سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

معادله خطوط مماس از نقطه ای خارج آن

آخرین ویرایش: 07 بهمن 1402

دسته‌بندی: کاربرد مشتق

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

معادلات خطوط مماس بر منحنی

برای یافتن معادلات خطوط مماس بر منحنی در نقطه ای خارج از آن داریم:

معادلات خطوط مماس و قائم - پیمان گردلو

در شکل فوق اگر از نقطه $p (x_{p}, y_{p})$ خارج از منحنی، مماسی بر منحنی $C$ به معادله $y = f (x)$ رسم کنیم.

معادله مماس را به دو روش زیر می‌توان بدست آورد:

روش $m$

در این روش فرض می‌کنیم ضریب زاویه مماس بر منحنی از نقطه $p (x_{p}, y_{p})$ خارج از منحنی برابر $m$ باشد:

معادله خط مماس را با ضریب زاویه فرضی $m$ می‌نویسیم.
خط مماس فرضی را با منحنی منحنی $C$ به معادله $y = f (x)$ قطع می‌دهیم و شرط ریشه مضاعف را برای معادله تقاطع می‌نویسیم، $m$ بدست می‌آید در نتیجه معادله خط مماس مشخص می‌شود.

نکته

اگر بخواهیم مختصات نقاط تماس خطوط مماس بر منحنی را بدست آوریم، کافی است در معادله تقاطع، مقدار $m$ را قرار دهیم تا طول نقاط تماس و در نتیجه مختصات نقاط تماس بدست آید.

تمرین

از نقطه $p (0, - 1)$ خارج از منحنی زیر، مماسهایی بر آن رسم می‌كنيم:

$y = x^{2} + 1$

معادلات خطوط مماس را به‌دست آوريد.

$(1$ معادله فرضی خط مماس را می‌نویسیم:

$\begin{array}{l} y - y_{p} = m (x - x_{p}) \\ \Rightarrow y + 1 = m (x - 0) \\ \Rightarrow y = m x - 1 \end{array}$

$(2$ معادله اين خط را با معادله منحنی قطع می‌دهيم:

$\{\begin{cases} y = m x - 1 \\ y = x^{2} + 1 \end{cases}$

معادله تقاطع را می‌نویسیم و و شرط ریشه مضاعف را برای معادله تقاطع می‌نویسیم:

$\begin{array}{l} x^{2} + 1 = m x - 1 \\ \Rightarrow x^{2} - m x + 2 = 0; Δ = 0 \\ \Rightarrow {(- m)}^{2} - 4 (1) (2) = 0 \\ \Rightarrow m^{2} - 8 = 0 \\ \Rightarrow m = \pm 2 \sqrt{2} \end{array}$

$m = \pm 2 \sqrt{2}$ ضريب زاويه های خطوط مماس است و معادله مماس به‌صورت زیر است:

$y = m x - 1 \Rightarrow \{\begin{cases} i f m = + 2 \sqrt{2} \Rightarrow y = 2 \sqrt{2} x - 1 \\ i f m = - 2 \sqrt{2} \Rightarrow y = - 2 \sqrt{2} x - 1 \end{cases}$

مختصات نقاط تماس خط مماس بر منحنی را به‌دست آوريد.

اگر بخواهيم مختصات نقاط تماس خطوط مماس بر منحنی را به‌دست آوريم،کافی است در معادله تقاطع مقدار $m$ را قرار دهيم:

$x^{2} - m x + 2 = 0$

$\begin{array}{l} i f m = 2 \sqrt{2} \\ \Rightarrow x^{2} - 2 \sqrt{2} x + 2 = 0 \\ \Rightarrow {(x - \sqrt{2})}^{2} = 0 \\ \Rightarrow x = \sqrt{2} \\ \Rightarrow y = 3 \end{array}$

نقطه $A_{1} (\sqrt{2}, 3)$ ريشه مضاعف است و نقطه تماس خط مماس بر منحنی می‌باشد.

$\begin{array}{l} i f m = - 2 \sqrt{2} \\ \Rightarrow x^{2} + 2 \sqrt{2} x + 2 = 0 \\ \Rightarrow {(x + \sqrt{2})}^{2} = 0 \\ \Rightarrow x = - \sqrt{2} \\ \Rightarrow y = 3 \end{array}$

نقطه $A_{2} (- \sqrt{2}, 3)$ ريشه مضاعف است و نقطه تماس خط مماس بر منحنی می‌باشد.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

روش $α$

در این روش فرض می‌کنیم $x_{A} = α$ طول نقطه تماس خط گذرنده از $p (x_{p}, y_{p})$ بر منحنی باشد:

1- معادله خط مماس بر منحنی در نقطه $A (α, f (α))$ واقع بر منحنی را به صورت زیر می‌نویسیم:

$y - f (α) = f^{'} (α) (x - α)$

سپس مختصات نقطه $p (x_{p}, y_{p})$ را در این معادله قرار می‌دهیم تا $α$ بدست آید.

2- $α$ مختصات نقطه تماس است، با داشتن $α$ معادله مماس مشخص می‌شود.

تمرین

از نقطه $p (0, - 1)$ خارج از منحنی زیر، مماسهایی بر آن رسم می‌كنيم:

$f (x) = x^{2} + 1$

معادلات خطوط مماس را به‌دست آوريد.

$i f x_{A} = α \Rightarrow y_{A} = α^{2} + 1; A (α, α^{2} + 1)$

$\begin{array}{l} y - f (α) = f^{'} (α) (x - α) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y - (α^{2} + 1) = f^{'} (α) (x - α); f^{'} (x) = 2 x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y - (α^{2} + 1) = (2 α) (x - α); P (0, - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (- 1) - (α^{2} + 1) = 2 α (0 - α) \end{array}$

$\Rightarrow α^{2} = 2$

$\Rightarrow α = \{\begin{cases} \sqrt{2} \\ - \sqrt{2} \end{cases}$

معادله مماس:

$\begin{array}{l} y - (α^{2} + 1) = (2 α) (x - α) \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} i f α = \sqrt{2} \Rightarrow y - 3 = 2 \sqrt{2} (x - \sqrt{2}) \Rightarrow y = 2 \sqrt{2} x - 1 \\ i f α = - \sqrt{2} \Rightarrow y - 3 = - 2 \sqrt{2} (x + \sqrt{2}) \Rightarrow y = - 2 \sqrt{2} x - 1 \end{cases}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

معادله خطوط مماس بر منحنی از نقطه ای خارج آن

5,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

کاربرد مشتق

معادله خطوط مماس از نقطه ای خارج آن

معادلات خطوط مماس بر منحنی

روش $m$

روش $α$

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

کاربرد مشتق

معادله خطوط مماس از نقطه ای خارج آن

معادلات خطوط مماس بر منحنی

روش m

روش α

روش $m$

روش $α$