{ghaem} = - \frac{1}{4}$

تمرین

معادله خطوط مماس و قائم بر نمودار تابع زیر را در نقطه ای به طول $x = 1$ روی نمودار، به‌دست آورید.

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

یافتن مختصات کامل نقطه از روی معادله منحنی

$i f x_{A} = 1 \Rightarrow f (1) = \frac{1}{1 + {(1)}^{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow y_{A} = \frac{1}{2}; A (1, \frac{1}{2})$

یافتن ضریب زاویه خط مماس و قائم بر منحنی

$\begin{array}{l} i f f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{- 2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}; x_{A} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (1) = \frac{- 2 (1)}{{[1 + {(1)}^{2}]}^{2}} \\ \Rightarrow m_{m o m a s} = \frac{- 1}{2} \\ \Rightarrow m_{g h a e m} = 2 \end{array}$

معادلات خطوط مماس و قائم

$\begin{array}{l} y - y_{A} = m_{m o m a s} (x - x_{A}) \Rightarrow y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} (x - 1) \Rightarrow y = - \frac{1}{2} x + 1 \end{array}$

$y - y_{A} = m_{g h a e m} (x - x_{A}) \Rightarrow y - \frac{1}{2} = 2 (x - 1) \Rightarrow y = 2 x - \frac{3}{2}$

تمرین

معادله خطوط مماس و قائم بر نمودار تابع زیر را در نقطه ای به طول $x = - 1$ روی نمودار، به‌دست آورید.

$f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$

یافتن مختصات کامل نقطه از روی معادله منحنی

$i f x_{A} = - 1 \Rightarrow f (- 1) = \sqrt{4 - {(- 1)}^{2}} \Rightarrow y_{A} = \sqrt{3}; A (- 1, \sqrt{3})$

یافتن ضریب زاویه خط مماس بر منحنی

$\begin{array}{l} i f f (x) = \sqrt{4 - x^{2}} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{- x}{\sqrt{4 - x^{2}}}; x_{A} = - 1 \\ \Rightarrow f^{'} (- 1) = \frac{- (- 1)}{\sqrt{4 - {(- 1)}^{2}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} m_{m o m a s} = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ m_{g h a e m} = - \sqrt{3} \end{array}$

معادلات خطوط مماس و قائم

$\begin{array}{l} y - y_{A} = m_{m o m a s} (x - x_{A}) \Rightarrow y - \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} [x - (- 1)] \Rightarrow y = \frac{1}{\sqrt{3}} x + \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} \Rightarrow y = \frac{1}{\sqrt{3}} x + \frac{4}{\sqrt{3}} \end{array}$

$y - y_{A} = m_{g h a e m} (x - x_{A}) \Rightarrow y - \sqrt{3} = - \sqrt{3} [x - (- 1)] \Rightarrow y = - \sqrt{3} x - \sqrt{3} + \sqrt{3} \Rightarrow y = - \sqrt{3} x$

تمرین

معادله خطوط مماس و قائم بر نمودار تابع زیر را در نقطه ای به طول $x = 2 a$ روی نمودار، به‌دست آورید.

$f (x) = \frac{8 a^{3}}{4 a^{2} + x^{2}}$

یافتن مختصات کامل نقطه از روی معادله منحنی:

$i f x_{A} = 2 a \Rightarrow y_{A} = \frac{8 a^{3}}{4 a^{2} + {(2 a)}^{2}} \Rightarrow y_{A} = a; A (2 a, a)$

یافتن ضریب زاویه خط مماس و قائم بر منحنی:

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{8 a^{3}}{4 a^{2} + x^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{- 2 x \times 8 a^{3}}{{(4 a^{2} + x^{2})}^{2}}; x_{A} = 2 a \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m_{momas} = \frac{- 2 \times 2 a \times 8 a^{3}}{{(4 a^{2} + 4 a^{2})}^{2}} \end{array}$

$\Rightarrow m_{momas} = - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow m_{ghaem} = 2$

معادلات خطوط مماس و قائم:

$\begin{array}{l} y - y_{A} = m_{momas} (x - x_{A}) \Rightarrow y - a = - \frac{1}{2} (x - 2 a) \Rightarrow y = - \frac{1}{2} x + 2 a \end{array}$

$y - y_{A} = m_{ghaem} (x - x_{A}) \Rightarrow y - a = 2 (x - 2 a) \Rightarrow y = 2 x - 3 a$

تمرین

معادله خطوط مماس و قائم بر نمودار تابع زیر را در نقطه ای به طول $x = 0$ روی نمودار، به‌دست آورید.

$f (x) = x \sqrt[3]{x - 2}$

یافتن مختصات کامل نقطه از روی معادله منحنی

$i f x_{A} = 0 \Rightarrow y_{A} = (0) \sqrt[3]{0 - 2} = 0; A (0, 0)$

یافتن ضریب زاویه خط مماس و قائم بر منحنی

$\begin{array}{l} f (x) = x \sqrt[3]{x - 2} \\ \Rightarrow f (x) = x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = 1 \times {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \times x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3} x {(x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3} \frac{x}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}; x_{A} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (0) = {(0 - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3} \frac{0}{{(0 - 2)}^{\frac{2}{3}}} \\ \Rightarrow f^{'} (0) = {(- 2)}^{\frac{1}{3}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m_{m o m a s} = - \sqrt[3]{2} \\ \Rightarrow m_{g h a e m} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \end{array}$

معادلات خطوط مماس و قائم

$\begin{array}{l} y - y_{A} = m_{m o m a s} (x - x_{A}) \Rightarrow y - 0 = - \sqrt[3]{2} (x - 0) \Rightarrow y = - \sqrt[3]{2} x \end{array}$

$y - y_{A} = m_{g h a e m} (x - x_{A}) \Rightarrow y - 0 = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} (x - 0) \Rightarrow y = \frac{\sqrt[3]{4}}{2} x$

تمرین

معادله خطوط مماس و قائم بر نمودار تابع زیر را در نقطه ای به طول $x = 1$ روی نمودار، به‌دست آورید.

$y = \frac{2}{x}$

یافتن مختصات کامل نقطه از روی معادله منحنی

$i f x_{A} = 1 \Rightarrow y_{A} = \frac{2}{1} = 2; A (1, 2)$

یافتن ضریب زاویه خط مماس و قائم بر منحنی

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{2}{x} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{- 2}{x^{2}}; x_{A} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (1) = \frac{- 2}{1} \\ \Rightarrow m_{m o m a s} = - 2 \\ \Rightarrow m_{g h a e m} = \frac{1}{2} \end{array}$

معادلات خطوط مماس و قائم

$y - y_{A} = m_{m o m a s} (x - x_{A}) \Rightarrow y - 2 = - 2 (x - 1) \Rightarrow y - 2 = - 2 x + 2 \Rightarrow y = - 2 x + 4$

$y - y_{A} = m_{g h a e m} (x - x_{A}) \Rightarrow y - 2 = \frac{1}{2} (x - 1) \Rightarrow 2 y - 4 = x - 1 \Rightarrow 2 y - x = 3$

تمرین

از مبدا مختصات به نقاط مختلف نمودار تابع زیر، خط رسم می‌کنیم.

$f (x) = x^{2} + 1$

نقاطی را پیدا کنید که خطوط رسم شده بر نمودار این تابع مماس شود.

ابتدا معادله‌ خط $d$ را محاسبه می‌کنیم.

فرض می‌کنیم $x_{A} = α$ طول نقطه‌ تماس خط گذرنده $d$ از $O (0, 0)$ بر منحنی باشد.

معادله‌ خط مماس بر منحنی در نقطه $A (α, f (α))$ واقع بر منحنی به‌صورت زیر است:

$y - f (α) = f^{'} (α) (x - α)$

در فرمول فوق $f (α)$ و $f' (α)$ را محاسبه می‌کنیم:

$f (x) = x^{2} + 1; \{\begin{cases} f (α) = {(α)}^{2} + 1 = α^{2} + 1 \\ f^{'} (x) = 2 x \Rightarrow f^{'} (α) = 2 α \end{cases}$

$\begin{array}{l} y - f (α) = f^{'} (α) (x - α) \\ \Rightarrow y - (α^{2} + 1) = (2 α) (x - α) \end{array}$

نقطه‌ $O (0, 0)$ در معادله‌ فوق صادق است:

$\begin{array}{l} \Rightarrow 0 - (α^{2} + 1) = (2 α) (0 - α) \\ \Rightarrow - α^{2} - 1 = - 2 α^{2} \\ \Rightarrow α^{2} = 1 \\ \Rightarrow α = \pm 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f α = 1 \Rightarrow f (α) = f (1) = {(1)}^{2} + 1 = 2; A (1, 2) \end{array}$

$i f α = - 1 \Rightarrow f (α) = f (- 1) = {(- 1)}^{2} + 1 = 2; B (- 1, 2)$

از مبدا مختصات دو خط رسم شده است که در نقاط به‌طول های $x_{B} = - 1, x_{A} = 1$ بر منحنی مماس است.

تمرین

سهمی زیر را در نظر بگیرید:

$f (x) = x^{2}$

نقطه ای در صفحه پیدا کنید که از آن نقطه دو خط مماس بر سهمی بتوان رسم کرد و این خط ها برهم عمود باشند.

می‌خواهیم نقطه‌ ای مانند $A$ در صفحه بیابیم که اگر از این نقطه دو خط مماس بر سهمی رسم کردیم، خطوط $d', d$ برهم عمود باشند.

شرط عمود بودن دو خط $d', d$ :

$\begin{array}{l} m \times m^{'} = - 1 \\ \Rightarrow f^{'} (α) . f^{'} (β) = - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (2 α) . (2 β) = - 1 \\ \Rightarrow 4 α β = - 1 \\ \Rightarrow α β = - \frac{1}{4} \end{array}$

معادله‌ خطوط مماس $d', d$ را به‌ترتیب در نقاط $C$ و $D$ می‌نویسیم:

$\begin{array}{l} d : y - α^{2} = f^{'} (α) (x - α) \Rightarrow y - α^{2} = (2 α) (x - α) \Rightarrow y = 2 α x - α^{2} \end{array}$

$d^{'} : y - β^{2} = f^{'} (β) (x - β) \Rightarrow y - β^{2} = (2 β) (x - β) \Rightarrow y = 2 β x - β^{2}$

طول نقطه‌ تقاطع دو خط $d', d$ را به‌دست می‌آوریم:

$\{\begin{cases} y = 2 α x - α^{2} \\ y = 2 β x - β^{2} \end{cases}$

برای این کار معادلات دو خط را مساوی هم قرار می‌دهیم:

$\begin{array}{l} 2 α x - α^{2} = 2 β x - β^{2} \\ \Rightarrow 2 α x - 2 β x = α^{2} - β^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 x (α - β) = (α - β) (α + β) \\ \Rightarrow x = \frac{α + β}{2} \end{array}$

عرض نقطه تقاطع دو خط $d', d$ را به‌دست می‌آوریم:

$y = 2 α x - α^{2} = 2 α (\frac{α + β}{2}) - α^{2} = α^{2} + α β - α^{2} = α β = - \frac{1}{4}$

عرض نقاط تقاطع خطوط عمود $d', d$ ثابت است.

بنابراین مکان این نقاط روی خط زیر قرار دارد.

$y = - \frac{1}{4}$

می‌خواهیم ثابت کنیم تمام نقاط روی خط فوق، جواب مساله است.

طول نقاط برخورد دو خط عمود به‌صورت زیر است:

$\{\begin{cases} α β = - \frac{1}{4} \Rightarrow β = - \frac{1}{4 α} \\ x = \frac{1}{2} (α + β) = \frac{1}{2} (α - \frac{1}{4 α}) \end{cases}$

تساوی زیر را در نظر بگیرید:

$x = \frac{1}{2} (α - \frac{1}{4 α})$

به‌ازای هر مقدار $x$ در تساوی فوق، معادله برحسب $α$ از درجه دوم است و دلتای آن مثبت و جواب دارد.

هر نقطه‌ ای روی خط $y = - \frac{1}{4}$ محل برخورد دو خط مماس عمود برهم است و مساله بی ‌نهایت جواب دارد.

تمرین

خط $d$ موازی محور $x$ ها، قرینه سهمی $y = x^{2} + 1$ نسبت به محور $x$ ها را در دو نقطه قطع می‌کند و مماس های رسم شده در این نقاط برهم عمودند.

فاصله خط $d$ از مبدا مختصات را محاسبه کنید؟

خط $d$ مفروض است:

$d : y = k$

قرینه سهمی $y = x^{2} + 1$ نسبت به محور $x$ ها به‌صورت زیر است.

$y = - x^{2} - 1$

برای دریافت اطلاعات بیشتر، به این لینک مراجعه کنید.

چون خط و منحنی همدیگر را در دو نقطه قطع می‌کنند، برای یافتن طول نقاط تقاط، ریشه های معادله تقاط زیر را به‌دست می‌آوریم:

$\{\begin{array}{l} y = k \\ y = - x^{2} - 1 \end{array}〉 - x^{2} - 1 = k \Rightarrow x^{2} = - k - 1 \Rightarrow x = \pm \sqrt{- k - 1}$

برای دریافت اطلاعات بیشتر در خصوص یافتن طول نقاط تقاطع، به این لینک مراجعه کنید.

مماس های رسم شده در این نقاط برهم عمودند، یعنی حاصل ضرب شیب های خط مماس برابر $(- 1)$ است:

$\begin{array}{l} y = - x^{2} - 1 \Rightarrow y^{'} = - 2 x \\ y^{'} (x_{1}) \times y^{'} (x_{2}) = - 1 \end{array}$

$\Rightarrow [- 2 (\sqrt{- k - 1})] \times [- 2 (- \sqrt{- k - 1})] = - 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [- 2 (\sqrt{- k - 1})] \times (2 \sqrt{- k - 1}) = - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 4 (- k - 1) = - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - k - 1 = \frac{1}{4} \\ \Rightarrow k = - \frac{5}{4} \end{array}$

فاصله خط $d$ از مبدا مختصات با علامت مثبت (فاصله منفی نمی‌باشد) برابر است با:

$y = k = |- \frac{5}{4}| = 1 / 25$

تمرین

خط مماس در هر نقطه به‌طول $α$ روی تابع زیر به‌غير از نقطه تماس، در چند نقطه ديگر نمودار را قطع می‌كند؟

$f (x) = x^{3}$

ابتدا معادله خط مماس در نقطه $x = α$ را بر تابع فوق به‌دست می‌آوريم.

یافتن مختصات کامل نقطه از روی معادله منحنی:

$i f x_{A} = α \Rightarrow y_{A} = α^{3}; A (α, α^{3})$

یافتن ضریب زاویه خط مماس و قائم بر منحنی:

$\begin{array}{l} f (x) = x^{3} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = 3 x^{2}; x_{A} = α \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (α) = 3 α^{2} \\ \Rightarrow m_{m o m a s} = 3 α^{2} \end{array}$

معادلات خطوط مماس و قائم:

$\begin{array}{l} y - y_{A} = m_{m o m a s} (x - x_{A}) \\ \Rightarrow y - α^{3} = 3 α^{2} (x - α) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y = 3 α^{2} x - 3 α^{3} + α^{3} \\ \Rightarrow y = 3 α^{2} x - 2 α^{3} \end{array}$

اگر معادله مماس به‌غير از نقطه $x = α$ منحنی را قطع كند، بايستی معادله تقاطع آنها ريشه ساده داشته باشد:

$\{\begin{cases} y = 3 α^{2} x - 2 α^{3} \\ y = x^{3} \end{cases}$

$\begin{array}{l} x^{3} = 3 α^{2} x - 2 α^{3} \\ \Rightarrow x^{3} - 3 x α^{2} + 2 α^{3} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{3} - x α^{2} - 2 x α^{2} + 2 α^{3} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x (x^{2} - α^{2}) - 2 α^{2} (x - α) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x (x + α) (x - α) - 2 α^{2} (x - α) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - α) (x^{2} + α x - 2 α^{2}) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - α) (x^{2} + α x - α^{2} - α^{2}) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - α) [(x^{2} - α^{2}) + (α x - α^{2})] = 0 \end{array}$

$\begin{matrix} \Rightarrow (x - α) [(x + α) (x - α) + α (x - α)] = 0 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - α) (x - α) [(x + α) + α] = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x - α)}^{2} (x + 2 α) = 0 \\ \Rightarrow x + 2 α = 0 \\ \Rightarrow x = - 2 α \end{array}$

طول نقطه تقاطع فقط $x = - 2 α$ است.

خط مماس در $x = α$ نقاط ديگر منحنی را فقط در يک نقطه به‌طول $x = - 2 α$ قطع می‌كند.

تمرین

اگر $f$ تابعی مشتق پذير باشد، آن‌گاه معادله زیر همواره ريشه مضاعف دارد.

$g (x) = f (x) - f^{'} (a) (x - a) - f (a)$

توصيف هندسی آن چيست؟

$\begin{array}{l} g (x) = f (x) - f^{'} (a) (x - a) - f (a) \Rightarrow g (a) = f (a) - f (a) \Rightarrow g (a) = 0 \end{array}$

$g^{'} (x) = f^{'} (x) - f^{'} (a) \Rightarrow g^{'} (a) = f^{'} (a) - f^{'} (a) \Rightarrow g^{'} (a) = 0$

نتیجه آن‌که، تساوی زیر برقرار است:

$g (a) = g^{'} (a) = 0$

معادله $g (x)$ دارای ريشه مضاعف $x = a$ است.

$\begin{array}{l} g (x) = f (x) - f^{'} (a) (x - a) - f (a); g (x) = 0 \end{array}$

$\begin{matrix} \Rightarrow 0 = f (x) - f^{'} (a) (x - a) - f (a); y = f (x) \end{matrix}$

$\Rightarrow y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$

معادله فوق، معادله مماس بر تابع $y = f (x)$ در نقطه $x = a$ می‌باشد.

تمرین

یک تانک دشمن در صفحه مختصات روی منحنی زیر حرکت می‌کند.

$f (x) = x^{2} - x$

یک بسیجی با (آر-پی- جی-7) در نقطه ای به مختصات $(4, 8)$ منتظر شکار تانک است.

زمان مطلوب وقتی است که مسیر گلوله، خط راستی مماس بر منحنی $f$ باشد.

نقطه مطلوب مسیر تانک را تعیین کنید.

یافتن مختصات کامل نقطه از روی معادله منحنی:

$i f x_{M} = a \Rightarrow y_{M} = a^{2} - a; M (a, a^{2} - a)$

فرض می‌کنیم $M (a, a^{2} - a)$ نقطه مطلوب باشد.

یافتن ضریب زاویه خط مماس و قائم بر منحنی:

$\begin{array}{l} f (x) = x^{2} - x \\ \Rightarrow f^{'} (x) = 2 x - 1; x_{M} = a \\ \Rightarrow m_{m o m a s} = 2 a - 1 \end{array}$

معادله خط مماس بر منحنی را در نقطه به‌دست می‌آوریم:

$\begin{array}{l} y - y_{M} = m_{m o m a s} (x - x_{M}) \\ \Rightarrow y - (a^{2} - a) = (2 a - 1) (x - a) \end{array}$

خط مماس از نقطه $(4, 6)$ می‌گذرد:

$\begin{array}{l} \Rightarrow 8 - a^{2} + a = (2 a - 1) (4 - a) \\ \Rightarrow 8 - a^{2} + a = 8 a - 2 a^{2} - 4 + a \\ \Rightarrow a^{2} - 8 a + 12 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (a - 2) (a - 6) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ a = 6 \end{cases}〉 \{\begin{cases} M (2, 2) \\ M (2, 34) \otimes \end{cases} \end{array}$

مسیر موشک در نقطه $(2, 2)$ بر مسیر تانک مماس است.

نکته

اگر تابع $y = f (x)$ در نقطه $x = x_{A}$ پیوسته باشد و ضریب زاویه خط مماس در حالت خاصی به یکی از دو صورت زیر باشد، داریم:

$i f f^{'} (x_{A}) = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} m = 0 \Rightarrow y = y_{A} \\ - \frac{1}{m} = \pm \infty \Rightarrow x = x_{A} \end{cases}$

$y = y_{A}$ معادله خط مماس و $x = x_{A}$ معادله خط قائم می‌باشد.

$i f f^{'} (x_{A}) = \pm \infty \Rightarrow \{\begin{cases} m = \pm \infty \Rightarrow x = x_{A} \\ - \frac{1}{m} = 0 \Rightarrow y = y_{A} \end{cases}$

$x = x_{A}$ معادله خط مماس و $y = y_{A}$ معادله خط قائم می‌باشد.

تمرین

معادله خطوط مماس و قائم بر نمودار تابع زیر را در نقطه ای به طول $x = 2$ روی نمودار، به‌دست آورید.

$f (x) = x \sqrt[3]{x - 2}$

یافتن مختصات کامل نقطه از روی معادله منحنی

$i f x_{A} = 2 \Rightarrow y_{A} = (2) \sqrt[3]{2 - 2} = 0; A (2, 0)$

یافتن ضریب زاویه خط مماس و قائم بر منحنی

$\begin{matrix} \begin{array}{l} f (x) = x \sqrt[3]{x - 2} \end{array} \end{matrix}$

$\Rightarrow f^{'} (x) = {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3} \frac{x}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}; x_{A} = 2$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (2) = {(2 - 2)}^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3} \frac{2}{{(2 - 2)}^{\frac{2}{3}}} \\ \Rightarrow m_{m o m a s} = + \infty \\ \Rightarrow m_{g h a e m} = 0 \end{array}$

معادلات خطوط مماس و قائم

$\begin{array}{l} y - y_{A} = m_{m o m a s} (x - x_{A}) \Rightarrow y - 0 = (+ \infty) (x - 2) \Rightarrow + \infty = \frac{y}{x - 2} \Rightarrow x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \end{array}$

$y - y_{A} = m_{g h a e m} (x - x_{A}) \Rightarrow y - 0 = (0) (x - 2) \Rightarrow y = 0$

یادآوری

فرمول مشتق توابع را در زیر یادآوری می‌کنیم:

$\begin{array}{l} {(k)}^{'} = 0 \\ {(x^{n})}^{'} = n x^{n - 1} \\ {(u^{n})}^{'} = n u^{n - 1} . u^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(u + v - w)}^{'} = u^{'} + v^{'} - w^{'} \\ {(u . v)}^{'} = u^{'} . v + v^{'} u \\ {(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - v^{'} u}{v^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(\sqrt{u})}^{'} = \frac{u^{'}}{2 \sqrt{u}} \\ {(\sqrt[m]{u^{p}})}^{'} = \frac{p u^{'}}{m \sqrt[m]{u^{m - p}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(\sin u)}^{'} = u^{'} \cos u \\ {(co u)}^{'} = - u^{'} \sin u \\ {(\tan u)}^{'} = u^{'} (1 + \tan^{2} u) \\ {(\cot g u)}^{'} = - u^{'} (1 + \cot g^{2} u) \end{array}$

$\begin{array}{l} {(\sin^{m} u)}^{'} = m u^{'} \cos u . \sin^{m - 1} u \\ {(\cos^{m} u)}^{'} = - m u^{'} \sin u . \cos^{m - 1} u \\ {(\tan^{m} u)}^{'} = m u^{'} . (1 + \tan^{2} u) . \tan^{m - 1} u \\ {(\cot^{m} u)}^{'} = - m u^{'} . (1 + \cot^{2} u) . \cot^{m - 1} u \end{array}$

$\begin{array}{l} {(\sec u)}^{'} = u^{'} \sec u . \tan u \\ {(\csc u)}^{'} = - u^{'} \csc u . \cot u \\ {(A r c \sin u)}^{'} = \frac{u^{'}}{\sqrt{1 - u^{2}}}; |u| < 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} {(A r c \cos u)}^{'} = \frac{- u^{'}}{\sqrt{1 - u^{2}}}; |u| < 1 \\ {(A r c \tan u)}^{'} = \frac{u^{'}}{1 + u^{2}}; u \in R \\ {(A r c \cot u)}^{'} = \frac{- u^{'}}{1 + u^{2}}; u \in R \end{array}$

$\begin{array}{l} {(|u|)}^{'} = \frac{u^{'} \cdot u}{|u|} \\ {(\ln u)}^{'} = \frac{u^{'}}{u} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(\log_{a} u)}^{'} = \frac{u^{'}}{u} . \log_{a} e \\ {(e^{u})}^{'} = u^{'} . e^{u} \\ {(a^{u})}^{'} = u^{'} . a^{u} . \ln a \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

برای توابعی که عمل مشتق گیری پیچیده است، بهتر است برای یافتن ضریب زاویه خط مماس، از تعریف مشتق به صورت های زیر استفاده کنیم:

$\begin{array}{l} m = f^{'} (x_{A}) = \lim_{x \to x_{A}} \frac{f (x) - f (x_{A})}{x - x_{A}} \\ m = f^{'} (x_{A}) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x_{A} + h) - f (x_{A})}{h} \end{array}$

تمرین

معادلات خطوط مماس و قائم بر توابع زیر را در نقاط بیان شده، بیابید.

$f (x) = x \sqrt[3]{x - 8}; x = 0$

یافتن مختصات کامل نقطه از روی معادله منحنی:

$i f x_{A} = 0 \Rightarrow y_{A} = (0) \sqrt[3]{0 - 8} = 0; A (0, 0)$

یافتن ضریب زاویه خط مماس و قائم بر منحنی:

$\begin{array}{l} m_{m o m a s} = f^{'} (0) \\ \Rightarrow m_{m o m a s} = \lim_{x \to 0} \frac{x \sqrt[3]{x - 8} - 0}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m_{m o m a s} = \lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x - 8} \\ \Rightarrow m_{m o m a s} = - 2 \\ \Rightarrow m_{g h a e m} = \frac{1}{2} \end{array}$

معادلات خطوط مماس و قائم

$\begin{array}{l} y - y_{A} = m_{m o m a s} (x - x_{A}) \Rightarrow y - 0 = - 2 (x - 0) \Rightarrow y = - 2 x \end{array}$

$y - y_{A} = m_{g h a e m} (x - x_{A}) \Rightarrow y - 0 = \frac{1}{2} (x - 0) \Rightarrow y = \frac{1}{2} x$

$f (x) = (x - 1) \sqrt[3]{2 - x}; x - 2$

یافتن مختصات کامل نقطه از روی معادله منحنی:

$i f x_{A} = 2 \Rightarrow y_{A} = (2 - 1) \sqrt[3]{2 - 2} = 0; A (2, 0)$

یافتن ضریب زاویه خط مماس و قائم بر منحنی:

$\begin{array}{l} m_{m o m a s} = f^{'} (2) \\ \Rightarrow m_{m o m a s} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 1) \sqrt[3]{2 - x} - 0}{x - 2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m_{m o m a s} = \lim_{x \to 2} (x - 1) \sqrt[3]{\frac{2 - x}{{(x - 2)}^{3}}} \\ \Rightarrow m_{m o m a s} = \lim_{x \to 2} (1 - x) \frac{1}{\sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}} \\ \Rightarrow m_{m o m a s} = - \infty \\ \Rightarrow m_{g h a e m} = 0 \end{array}$

معادلات خطوط مماس و قائم:

$\begin{array}{l} y - y_{A} = m_{m o m a s} (x - x_{A}) \Rightarrow y - 1 = \end{array} (- \infty) (x - 2) \Rightarrow - \infty = \frac{y - 1}{x - 2} \Rightarrow x = 2$

$\begin{array}{l} y - y_{A} = m_{g h a e m} (x - x_{A}) \Rightarrow y - 1 = \end{array} (0) (x - 2) \Rightarrow y = 1$

تمرین

معادله مماس بر نمودار تابع با ضابطه زیر را در نقطه $x = 1$ بنویسید.

$f (x) = \sqrt[3]{x^{3} - x}$

$\begin{array}{l} 1) i f x_{A} = 1 \Rightarrow y_{A} = 0; A (1, 0) \end{array}$

$\begin{array}{l} 2) m = f^{'} (1) \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to 1} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^{3} - x} - 0}{x - 1} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to 1} \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} - 1)}{{(x - 1)}^{3}}} \\ \Rightarrow m = + \infty \end{array}$

تمرین

معادله مماس بر نمودار تابع با ضابطه زیر را در نقطه $x = 1$ بنویسید.

$f (x) = \{\begin{cases} 2 x - 2; x < 1 \\ 0; x = 1 \\ x - \frac{1}{x}; x > 1 \end{cases}$

$i f x_{A} = 1 \Rightarrow y_{A} = 0; A (1, 0)$

$f^{'} (x) = \{\begin{cases} 2; x < 1 \\ 1 + \frac{1}{x^{2}}; x > 1 \end{cases}〉 \{\begin{array}{l} {f^{'}}_{+} (1) = \lim_{x \to 1^{+}} f^{'} (x) = 2 \\ {f^{'}}_{-} (1) = \lim_{x \to 1^{-}} f^{'} (x) = 2 \end{array}〉 {f^{'}}_{+} (1) = {f^{'}}_{-} (1) = 2 \Rightarrow m_{momas} = f^{'} (1) = 2$

$y - y_{A} = m_{momas} (x - x_{A}) \Rightarrow y - 0 = 2 (x - 1) \Rightarrow y = 2 x - 2$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

معادلات خطوط مماس و خط قائم بر منحنی تابع معکوس

اگر $A (x_{A}, y_{A}) \in f$ آنگاه $A^{'} (y_{A}, x_{A}) \in f^{- 1}$ و با شرط وجود مشتق،‌ داریم:

شیب مماس بر تابع معکوس در نقطه ای به طول $y_{A}$ روی تابع معکوس، برابر با عکس شیب مماس بر تابع در نقطه ای به طول $x_{A}$ روی تابع می‌باشد.

$m_{f^{- 1}} : {(f^{- 1})}^{'} (y_{A}) = \frac{1}{f^{'} (x_{A})}$

شیب قائم بر تابع معکوس در نقطه ای به طول $y_{A}$ روی تابع معکوس، برابر با قرینه شیب مماس بر تابع در نقطه ای به طول $x_{A}$ روی تابع می‌باشد.

$- \frac{1}{m_{f^{- 1}}} : \frac{- 1}{{(f^{- 1})}^{'} (y_{A})} = - f^{'} (x_{A})$

تذکر

مشتق در نقطه ای به طول $y_{A}$ روی تابع معکوس، عکس مشتق خود تابع در نقطه ای به طول $x_{A}$ روی تابع است.

تمرین

ضريب زاويه خط قائم بر تابع معكوس تابع با ضابطه زیر را در نقطه ای به طول $π$ روی تابع معكوس را بیابید.

$f (x) = x + \sin x$

$\begin{array}{l} 1) i f A^{'} |\begin{array}{l} π \end{array} \in f^{- 1} \Rightarrow A |\begin{array}{l} π \end{array} \in f \\ i f y_{A} = π \Rightarrow π = x + \sin x \Rightarrow x_{A} = π \Rightarrow A |\begin{array}{l} π \\ π \end{array} \in f \Rightarrow A^{'} |\begin{array}{l} π \\ π \end{array} \in f^{- 1} \end{array}$

$(2$ شیب مماس در $f^{- 1}$ :

$\begin{array}{l} {(f^{- 1})}^{'} (y_{A}) = \frac{1}{f^{'} (x_{A})} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(f^{- 1})}^{'} (π) = \frac{1}{f^{'} (π)}; f^{'} (x) = 1 + \cos x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(f^{- 1})}^{'} (π) = \frac{1}{1 + \cos π} \\ \Rightarrow {(f^{- 1})}^{'} (π) = \frac{1}{0} \\ \Rightarrow {(f^{- 1})}^{'} (π) = \infty \end{array}$

شیب قائم در $f^{- 1}$ برابر است با $\frac{- 1}{\infty} = 0$ .

تمرین

تابع با ضابطه زیر مفروض است:

$f (x) = \frac{x}{x - 4}$

معادله خط مماس بر نمودار $f^{- 1}$ را در نقطه $(- 3, 3)$ واقع بر $f^{- 1}$ به‌دست آوريد.

$1) A^{'} (- 3, 3) \Rightarrow A (3, - 3)$

$(2$ محاسبه شیب مماس در $f^{- 1}$ :

$\begin{array}{l} {(f^{- 1})}^{'} (y_{A}) = \frac{1}{f^{'} (x_{A})} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(f^{- 1})}^{'} (- 3) = \frac{1}{f^{'} (3)}; f^{'} (x) = \frac{- 4}{{(x - 4)}^{2}} \end{array}$

$\Rightarrow {(f^{- 1})}^{'} (- 3) = \frac{1}{\frac{- 4}{{(3 - 4)}^{2}}}$

$\Rightarrow {(f^{- 1})}^{'} (- 3) = - \frac{1}{4}$

$(3$ معادله خط مماس بر نمودار $f^{- 1}$ :

$y - y_{A^{'}} = m (x - x_{A^{'}}) \Rightarrow y - 3 = - \frac{1}{4} (x + 3)$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

معادلات مماس چپ و مماس راست

فرض کنید $A (x_{A}, y_{A})$ نقطه ای از نمودار منحنی تابع $y = f (x)$ باشد:

1- اگر در نقطه $A$ ، تابع $y = f (x)$ مشتق راست داشته باشد، می‌گوئیم $f$ در این نقطه، مماس راست دارد و معادله آن عبارت است از:

$y - y_{A} = {f^{'}}_{+} (x_{A}) (x - x_{A})$

2- اگر در نقطه $A$ ، تابع $y = f (x)$ مشتق چپ داشته باشد، می‌گوئیم $f$ در این نقطه، مماس چپ دارد و معادله آن عبارت است از:

$y - y_{A} = {f^{'}}_{-} (x_{A}) (x - x_{A})$

نکته

گاهی به مماس چپ و راست به ترتیب نیم مماس چپ و نیم مماس راست گفته می‌شود، مانند $y = |x|$ .

تمرین

مماس های راست و چپ بر توابع زیر را در نقاط بیان شده، به‌دست آوريد.

$f (x) = \sqrt[3]{x}; x = 0$

$i f x_{A} = 0 \Rightarrow y_{A} = \sqrt[3]{0} = 0; A (0, 0)$

$f^{'} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x} - 0}{x} = \lim_{x \to 0} \sqrt[3]{\frac{x}{x^{3}}} = \lim_{x \to 0} \sqrt[3]{\frac{1}{x^{2}}} = \sqrt[3]{\frac{1}{{(0)}^{2}}} = + \infty \Rightarrow \{\begin{cases} {f^{'}}_{+} (0) = + \infty \\ {f^{'}}_{-} (0) = + \infty \end{cases}$

مماس راست و چپ:

$\begin{array}{l} y - y_{A} = {f^{'}}_{+} (x_{A}) (x - x_{A}) \Rightarrow y - 0 = {f^{'}}_{+} (0) (x - 0) \Rightarrow x = 0 \end{array}$

$y - y_{A} = {f^{'}}_{-} (x_{A}) (x - x_{A}) \Rightarrow y - 0 = {f^{'}}_{-} (0) (x - 0) \Rightarrow x = 0$

$f (x) = |x^{2} - 1|; x = 1$

$f (x) = |x^{2} - 1| = \{\begin{cases} x^{2} - 1 x \geq 1 \lor x \leq - 1 \\ 1 - x^{2} - 1 < x < 1 \end{cases}$

$i f x_{A} = 1 \Rightarrow y_{A} = |{(1)}^{2} - 1| = 0; A (1, 0)$

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{} (1) = \lim_{x \to 1} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{+} (1) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{(x^{2} - 1) - 0}{x - 1} = 2 \end{array}$

${f^{'}}_{-} (1) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{(1 - x^{2}) - 0}{x - 1} = - 2$

$f^{'} (1)$ وجود ندارد زيرا مشتق های چپ و راست مساوی نيستند.

تابع در $x = 1$ مماس ندارد اما دارای مماس راست و چپ می‌باشد.

$\begin{array}{l} y - y_{A} = {f^{'}}_{+} (x_{A}) (x - x_{A}) \Rightarrow y - 0 = {f^{'}}_{+} (1) (x - 1) \Rightarrow y = 2 x - 2 \end{array}$

$y - y_{A} = {f^{'}}_{-} (x_{A}) (x - x_{A}) \Rightarrow y - 0 = {f^{'}}_{-} (1) (x - 1) \Rightarrow y = - 2 x + 2$

$f (x) = \{\begin{matrix} \sqrt{- x} & x \leq 0 \\ [x] & x > 0 \end{matrix}$

$i f x_{A} = 0 \Rightarrow y_{A} = \sqrt{- 0} = 0; A (0, 0)$

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{+} (0) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{[x] - 0}{x} = \frac{0}{0^{+}} = 0 \end{array}$

${f^{'}}_{-} (0) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sqrt{- x}}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} \sqrt{\frac{- x}{x^{2}}} = \lim_{x \to 0^{-}} \sqrt{\frac{- 1}{x}} = \sqrt{\frac{- 1}{0^{-}}} = + \infty$

$f^{'} (0)$ وجود ندارد زيرا مشتق های چپ و راست مساوی نيستند.

تابع در $x = 0$ مماس ندارد اما دارای مماس راست و چپ می‌باشد.

$\begin{array}{l} y - y_{A} = {f^{'}}_{+} (x_{A}) (x - x_{A}) \Rightarrow y - 0 = {f^{'}}_{+} (0) (x - 0) \Rightarrow y = 0 \end{array}$

$y - y_{A} = {f^{'}}_{-} (x_{A}) (x - x_{A}) \Rightarrow y - 0 = {f^{'}}_{-} (0) (x - 0) \Rightarrow x = 0$

$f (x) = \{\begin{matrix} x \sin \frac{1}{x} & x > 0 \\ x^{2} [x] & x \leq 0 \end{matrix}$

$i f x_{A} = 0 \Rightarrow y_{A} = {(0)}^{2} [0] = 0; A (0, 0)$

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = ? \end{array}$

${f^{'}}_{+} (0) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sin \frac{1}{x} - 0}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \sin \frac{1}{x} = ?$

مشتق راست عددی نامشخص است، بنابراين مماس راست ندارد.

${f^{'}}_{-} (0) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} [x] - 0}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} x [x] = (0) (- 1) = 0$

مماس چپ:

$y - y_{A} = {f^{'}}_{-} (x_{A}) (x - x_{A}) \Rightarrow y - 0 = 0 (x - 0) \Rightarrow y = 0$

قضیه

اگر تابع $y = f (x)$ در نقطه $a$ دارای خط مماس غیر عمودی باشد، آنگاه در $a$ پیوسته است.

اثبات

چون خط مماس غیر عمودی وجود دارد، پس موجود و عددی حقیقی است:

$m = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$

این حد، شیب مماس است و در نتیجه:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to a} (f (x) - f (a)) = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} (x - a) \\ \Rightarrow \lim_{x \to a} (f (x) - f (a)) = m . \lim_{x \to a} (x - a) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{x \to a} (f (x) - f (a)) = 0 \\ \Rightarrow \lim_{x \to a} f (x) - \lim_{x \to a} f (a) = 0 \\ \Rightarrow \lim_{x \to a} f (x) = \lim_{x \to a} f (a) \\ \Rightarrow \lim_{x \to a} f (x) = f (a) \end{array}$

یعنی $f$ در $x = a$ پیوسته است.

تذکر

عکس قضیه فوق همواره صحیح نیست، یعنی اگر تابع $y = f (x)$ در نقطه $a$ پیوسته باشد، نمی‌توان نتیجه گرفت که در $x = a$ دارای خط مماس باشد، مانند تابع $y = |x|$ .

در مماس عمودی حتما باید پیوستگی ذکر شود زیرا و با بیان $x \in (- \infty, + \infty)$ نمی‌توان پیوستگی $\lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$ را نتیجه گرفت.

تمرین

تابع با ضابطه زیر را در نظر می‌گیریم:

$f (x) = \sin |x|$

مماس های راست و چپ بر اين تابع را در نقطه $x = 0$ به‌دست آوريد.

$i f x_{A} = 0 \Rightarrow y_{A} = 0; A (0, 0)$

${f^{'}}_{} (0) = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin |x| - 0}{x - 0}$

محاسبه مشتق راست:

${f^{'}}_{+} (0) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin |x|}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin x}{x} = 1$

محاسبه مشتق چپ:

${f^{'}}_{-} (0) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin |x|}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin (- x)}{x} = \frac{- x}{x} = - 1$

${f^{'}}_{} (0)$ وجود ندارد زيرا مشتق های چپ و راست مساوی نيستند.

تابع در $x = 0$ مماس ندارد اما دارای مماس راست و چپ می‌باشد.

مماس راست:

$y - y_{A} = {f^{'}}_{+} (x_{A}) (x - x_{A}) \Rightarrow y - 0 = {f^{'}}_{+} (0) (x - 0) \Rightarrow y = x$

مماس چپ:

$y - y_{A} = {f^{'}}_{-} (x_{A}) (x - x_{A}) \Rightarrow y - 0 = {f^{'}}_{-} (0) (x - 0) \Rightarrow y = - x$

خط $y = x$ از راست و خط $y = - x$ از چپ بر نمودار اين تابع مماس هستند، اما چون اين دو خط بر هم منطبق نيستند، پس مماس بر تابع در $x = 0$ وجود ندارد.

معادله خط مماس - پیمان گردلو

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی 1402

فاصله خط $d$ از مبدا مختصات کدام است؟

$1 / 25$
$3 / 25$
$0 / 75$
$2 / 75$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

کنکور ریاضی 1401

در نقطه تلاقی منحنی های زیر در بازه $[0, π]$ خط مماسی بر منحنی $f (x)$ رسم می‌شود:

$\{\begin{cases} f (x) = \sin x + \frac{1}{2} \cos x \\ g (x) = \frac{3}{2} \sin x \end{cases}$

این خط، محور $x$ ها را در نقطه ای با کدام طول قطع می‌کند؟

$\begin{array}{l} \frac{π}{4} - 1 \end{array}$
$\frac{π}{4} - 3$
$\frac{π}{4} + \frac{1}{8}$
$\frac{π}{4} + \frac{3}{8}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 3

در شکل زیر مساحت مثلث $A B C$ برابر $1.25$ می‌باشد:

طول نقطه $A$ کدام است؟

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 4

در شکل زیر خط $d$ برنمودار تابع $y = f (x)$ مماس است.

مقدار $f^{'} (4)$ کدام است؟

$1$
$\frac{1}{2}$
$2$
$\frac{1}{4}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 5

فاصله نقطه $A$ روی خط $d$ از دو نقطه $C (3, - 4), B (- 1, 2)$ به‌ترتیب $\sqrt{3}, \sqrt{7}$ می‌باشد.

اگر خط $d$ در نقطه $x = 6$ بر منحنی $y = x + f (x)$ مماس باشد، حاصل حد زیر چقدر است؟

$\lim_{x \to 2} \frac{f^{2} (x) + 3 f (x) - 4}{2 x - 12}$

$- \frac{1}{6}$
$\frac{5}{6}$
$- \frac{5}{3}$
$\frac{1}{6}$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

معادله خطوط مماس و قائم بر منحنی در نقطه ای واقع برآن

24,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

کاربرد مشتق

معادله خطوط مماس و قائم در نقطه ای واقع برآن

معادلات خطوط مماس و قائم بر منحنی

مرحله اول

مرحله دوم

مرحله سوم

معادلات خطوط مماس و خط قائم بر منحنی تابع معکوس

معادلات مماس چپ و مماس راست

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟